中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
第 第 7 7 章 多元函数积分 章 多元函数积分 学 学
高等数学 A
7.2 7.2 曲线曲面积分 曲线曲面积分
7.2.5 第二类曲面积分
7.2 7.2 曲线曲面积分 曲线曲面积分
7.2.5 第二类曲面积分 .曲面的投影
一
) (
.实例 流量问题
二
.定义与性质
三 定义
性质
.计算方法
四
直接计算法 习例 1-2
对称性简化计算法 习例 3-5
.两类曲面积分的关系
五 联系表达式（公式）
习例 6-7
第
二
类
曲
面
积
分
7.2.4 第二类曲面积分
一、双侧曲面与有向曲面的投影
我们通常碰到的曲面 ( 假设是光滑的 ) 有上侧，下侧
；左侧，右侧；前侧，后侧；内侧，外侧之分。这时曲面 是双侧的，以后我们只对双侧曲面进行讨论。而“莫比乌斯 带”是典型的单侧曲面。
曲面 : 上侧和下侧 曲面 : 内侧和外侧
双侧曲面的侧是利用曲面上法向量的指向来确定的。
在光滑的曲面上任取一点 M0 ，过 M0 作曲面的法向量 n ，它的指向选 择有两种，选定一个方向为正。当动点 M 从定点 M0 出发在曲面上连续移动
（不越过边界）时，法向量 n 也连续变动，当动点 M 沿着曲面上任意一闭曲 线又回到 M0 时，法向不变，则称此曲面为双侧曲面。否则称为单侧曲面。
n
典 型
双 侧
曲 面
典 型 的 单 侧 曲 面
莫比乌斯 (Mobius) 带
莫比乌斯圈 (Möbius strip, Möbius band) 是一种单侧、不可定向的曲面。因 A.
F. 莫比乌斯 (August Ferdinand Möbius, 1790-1868) 发现而得名。将一个长方 形纸条 ABCD 的一端 AB 固定，另一端 DC 扭转半周后，把 AB 和 CD 粘合在一 起 ，得到的曲面就是莫比乌斯圈，也称莫比乌斯带。
曲面法向量的指向决定曲面的侧 .
规定曲面上法向量的指向为曲面的正向，法向量的 相反方向为曲面的负向，如果曲面是封闭的，则指向外 侧的法向量方向为曲面的正向，指向内侧的法向量方程 为曲面的负向。
具体地，如果曲面用 z=z(x,y), (x,y) ∈Dxy 表示，把 向上（即法向量正向与 z 轴正向的夹角小于 90 度）的一 侧叫上侧，另一侧为下侧，上侧为正，下侧为负；
如果曲面用 x=x(y,z), (x,y) ∈ Dyz 表示，把向前
（即法向量正向与 x 轴正向的夹角小于 90 度）的一侧叫 前侧，另一侧为后侧，前侧为正，后侧为负；
其方向用法向量指向 方向余弦 cos
cos
cos
> 0 为前侧
< 0 为后侧
封闭曲面
> 0 为右侧
< 0 为左侧
> 0 为上侧
< 0 为下侧
外侧 侧的规定 内侧
• 指定了侧的曲面叫有 向曲面 ,
表示 :
曲面分上侧和下侧 曲面分左侧和右侧 曲面分内侧和外侧
决定了侧的曲面称为有向曲面 . 曲面的投影问题 :
面 在xoy
S ,
在有向曲面 上取一小块Σ
. 0
cos 0
0 cos
) (
0 cos
) (
)
(
时 当
时 当
时 当
xy xy
S xy
. )
( 表示投影区域的面积
轴正向的夹角 上的点的法向量正向与
表示 其中
xy
， z
S
为 上的投影 (S)xy 曲面S
) , (x y f
z
Dxy
x
y z
o
s)xy
( cos S
cos S
cos S
) (
.实例 流量问题
二
.
, ,
, ,
) , , ( )
, , ( )
, , (
的总流量 求单位时间内流经曲面
为连续函数 正侧
从给定曲面的负侧流向 设某流体以一定的速度
R Q P
k z y x R j
z y x Q i
z y x
P
解
}, cos
, cos ,
{cos ,
,
n
A 其法向量 面积为
为平面区域 若
A
v
n0
A. )
,
cos(
n A n
A
q 此时
, )
(
, )
, ,
( ,
, ,
近似代替流速
用这点的 取
近似看成平面
在各小片上把 个小片
须把它分成 来说
对曲面
i
i i
i i
i i
i
M
S M
S
S n
. } cos
, cos
, {cos
) (
上各点处的单位法向量 代替
用
i
i i
i i
S M n
x
y z
o
Si
v
i(
i,
i,
i)
ni内的流量近似值为 那么Si
i i
i
i Q R S
P
( cos cos cos )
i i
i
i M n M S
( ) ( )
xy i
zx i
yz
i Q S R S
S
P( ) ( ) ( )
] )
( )
( )
( [
1 i yz i zx i xy
n i
S R
S Q
S
P
}, {
max1 的直径
取 i
n
i S
].
) (
) (
) (
[ lim
0 1 i yz i zx i xy
n i
S R
S Q
S
P
.定义与性质 1. 定义 三
向曲面, 为光滑或分片光滑的有
设
, )}
, , ( ),
, , ( ),
, , (
{ 在上有定义且连续
P x y z Q x y z R x y z
];
) (
, ) [(
) (
) ,
(
), (
) 1 (
zx i yz
i xy
i
i i
S S
S zox
yoz
xoy S
S n
面上的投影为
在 也表面积
个小片 任意分成
将
)};
, ,
( ),
, ,
( ),
, ,
( { )
(
}, cos
, cos
, {cos
) (
, )
, ,
( )
2 (
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
R Q
P M
M n
S M
有
i i
n
i
Mi n M S
) (
) (
1
作和
i i
i i
i i
i n
i
S R
Q
P
] cos
cos cos
) ,
, ( [
1
] )
( )
( )
)(
, ,
( [
1 i i i i yz i zx i xy
n i
S R
S Q
S
P
}, {
max )
3
( 取 1 i的直径
n
i S
n i i
i
Mi n M S ( ) ( )
lim
0 1
若
i i
i i
i i
i n
i
S R
Q
P
[ ( , , )cos cos cos ]
lim
0 1
] )
( )
( )
)(
, ,
( [ lim
0 1 i i i i yz i zx i xy
n i
S R
S Q
S
P
则称此极限值为 的分法无关
的取法和
的存在与Mi ,
ndS (P cos Q cos Rcos )dS
. )
, , ( )
, , ( )
, ,
(
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy 记为 或对坐标的曲面积分
型曲面积分 上的
在 II , .
其中
n
i
xy i i
i
i S
R dxdy
z y x R
0 1 ( , , )( )
lim )
, ,
(
—— 对坐标 x , y 的曲面积分
n
i
yz i i
i
i S
P dydz
z y x P
0 1 ( , , )( )
lim )
, ,
(
—— 对坐标 y , z 的曲面积分
n
i
zx i i
i
i S
Q dzdx
z y x Q
0 1 ( , , )( )
lim )
, ,
(
—— 对坐标 z , x 的曲面积分
存在条件 :
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在 有 向 光 滑 曲 面 Σ 上 连 续 时 , 对 坐 标 的 曲 面 积 分 存 在 .
组合形式 :
dxdy z
y x R dzdx
z y x Q dydz
z y x
P( , , ) ( , , ) ( , , )
物理意义
:
P(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy
的通量. 关于曲面
向量场A
注意
Rdxdy Qdzdx
Pdydz Rdxdy Qdzdx
Pdydz
)
1 (
为封闭曲面 记为 Pdydz Qdzdx Rdxdy
若 ,
) 2 (
2. 性质
2 1
2 1
) 1 (
Rdxdy Qdzdx
Pdydz Rdxdy
Qdzdx Pdydz
Rdxdy Qdzdx
Pdydz
Rdxdy k
Qdzdx k
Pdydz k
Rdxdy k
Qdzdx k
Pdydz k
3 2
1
3 2
1
) 2 (
Rdxdy Qdzdx
Pdydz Rdxdy
Qdzdx Pdydz
则 相反的侧
表示与
用 ,
) 3 (
（可加性、方向性、垂直性）
4. 若 ，
xoy 面
( , , ) 0
R x y z dxdy简化计算中常用
yoz
面
( , , ) 0
zox Q x y z dzdx
面 ,
( , , ) 0 P x y z dydz
.计算方法 四
1. 直接计算法
) , (x y f
z
Dxy
x
y z
o
s)xy
(
以计算 为 例
dxdy z
y x
R( , , )
讨论计算法
n
i
xy i i
i
i S
R dxdy
z y x R
0 1 ( , , )( )
lim )
, ,
(
) ,
(
, ) (
) (
, 0 cos
,
i i
i
xy xy
i
z
S
又
取上侧
n i
xy i i
i i
i n
i
xy i i
i i
z R
S R
0 1 0 1
) ))(
, ( , ,
( lim
) )(
, ,
( lim
Dxy
dxdy y
x z y x R dxdy
z y x
R( , , ) [ , , ( , )]
即
说明 : 如果积分曲面 取下侧 , 则
R(x, y, z)d x d y
Dxy R(x, y, z(x, y ))d x d y( 上正下负 )
, )
, , (
) 2
( 计算
时
dydz z
y x P
则 且
的方程为
取 : x x( y, z), ( y, z) Dyz, ,
1 当取前侧时
Dyz
dydz z
y z
y x P dydz
z y x
P( , , ) [ ( , ), , ] ,
2 当取后侧时
Dyz
dydz z
y z
y x P dydz
z y x
P( , , ) [ ( , ), , ] ,
) , , (
) 3
( 计算
时
dzdx z
y x Q
则 且
的方程为
取 : y y(z, x), (z, x) Dzx ,
,
1 当取右侧时
Dzx
dzdx z
x z y x Q dzdx
z y x
Q( , , ) [ , ( , ), )]
,
2 当取左侧时
Dzx
dzdx z
x z y x Q dzdx
z y x
Q( , , ) [ , ( , ), )]
注 意
(1) 计算过程为“一投影二代三正向” ;
;
, )
2
( 对坐标 x y的曲面积分投影到 xoy面
;
, )
3
( 对坐标 y z的曲面积分投影到 yoz面
;
, )
4
( 对坐标 z x的曲面积分投影到 zox面 0.
0, )
5
( 若投影面积为 则该积分为
例 2 计算 ，其中 为球面 外侧
在 的部分 . xyzdxdy
x2 y2 z2 10, 0
x y
(6 4 3 ) , 1
2 3 4 x y z
x y z dzdx
例1 求其中为平面
在第一卦限部分,取上侧.
3 ( ) ( ) ( ) ,
x y dydz y z dzdx z x dxdy a
例求
是边长为(以原点为对称中心)的正方体外侧
6 3
( x 4y z)dzdx
: 1,
2 3 4
:
6 4 3 12
zx
x y z
zox D
f x y z
解:在第一卦限部分,取上侧, 将向面进行有向投影,如图 将的方程代入被
（即:右侧）
积函数中得
x
y z
2
3 4
一投二代三定向
12
Dzx
dzdx 48
(6 4 3 ) , 1
2 3 4 x y z
x y z dzdx
例1 求其中为平面
在第一卦限部分,取上侧.
解
把 分成
1和
2两部分
, 1
: 2 2
1 z x y
, 1
: 2 2
2 z x y
x
y z
2
1
. 0 ,
0 ,
1
: x2 y2 x y Dxy
取下侧 ; 取上侧 ;
例 2 计算 ，其中 为球面 外侧
在 的部分 . xyzdxdy
x2 y2 z2 10, 0
x y
2 1
xyzdxdy xy dxdyz xyzdxdy
2 1
xyzdxdy xy dxdyz xyzdxdy
2 2
2 2
(
1
1 )
y
y x
Dx
D
xy dxdy
x
x y
x y
y dxdy
Dxy
dxdy y
x
xy 1 2 2 2
. 1
cos sin
2
2
2
Dxy
rdrd r
r
15
2
1 : x
2 y
2 D
xyo z
x 1 y
1
2
y
Dx
r r
r 1 2 d
1 0
3
2
0 sin 2 d
一投二代三定向
根据对称性
xyz d x d y 0 思考 : 例 2 的下述解法是否正确 :
o z
x 1 y
1
2
y
Dx
1
: x
2 y
2
D
xy2. 对称性简化计算法 则 面对称
关于 ,
1 xoy
上
时 当
dxdy z
y x R dxdy
z y x R
z y x R z
y x R
) , , ( 2
) , , (
, ) , , ( )
, , ( )
1 (
0 )
, , ( ,
) , , ( )
, , ( )
2
(
dxdy z
y x R z
y x R z
y x
R 时
当
则 面对称
关于 ,
2 yoz
前
时 当
dydz z
y x P dydz
z y x P
z y x P z
y x P
) , , ( 2
) , , (
, )
, , ( )
, , (
) 1 (
0 )
, , ( ,
) , , ( )
, , (
) 2
(
dydz z
y x P z
y x P z
y x
P 时
当
则 面对称
关于 ,
3 zox
右
时 当
dzdx z
y x Q dzdx
z y x Q
z y x Q z
y x
Q
) , , ( 2
) , , (
, ) , , ( )
, ,
( )
1 (
0 )
, , ( ,
) , , ( )
, ,
( )
2
(
dzdx z
y x Q z
y x Q z
y x
Q 时
当
3
( ) ( ) ( ) ,
x y dydz y z dzdx z x dxdy
例
求
：以下图示立方体外侧
1
1
1 : ( | | , | | ),
2 2 2
( )
0 :
( )
0 )
) (
( x y dyd
a a a
z x y
z x dxdy z x
z y z dzd d dy
x x
解 上侧, 1
一代二投三定向
3
( )
2
2 2
xy xy
D D
a a
x dxdy dx
a dy
2
2 : ( | | , | | ),
2 2 2
( ) ( ) ( )
a a a
z x y
x y dydz y z dzdx z x dxdy
下侧
2
一代二投三定向
1 2
3 +
(x y dydz) (y z dzdx) (z x dxdy a)
2
( ) (
2 )
Dxy
x dxdy a x dxdy z
3
2 2
Dxy
a a
dxdy 3,4
5,6
3
3
3
,
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) 3
x y dydz y z dzdx z x dxdy a x y dydz y z dzdx z x dxdy a
x y dydz y z dzdx z x dxdy a
利用对称性
3 4
5 6
: ( | | , | | ), : x ( | | , | | ),
2 2 2 2 2 2
: y ( | | , | | ), : y ( | | , | | ),
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
x z y z y
a a a a a a
x z x z
前侧后侧 右侧左侧
解：
2 2 2 5 2 2 2 2 5 2 2
0 0 0 0
sin 2 2 7 5 2 7 2 5 7
0 0 0
7 7
sin cos 1 sin 2
4 1 1 cos 4
sin cos (sin sin )
4 2 4
4 2 6 4 2 2
( )
4 5 3 7 5 3 105
R R
r R t
d r R r dr d r R r dr
d R t tdt R t t dt
R R
练习：
一投二代三定向
习题 -1(3)
xdydz ydzdx zdxdy
求
。
z z
y x
侧 第一卦限内的部分的前
所截得的在 及
被平面
是柱面
2
2 1 0 3
x
y z
o
3
1 1
2 2
,
: 1 : 0 1,0 3,
: 1 : 0 1,0 3
yz zx
yoz zox
x y yoz D y z
y x zox D x z
前 右
将分别向面与面投影
向面投影得
即将 向面投影得
, 0
xoy zdxdy
面面 解:
= +
zdxdy xdydz ydzdx xdydz ydzdx
右 前
zx
yz D
D
dzdx x
dydz
y
21
21
2 1 3
1
30 1 2
0 3
0 1 2
0
dy y dz dx x dz
I
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 ,
2 0.
外
例求
其中是
I x y dydz y z dzdx z x dxdy
x y z a y z b
例 5 计算 , 其中 为曲面 及平面 所 围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 .
( y z dydz) (z x dzdx) (x y dxdy)
( 0) z h
2 2
z x y
2 2
6
( 1)
例求，其中是 的上
xdydz ydzdx zdxdy z x y z
侧 .
解 由的曲面方程可以看出, 关于三个坐标面对称, , ,
, ,
, 2 2 2 2
2
2 是关于 的偶函数
且 x y y z z x x y z .
0
I
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 ,
2 0.
外
例求
其中是
I x y dydz y z dzdx z x dxdy
x y z a y z b
解 如图所示 ,
x
y z
o h 面对称,
面和
由于曲面关于yoz zox
, )
, ,
( 是关于 的偶函数
且P x y z y z x
, )
, ,
( x y z z x是关于y的偶函数
Q
, 0 )
(
dydz z
y
( ) 0
dzdx x
z ,
: 2 2
1 z x y
记 取下侧 ; 2 : z h, 取上侧 ;
例 5 计算 , 其中 为曲面 及平面 所 围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 .
( y z dydz) (z x dzdx) (x y dxdy)
( 0) z h
2 2
z x y
x
y z
o
2 h
2
: x2 y h
D
dxdy y
x
原式 ( )
2 1
) (
)
(x y dxdy x y dxdy
dxdy y
x
h y x
2 2 2
)
( x y dxdy
h y x
2 2 2
)
( 0
