Fungsi Tujuan Maksimasi Menggunakan Metode Simpleks: Studi Program Linear

(1)

i

MAKALAH PROGRAM LINEAR

“FUNGSI TUJUAN MAKSIMASI MENGGUNAKAN METODE SIMPLEKS”

Dosen Pengampuh:

Drs. Wardi Syafmen, M.Si.

Dr. Dra. Nizlel Huda, M.Kes.

DISUSUN OLEH Kelompok 6

1.

Lidya Ribka Tambunan (A1C223001)

2.

Fatimah Agustin (A1C223034)

3.

Icih Liyani (A1C223061)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JAMBI 2025

(2)

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah memberikan rahmat, karunia-nya serta kasih sayangnya kami para penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan judul “Fungsi Tujuan Maksimasi Menggunakan Metode Simpleks” ini dengan sebaik mungkin. Dan tak lupa pula kami ucapkan terimakasih kepada dosen pengampu kami yaitu Bapak Drs. Wardi Syafmen, M. Si. Dan Ibu Dr. Dra. Nizlel Huda, M.Kes. selaku dosen mata kuliah Program

Linier..

Dalam Penulisan makalah ini, penulis menyadari bahwa masih banyak terdapat kesalahan dan kekeliruan, baik yang berkenaan dengan materi pembahasan maupun dengan teknik pengetikan. Semoga dengan makalah ini para pembaca dapat menambah wawasan ilmu pengetahuan dan diharapkan kritik yang membangun dari para pembaca guna memperbaiki kesalahan sebagaimana mestinya.

Jambi, 18 Maret 2025

Penulis

(3)

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR... ii

BAB I ... 4

PENDAHULUAN ... 4

1.1 Latar Belakang ... 4

1.2 Rumusan Masalah ... 4

1.3 Tujuan ... 5

BAB II ... 6

PEMBAHASAN ... 6

2.1 Definisi Metode Simpleks ... 6

2.2 Bentuk Baku Metode Simpleks ... 7

2.3 Pembentukan Tabel Simpleks ... 8

2.4 Langkah-Langkah Penyelesaian Simpleks Maksimum ... 9

BAB III ... 22

PENUTUP ... 22

3.1 Kesimpulan ... 22

3.2 Saran ... 23

DAFTAR PUSTAKA ... 24

(4)

4 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Metode simpleks diperkenalkan oleh George Dantzig yang merupakan salah satu metode untuk mencari solusi masalah program linear dengan banyak variabel keputusan.

Program linear sendiri merupakan suatu model permasalahan dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan yang berbentuk linear.

Model program linear memuat dua fungsi yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi kendala (constraint function). Fungsi tujuan merupakan fungsi linear mengenai permasalahan yang akan dicari solusi optimalnya, contohnya adalah fungsi keuntungan.

Sementara fungsi kendala merupakan fungsi linear yang menyatakan batasan-batasan yang harus dipenuhi dalam mencapai solusi optimal, contohnya adalah batasan kapasitas yang tersedia dalam berbagai kegiatan yang akan dialokasikan secara optimal.

Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari terkadang tidak semuanya dapat dimodelkan dengan program linear. Contohnya sumber daya pada kendala waktu produksi tidak dapat dinyatakan secara tegas. Misalkan terdapat fungsi kendala yang masih samar, seperti : “Untuk memproduksi paving dan batako, proses pengerjaan sejatinya dapat membutuhkan waktu yang lebih lama jika karyawan memiliki keterampilan yang kurang dan sebaliknya akan memerlukan waktu lebih cepat jika karyawan memiliki keterampilan yang cukup baik”. Masalah yang samar, ambigu, dan ketidakpastian atas penggunaan sumber daya baik dalam jumlah bahan baku, tenaga kerja, mesin dan peralatan, maupun jam kerja masih sering ditemui.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah pada makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Apa definisi dari metode simpleks?

2. Apa bentuk baku metode simpleks fungsi tujuan maksimum?

3. Bagaimana bentuk tabel simpleks?

4. Bagaimana langkah-langkah penyelesaian metode simpleks maksimum?

(5)

5 1.3 Tujuan

1. Untuk mengetahui Apa definisi dari bentuk simpleks?

2. Untuk mengetahui Apa bentuk baku metode simpleks fungsi maksimasi?

3. Untuk mengetahui Bagaimana bentuk tabel simpleks?

4. Untuk mengetahui Bagaimana langkah-langkah penyelesaian metode simpleks maksimasi?

(6)

6 BAB II PEMBAHASAN

2.1 Definisi Metode Simpleks

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif.

Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).

Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :

1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan

(7)

7

ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal.

Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.

8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk.

Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).

9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.

10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

2.2 Bentuk Baku Metode Simpleks

Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah.

(8)

8

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu :

1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.

2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.

3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum,ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan).

Fungsi tujuan : Maksimumkan

𝑧 𝑐𝑛𝑥𝑛 𝑁𝐾

Fungsi Pembatas/Kendala :

𝑎 𝑛 𝑥𝑛

… … … . … … …

𝑎𝑚 𝑎𝑚𝑛𝑋𝑛 𝑏𝑚

Var. Kegiatan Slack var

2.3 Pembentukan Tabel Simpleks

Dalam perhitungan iterative, kita akan bekerja menggunakan tabel. Bentuk baku yang sudah diperoleh, harus dibuat ke dalam bentuk tabel. Semua variabel yang bukan variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variabel basis pada baris tujuan harus sama dengan 0. Oleh karena itu kita harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variabel basis awal.

Var Dasar

Z X1

X2

… Xn

S1

S2

… Sn

NK

Z 1 -C1 -C2 … -Cn 0 0 0 0 0

(9)

9

S1 0 a11 a12 … a1n 1 0 0 0 b1

S2 0 a21 a22 … a2n 0 1 0 0 b2

… … … …

𝑆_𝑛 0 𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 … 𝑎_𝑚𝑚 0 0 0 1 𝑏_𝑚

Contoh:

Fungsi Tujuan : maksimumkan : 𝑍 = 8𝑋1 + 6𝑋2 + 0𝑆1 + 0𝑆2 (Dalam Rp 1000) Fungsi Pembatas/Kendala :

𝑋

VB X1 X2 S1 S2 Solusi

Z -8 -6 0 0 0

S1 4 2 1 0 60

S2 2 4 0 1 48

2.4 Langkah-Langkah Penyelesaian Simpleks Maksimum Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut :

1. Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan.

2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien paling negatif. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai paling negatif (untuk tujuan maksimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.

3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai

(10)

10

negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi.

Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabel keluar.

Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah sau secara sembarang.

4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.

5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak pada kolom tersebut.

6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0.

Jika belum, kembali ke langkah no. 2 , jika sudah optimal baca solusi optimalnya.

Rumus yang digunakan:

𝑦 ′ = ^𝑦𝑟(untuk baris ke – r yang terdapat elemen pivot) 𝑟 𝑥𝑟𝑘

𝑦^′ = 𝑦𝑖 − 𝑏𝑖 𝑎𝑟(untuk baris ke – i yang tidak terdapat elemen pivot) Keterangan:

𝑦𝑟′ = elemen baris ke – r pada tabel yang baru 𝑦𝑖′ = elemen baris ke – i pada tabel yang baru 𝑦𝑟 = elemen baris ke – r pada tabel yang lama 𝑦𝑖 = elemen baris ke – i pada tabel yang lama 𝑥𝑟𝑘= angka pivot

𝑏𝑖 = elemen baris ke – i pada tabel lama yang se-kolom dengan elemen pivot 𝑎𝑟 = elemen baris ke – r pada tabel yang baru

(11)

11 Contoh 1:

Sebuah pabrik memproduksi dua jenis produk, yaitu Produk A dan Produk B. Setiap unit Produk A memberikan keuntungan sebesar 3 juta rupiah, sedangkan setiap unit Produk B memberikan keuntungan sebesar 2 juta rupiah. Untuk memproduksi kedua produk ini, pabrik memiliki dua jenis bahan baku yang terbatas. Bahan baku pertama memiliki kapasitas maksimal 20 unit, dan bahan baku kedua juga memiliki kapasitas maksimal 20 unit. Produk A membutuhkan 1 unit bahan baku pertama dan 2 unit bahan baku kedua untuk setiap unit yang diproduksi. Sementara itu, Produk B membutuhkan 3 unit bahan baku pertama dan 1 unit bahan baku kedua untuk setiap unitnya. Tentukan jumlah Produk A dan Produk B yang harus diproduksi agar keuntungan pabrik maksimal

Penyelesaian:

1. Variabel Keputusan

𝑥₁ = banyaknya produk A yang diproduksi 𝑥₂ = banyaknya produk B yang diproduksi 2. Fungsi tujuan

𝑧_𝑚𝑎𝑥 = 3𝑥₁+ 2𝑥₂ (dalam juta) 3. Fungsi kendala

𝑥₁+ 2𝑥₂ ≤ 20 3𝑥₁+ 𝑥₂ ≤ 20

𝑥₁, 𝑥₂ ≥ 0 Ubah kebentuk standar simpleks

1. Fungsi tujuan

Maksimumkan 𝑧 = 3𝑥₁+ 2𝑥₂+ 0𝑠₁+ 0𝑠₂ 𝑧 − 3𝑥₁− 2𝑥₂− 0𝑠₁− 0𝑠₂ = 0 2. Fungsi kendala

𝑥₁+ 2𝑥₂ + 𝑠₁+ 0𝑠₂ = 20 3𝑥₁+ 𝑥₂ + 0𝑠₁+ 𝑠₂ = 20

𝑥₁, 𝑥₂, 𝑠₁, 𝑠₂ ≥ 0 Langkah-langkah penyelesaian

1. Itersi awal (iterasi-0)

VB 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑠₁ 𝑠₂ Nilai

kanan (NK) 𝑍 −3 −2 0 0

𝑠₁ 1 2 1 0 20

𝑠₂ 3 1 0 1 20

2. Iterasi – 1

(12)

12 a. Menentukan kolom kunci

Kolom kunci: nilai pada baris fungsi tujuan (𝑍) yang bernilai negative terkecil VB 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑠₁ 𝑠₂ Nilai

kanan (NK) 𝑍 −3 −2 0 0

𝑠₁ 1 2 1 0 20 𝑠₂ 3 1 0 1 20 b. Menentukan baris kunci

Baris kunci: baris yang menjadi dasar untuk mengubah table simpleks. Dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris.

𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 (𝑁𝐾) 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 VB 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑠₁ 𝑠₂ Nilai

kanan (NK)

Nilai indeks

𝑍 −3 −2 0 0 −

𝑠₁ 1 2 1 0 20 20 𝑠₂ 3 1 0 1 20 6,67

Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil VB 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑠₁ 𝑠₂ Nilai

kanan (NK)

Nilai indeks

𝑍 −3 −2 0 0 −

𝑠₁ 1 2 1 0 20 20 𝑠₂ 3 1 0 1 20 6,67 c. Mengubah nilai-nilai baris kunci

𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖

Ganti variabel dasar (VB) pada baris itu denga varaibel yang terdapat dibagian kolom kunci

kanan (NK) 𝑍 −3 −2 0 0

𝑠₁ 1 2 1 0 20

𝑠₂ 3 1 0 1 20

(13)

13 Nilai baru baris lainnya

𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑚𝑎 − (𝑘𝑜𝑟𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 × 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖) Baris ke – 1 (Z)

−3 −2 0 0 0 -3

1 1 3

0 1 3

20 − 3 0 -1 0 1 20 Baris ke – 2

1 2 1 0 20 3

1 1 3

0 1 3

20 − 3 0 ⁵

3 1 −¹

3 ⁴⁰

3

Hasil table iterasi ke – 1

kanan (NK) 𝑍

𝑠₁

𝑥₁ 1 1

3

0 1 3

20 3

kanan (NK)

𝑍 0 −1 0 1 20

𝑠₁ 0 5

3

1 −1 3

40 3

𝑥₁ 1 1

3

0 1 3

20 3

(14)

14 Iterasi ke – 2

a. Menentukan kolom kunci

b. Menentukan baris kunci

𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 (𝑁𝐾) 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖

c. Mengubah nilai-nilai baris kunci

Nilai baru baris lainnya

kanan (NK)

𝑍 0 −1 0 1 20

𝑠₁ 0 5

3

1 −1 3

40 3

𝑥₁ 1 1

3

0 1 3

20 3

kanan (NK)

Nilai indeks

𝑍 0 −1 0 1 20

𝑠₁ 0 5

3

1 −1 3

40 3

8

𝑥₁ 1 1

3

0 1 3

20 3

20

kanan (NK) 𝑍

𝑥₂ 0 1 3

5 −1 5

8 𝑥₁

(15)

15

𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑚𝑎 − (𝑘𝑜𝑟𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 × 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖) Baris ke – 1

0 −1 0 1 20 -1

0 −1 3

5 −1 5

8 − 0 0 ³

5 ⁴

5 28 Baris ke – 3

1 1 3

0 1

3

20 3

−1

3 0 −1 3

5 −1 5 8 − 1 0 −¹

5 ²

5 4 Hasil iterasi – 2

Jadi, pabrik akan memperoleh keuntungan maksimum ketidak memproduksi 4 produk A dan 8 produk B denga keuntunga sebesar 28 juta.

Contoh 2:

Perusahaan Dakota furniture memproduksi meja kerja, meja, dan kursi. Pembuatan setiap jenis furniture membutuhkan kayu dan dua jenis tenaga kerja terampil yaitu, finishing atau penyelesaian dan pertukangan. Saat ini, 48 kaki papan kayu, 20 jam finishing, 8 jam pertukangan tersedia. Meja kerja dijual seharga 60 dolar, meja seharga 30 dolar, dan kursi seharga 20 dolar: Kotak Percaya bahwa permintaan meja dan kursi tidak terbatas, tapi paling banyak bisa dijual 5 meja karena sumber daya yang tersedia yang telah dibeli Dakota ingin

kanan (NK)

𝑍 0 0 3

5 4 5

28

𝑥₂ 0 1 3

5 −1 5

8 𝑥₁ 1 0

−1 5

2 5

4

(16)

16

memaksimalkan pendapatan total. Jumlah setiap sumber daya yang dibutuhkan untuk membuat setiap jenis furniture diberikan dalam tabel di bawah ini:

Sumber daya Meja kerja Meja Kursi

Kayu 8 buah 6 buah 1 jam

Penyelesaian 4 jam 2 jam 1,5 jam

Pertukangan 2 jam 1,5 jam 0,5 jam

Penyelesaian:

1. Variabel Keputusan

𝑥₁ = banyaknya meja kerja yang diproduksi 𝑥₂ = banyaknya meja yang diproduksi 𝑥₃ = banyaknya kursi yang diproduksi 2. Fungsi tujuan

𝑍 = 60𝑥₁+ 30𝑥₂+ 20𝑥₃ 3. Fungsi kendala

8𝑥₁+ 6𝑥₂+ 𝑥₃ ≤ 48 4𝑥₁ + 2𝑥₂+ 1,5𝑥₃ ≤ 20 2𝑥₁ + 1,5𝑥₂+ 0,5𝑥₃ ≤ 8

𝑥₂ ≤ 5 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃ ≥ 0 Metode simpleks

Ubah kedalam bentuk standar simpleks 1. Fungsi tujuan

𝑍 = 60𝑥₁+ 30𝑥₂+ 20𝑥₃+ 0𝑠₁+ 0𝑠₂+ 0𝑠₃+ 0𝑠₄ 𝑍 − 60𝑥₁− 30𝑥₂− 20𝑥₃− 0𝑠₁− 0𝑠₂ − 0𝑠₃− 0𝑠₄ = 0

2. Fungsi kendala

8𝑥₁+ 6𝑥₂+ 𝑥₃+ 𝑠₁+ 0𝑠₂+ 0𝑠₃+ 0𝑠₄ = 48 4𝑥₁+ 2𝑥₂+ 1,5𝑥₃+ 0𝑠₁+ 𝑠₂+ 0𝑠₃ + 0𝑠₄ = 20 2𝑥₁+ 1,5𝑥₂+ 0,5𝑥₃ + 0𝑠₁+ 0𝑠₂+ 𝑠₃+ 0𝑠₄ = 8

𝑥₂+ 0𝑠₁+ 0𝑠₂ + 0𝑠₃+ 𝑠₄ = 5 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, 0𝑠₁, 0𝑠₂, 0𝑠₃, 0𝑠₄ ≥ 0 Iterasi awal (iterasi – 0)

VD 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 𝑠₄ Nilai

kanan

𝑧 −60 −30 −20 0 0 0 0 0

𝑠₁ 8 6 1 1 0 0 0 48

𝑠₂ 4 2 1,5 0 1 0 0 20

𝑠₃ 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8

(17)

17

𝑠₄ 0 1 0 0 0 0 1 5

Iterasi – 1

Kolom kunci: nilai pada baris fungsi tujuan (𝑍) yang bernilai negative terkecil

kanan

𝑧 −60 −30 −20 0 0 0 0 0

𝑠₁ 8 6 1 1 0 0 0 48

𝑠₂ 4 2 1,5 0 1 0 0 20

𝑠₃ 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8

𝑠₄ 0 1 0 0 0 0 1 5

Baris kunci: baris yang menjadi dasar untuk mengubah table simpleks. Dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris.

kanan

Nilai indeks

𝑧 −60 −30 −20 0 0 0 0 0

𝑠₁ 8 6 1 1 0 0 0 48 6

𝑠₂ 4 2 1,5 0 1 0 0 20 5

𝑠₃ 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8 4

𝑠₄ 0 1 0 0 0 0 1 5

kanan

Nilai indeks

𝑧 −60 −30 −20 0 0 0 0 0

𝑠₁ 8 6 1 1 0 0 0 48 6

𝑠₂ 4 2 1,5 0 1 0 0 20 5

𝑠₃ 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8 4

𝑠₄ 0 1 0 0 0 0 1 5

(18)

18

kanan 𝑧

𝑠₁ 𝑠₂

𝑥₁ 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 4 𝑠₄

Nilai baru baris lainnya

𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑙𝑎𝑚𝑎 − (𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 × 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖) Baris ke – 1 (Z)

−60 −30 −20 0 0 0 0 0 -60

1 1,75 0,25 0 0 0,5 0 4

− 0 15 −5 0 0 30 0 240

Baris ke – 2

8 6 1 1 0 0 0 48

8

1 1,75 0,25 0 0 0,5 0 4

−

0 0 −1 1 0 −4 0 16

Baris ke – 3

𝟒 𝟐 𝟏, 𝟓 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟐𝟎

4

1 1,75 0,25 0 0 0,5 0 4

−

0 −1 0,5 0 1 −2 0 4

Baris ke – 5

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟓

4

1 1,75 0,25 0 0 0,5 0 4

−

0 0 0 0 0 0 1 5

(19)

19

kanan

𝑧 0 15 −5 0 0 30 0 240

𝑠₁ 0 0 −1 1 0 −4 0 16

𝑠₂ 0 −1 0,5 0 1 −2 0 4

𝑥₁ 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 0

𝑠₄ 0 0 0 0 0 0 1 5

Iterasi – 2

kanan

𝑧 0 15 −5 0 0 30 0 240

𝑠₁ 0 0 −1 1 0 −4 0 16

𝑠₂ 0 −1 0,5 0 1 −2 0 4

𝑥₁ 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 0

𝑠₄ 0 0 0 0 0 0 1 5

kanan

𝑧 0 15 −5 0 0 30 0 240

𝑠₁ 0 0 −1 1 0 −4 0 16

𝑠₂ 0 −1 0,5 0 1 −2 0 4

𝑥₁ 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 0

𝑠₄ 0 0 0 0 0 0 1 5

kanan Nilai indeks

𝑧 0 15 −5 0 0 30 0 240

𝑠₁ 0 0 −1 1 0 −4 0 16 −16

𝑠₂ 0 −1 0,5 0 1 −2 0 4 8

𝑥₁ 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 0 16

𝑠₄ 0 0 0 0 0 0 1 5

(20)

20

kanan

Nilai indeks

𝑧 0 15 −5 0 0 30 0 240

𝑠₁ 0 0 −1 1 0 −4 0 16 −16

𝑠₂ 0 −1 0,5 0 1 −2 0 4 8

𝑥₁ 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 0 16

𝑠₄ 0 0 0 0 0 0 1 5

kanan 𝑧

𝑠₁

𝑥₃ 0 −2 1 0 2 −4 0 8

𝑥₁ 𝑠₄

Baris ke – 1

𝟎 𝟏𝟓 −𝟓 𝟎 𝟎 𝟑𝟎 𝟎 𝟐𝟒𝟎 -5

0 −2 1 0 2 −4 0 8 −

0 5 0 0 10 10 0 280

Baris ke – 2

𝟎 𝟎 −𝟏 𝟏 𝟎 −𝟒 𝟎 𝟏𝟔

-1

0 −2 1 0 2 −4 0 8

−

0 −2 0 1 2 −8 0 24

Baris ke – 4

𝟏 𝟎, 𝟕𝟓 𝟎, 𝟐𝟓 𝟎 𝟎 𝟎, 𝟓 𝟎 𝟎 0,25

0 −2 1 0 2 −4 0 8

− 0 1,25 0 0 −0,5 1,5 0 2

Baris ke – 5

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟓

0

0 −2 1 0 2 −4 0 8

−

(21)

21

0 0 0 0 0 0 1 5

Hasil iterasi ke – 2

Kesimpulan:

Untuk memperoleh hasil yang maksimum maka, Dekota furniture harus memproduksi 2 meja kerja, tidak perlu membuat meja, dann membuat 8 kursi. Dengan penghasilan maksimal yang akan diperoleh adalah $280.

kanan

𝑧 0 5 0 0 10 10 0 280

𝑠₁ 0 −2 0 1 2 −8 0 24

𝑥₃ 0 −2 1 0 2 −4 0 8

𝑥₁ 0 1,25 0 0 −0,5 1,5 0 2

𝑠₄ 0 0 0 0 0 0 1 5

(22)

22 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1). Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya iterasi, variabel non basis, variabel basis, solusi atau nilai kanan, variabel slack, variabel surplus, variabel buatan, kolom pivot, baris pivot, elemen pivot, variabel masuk, dan variabel keluar.

Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal.

Fungsi Tujuan : Maksimumkan

𝑍 𝐶𝑛𝑋𝑛 𝑁𝐾

Fungsi Pembatas/Kendala :

𝑎 𝑛𝑋𝑛

… … … …. … … …

𝑎𝑚 𝑎𝑚𝑛𝑋𝑛 𝑏𝑚

Var. Kegiatan Slack Var

Dalam perhitungan iterative, kita akan bekerja menggunakan tabel. Bentuk baku yang sudah diperoleh, harus dibuat ke dalam bentuk tabel. Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut : periksa apakah tabel layak atau tidak, tentukan kolom pivot, tentukan baris pivot, tentukan elemen pivot, bentuk tabel simpleks baru, periksa apakah tabel sudah optimal.

(23)

23 3.2 Saran

Demikianlah pokok bahasan makalah yang telah penulis jabarkan. Besar harapan kami makalah ini bermanfaat untuk penulis dan para pembaca. Karena keterbatasan pengetahuan dan referensi, penulis menyadari makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Oeh karenaitu, saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar makalah ini dapat disusun menjadi lebih baik lagi dimasa yang akan datang.

(24)

24

DAFTAR PUSTAKA

Jabar, Abdul. 2011. DIKTAT PROGRAM LINEAR. STKIP PGRI Banjarmasin.

http://learning.upnyk.ac.id/mod/resource/view.php?id=3417