Handout INF203 Bab2 Aljabar Boolean

Prio Handoko, S. Kom., M.T.I.

Capaian Pembelajaran

Mahasiswa dapat menjelaskan konsep diagram Venn, teorema Boolean dan membangun fungsi Boolean.

•

George Boole (ahli matematika asal Inggris)

•

Aljabar yang memanipulasi variable yg hanya mempunyai dua nilai (True, Flase) 1 atau 0

•

Rangkaian digital menggunakan tegangan (voltage) rendah (0 volt) untuk nilai 0 atau False atau tegangan tinggi untuk nilai 1 atau True

•

Kombinasi antara variables/object yg nilainya true atau falsedgn operators

•

Umumnya memiliki banyak input dan satu output

•

Ada 3 operator Boolean yg umum:

•

AND

•

OR

•

NOT

Tabel kebenaran

untuk AND Tabel kebenaran

untuk OR Tabel kebenaran untuk NOT

•

Operator AND biasanya ditulis dengan titik atau tidak pakai titik

•

X AND Y X.Y atau XY

•

Operator OR ditulis dgn tanpa plus (+)

•

^{X OR Y X + Y}

•

Contoh Boolean expression:

•

F(x,y,z) = x + y’z

Tabel kebenaran untuk F(x,y,z) = x + yz

Tabel kebenaran untuk F(x,y,z) = x + yz

(x+y) = x y

Tabel kebenaran untuk AND berdasarkan Hukum DeMorgan (DeMorgan’s Law)

Awas! X Y dan X Y

•

^Operator

Precedence 1. Parentheses 2. NOT 3. AND 4. OR

DIAGRAM Venn

Diagram yang digunakan untuk menggambarkan prinsip atau dasar logika melalui set/himpunan.

Gambar diagram Venn untuk n = 1

S

A A’

Gambar diagram Venn untuk n = 2 S

AB

AB’ A’B

A’B’ S

Gambar diagram Venn untuk n = 3?

AB’C’ A’BC’

A’B’C AB’C

A’B’C’

ABC ABC’

A’BC

binary variables

+

logic operations boolean expression

pharantenses

boolean expression

boolean equations Contoh:

F(X, Y, Z) = X + Y . Z >> F = X + Y . Z

Boolean algebradigunakan untuk menyederhanakan (simplify) rangkaian gerbang logika

Complement of a function

F =(A + B + C)

F’ =(A + B + C)’ Jika (B+C) = X

=(A + X)’

=A’.X’ teorema de morgan

=A’.(B+C)’

=A’.B’.C’

Jadi: (A+B+C+D+….F)’=A’.B’.C’.D’….F’

Complement of a function

Cari complement dari fungsi sebagai berikut:

1.F1=X’.Y.Z’+X’.Y’.Z 2.F2=X(Y’.Z’ + Y.Z) Jawab:

1.F1’=(X+Y’+Z)(X+Y+Z’) 2.F2’=X’+(Y+Z)(Y’+Z’)

•

Kanonikal (canonical): Menyatakan suatu

persamaan dalam hubungan operasi AND atau OR antar variabel secara lengkap pada setiap suku, dan antar suku dihubungkan dengan operasi OR atau AND.

•

Generally, in mathematics, a canonical form (often called normal form or standard form) of an object is a standard way of presenting that object.

Bentuk Minterm (m)dan Maxterm (M)untuk

2 variabel biner Minterm untuk

2 variabel Maxterm untuk

2 variabel

Minterm (m):Suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi AND antar variabel secara lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR.

Contoh.

Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B’C dalamminterm Jawab.

Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan C

•

Suku pertama A:

A = A . 1

= A . (B+B’) . (C+C’)

= ABC+ABC’+AB’C+AB’C’

•

Suku kedua B . C:

B’ . C = B’C . 1

= B’C . (A+A’)

= AB’C + A’B’C

•

Jadi penulisan mintermuntuk F = A + B’C adalah:

F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C

= m₇+ m₆+ m₅+ m₄+ m₁ F (ABC) (1, 4, 5, 6, 7)

Tabel kebenaran untuk F = A+B’C

Latihan.

Tunjukkan fungsi Boolean F = A’B + B’C dalamminterm dan gambarkan tabel kebenarannya.

Maxterm (M):Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi OR antar variabel secara lengkap, dan antar suku di hubungkan dengan operasi AND.

Contoh.

Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’Z dalamMaxterm Jawab.

Fungsi mempunyai 3 variabel X, Y dan Z, dengan menggunakan hukum distributif, maka:

F = XY + X’Z

= (XY + X’)(XY + Z)

= (X + X’)(Y + X’)(X + Z)(Y + Z)

= (X’ + Y)(X + Z)(Y + Z)

Setelah dilakukan hulum distributif, maka terbentuklah 3 buah suku, yaitu: (X’ + Y),(X + Z), dan (Y + Z)

Suku ke-…

1: (X’+ Y) = X’ + Y + Z.Z’

= (X’ + Y + Z)(X’ + Y + Z’) 2: (X+ Z) = X + Y.Y’ + Z

= (X + Y + Z)(X + Y’ + Z) 3: (Y + Z) = X.X’ + Y + Z

= (X + Y + Z)(X’ + Y + Z)

Ketiga suku tersebut kemudian dapat ditulis sebagai berikut:

F(XYZ) = (X+Y+Z)(X+Y’+Z)(X’+Y+Z)(X’+Y+Z’)

= M₀. M₂. M₄. M₅ F(XYZ) = 𝝅(0, 2, 4, 5)

Tabel kebenaran untuk

F = XY + X’Z

Latihan.

Tunjukkan fungsi Boolean F = A’B + B’C dalam Maxterm dan gambarkan tabel kebenarannya.

•

Literals: Sebuah variabel boolean atau komplemen variabel boolean itu sendiri

Contoh: x, x’, y, y’

•

Product Term: Single literal atau fungsi boolean OR Contoh: x, x + y + z’

•

POS (product-of-sum): Single literal atau fungsi boolean AND

Contoh: y’, x . y . z

•

SOP (sum-of-product): Fungsi boolean OR yang di dalamnya terdapat fungsi boolean AND

Contoh: F = xy + yz’ + xyz

F = xy’ + x(y+z’) bukan SOP

•

POS (product-of-sum): Fungsi boolean AND yang di dalamnya terdapat fungsi boolean OR

Contoh: F = (x+y)(x+z’)(y+z’)(y+z)

b b

r r

r r

sum term

product term

r r

r r