线性运算 向量的
线性运算 向量的 向量的 表示法 向量的 表示法
向量积 向量积 数量积 数量积
向量的积
向量概念 向量概念
用代数方法（向量代数工具）研究空间几何
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
设
M
1( x
1, y
1, z
1)
、M
2( x
2, y
2, z
2)
为空间两点横轴 x
y 纵轴
z 竖轴
定点o
b a
b a a
b
| 0
| a a
a .
|
|
a0
a
a
（ 1 ）结合律：
(
a)
(
a) (
)a（ 2 ）分配律：(
)a
a
a b ab
a
( ) 0
a b a 定定定定定定定定定定定定定定定
以
i j k ,
,
分别表示沿x, , y z
轴正向的单位向量.—— 称为基本单位向量
以M1(x1,y1,z1)为起点、M2(x2,y2,z2)为终点的
向量的坐标表示式为：
} ,
,
{ 2 1 2 1 2 1
2
1M x x y y z z
M
特殊地：OM {x, y, z} —— 称为向径
—— 向量的坐标表示式
i a P
P1 2 x Q1Q2 ay j R1R2 azk
—— 向量在三个坐标轴上的分向量 向量在三个坐标轴上的投影
z y
x a a
a , , —— 称为向量的坐标
} ,
,
{ a
xa
ya
za
o y
M1
M2
P1
Q1 Q2 R1
R2
A B
i j k
k z
z j
y y
i x x
M
M
) (
) (
)
( 2 1 2 1 2 1
2
1
k a j
a i
ax y z
1 、向量的分解式
2 、向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
}, ,
,
{ a
xa
ya
za b { b
x, b
y, b
z},
{
x x,
y y,
z z} a b a b a b a b
( a
xb i
x) ( a
yb j
y) ( a
zb k
z) ;
} ,
,
{ a
xa
ya
za
. ) (
) (
)
( a
xi a
y j a
zk
2 ）非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向 角 .
0 , , ,
3 、向量的模与方向余弦的坐标表示式
y z
o
A
Q R
2 2
| 2
| a ax ay az 1 ）
OA a { ,ax ay, az},
定定定定定=
2 2 2
x y z
cos | | a a a
x x
a a
a
y y
2 2 2
x y z
cos | | a a a
a a
a
z z
2 2 2
cos | | a a a
a a
a
7.3 数量积与向量积
一物体在常力F
作用下沿直线从点M1移动
到点M2，以s表示位移，则力F
所作的功为
cos|
||
| F s
W (其中
为F
与s
的夹角)向量a与b的数量积为ab
cos|
||
| a b b
a 1 、引入
2 、定义
一、两向量的数量积
数量积也称为“点积”、“内积” .
a b
a b | a || b | cos
, Pr
cos
|
| b jab 定定定定定定定定定b a
, Pr
cos
|
| a jba 定定定定定定定定定a b a
j b
b
a | | Pr b
| a | Pr jab.
3 、性质
0 )
2
( a b ab.
() a b 0, | a | 0, | b | 0, ,
0
cos
ab. .|
| )
1
( a a a 2
() ab, cos
0, .0 cos
|
||
|
b a b
a ,
0
a a | a || a | cos
| a |2 . 证证
, 2
2 ,
b a
由此可知 :
a b 0,
4 、运算规律：
（ 1 ）交换律
： a b b a;
（ 2 ）分配律
： (a b) c a c b c;
（ 3 ）若 为数
(a) b a (b) (a b), 若 、 为数：
(a)(b) (a b)., k a j
a i
a
a x y z b bxi by j bzk 设
b
a (axi ay j azk) (bxi by j bzk) ,
k j
i
i j j k k i 0, ,
1
|
|
|
|
|
| i j k
i i j j k k 1.
z z y
y x
xb a b a b
a b
a
5 、数量积的坐标表达式
cos|
||
| a b b
a ,
|
||
cos |
b a
b a
b a b
a b
a
解
2 3 a 2 ) ( b a b ) {1,7, 16} {2, 1, 2} ( ) 定
b a )
1
( 11 1 (2) (4) 2 9.
1 2+7 (-1)+( 16) ( 2) 27
解 (3) cos 2 x x2 2y y 2 z z 2 2
x y z x y z
a b a b a b
a a a b b b
2 ,
1
(4) a b | | Pr b j a
b
3.|
Pr |
b
b a a
jb
. 4 3
3
|
||
|
|
| M OQ F | OP || F | sin
1 、引入
二、两向量的向量积
L
F
P O Q
模：
向量a与b
的向量积为c
a
b
sin|
||
|
|
| c a b (其中
为a
与b
的夹角)2 、定义
3 、 性质：
(2) a a 0. ( sin 0)
向量积也称为“叉积”、“外积” .
a
b b a
c
4 、运算规律：
（ 1 ）a b b a.
（ 2 ）分配律 (a b) c a c b c.
()
, 0
a b | a | 0, | b | 0, ,
0
sin
0,或
()0
sin
.0 sin
|
||
|
|
| a b a b
证b a// b
a
// 0或 (3) a// b
a b 0 .
0, 0
a b
定定定定定定定定定定定定定定定定定 定定定
, k a j
a i
a
a x y z b bxi by j bzk 设
b
a (axi ay j azk) (bxi by j bzk) ,
k j
i
, 0
i i j j k k
, j i
k ,
i k
j
,
k i
j
k j i, i k j .
k b
a b
a j
b a b
a i
b a b
ay z z y z x x z x y y x ) (
) (
)
(
5 、向量积的坐标表达式
向量积还可借助于三阶行列式表示
z y
x
z y
x
b b
b
a a
a
k j
i b
a
ab ab i ab ab j ab ab k
y x
y x
z x
z x
z y
z
y
( a b
y za b i
z y) ( a b
x za b j
z x) ( a b
x ya b k
y x)
练习：
4 2
3
k j
i
b
a 10j 5k,
z z y
y x
x
b a b
a b
a
b
x、by、bz不能同时为零，但允许两个为零，例如， ax ay az a 0, a 0 b
a//
6 、两向量平行的充要条件：a// b a b 0
0
y z
z
yb b a
a
0
x z
z
xb b a
a
0
x y
y
xb b a
a
z z y
y x
x
b a b
a b
a
解：
z y
x
z y
x
b b
b
a a
a
k j
i b
a c
2 1
1
4 2
3
k j
i
, 5 10 j k
, 5 5 5
10
|
| c 2 2
|
|
0
c c c
.
5 1 5
2
j k
a, b c a b
显然，与向量均垂直的向量与平行：
例 已知向量 a
2,3,1
,b
1,2,3
,c
2,1,2
求与 a,b 同时垂直，且在 c 上投影为 1 的向量 v
解 由于 v 同时垂直于 a,b
v a b //
3 2
1
1 3
2
k j
i b
a
7i 5j k
故可设
v t a b ( )
7t,5t,t
而
1 Pr | | cos
c
| |
j v v v c
c
7t t 71故，所求向量为
7 ,1 7 ,5 1 v
a b a c b c 定(1)
// a b a c | | Pr a j b
a | | Pr a j c
a Pr j b
aPr j c
ab c
b
a
c
b
a
c
( )
3a a a a 定:定定定定定定定定 (3)
) )
a b a b a a b b (6) ( (
(4) 0 a =1
a a
定定
2 2 2
