Implementasi Algoritma Vizing Untuk Proses Pewarnaan Sisi Graf Pada Penjadwalan Kuliah

Implementasi Algoritma Vizing Untuk Proses Pewarnaan Sisi Graf Pada Penjadwalan Kuliah

Tuty Sinaga, Hery Sunandar, Murdani

Teknik Informatika, Universitas Budi Darma, Medan, Indonesia Email: tutysinaga@gmail.com

Submitted 09-06-2020; Accepted 28-08-2020; Published 31-10-2020 Abstrak

Pewarnaan titik adalah mewarnai semua titik pada graph 𝐺, sehingga setiap pasang titik yang terhubung langsung memiliki warna yang berbeda. Pewarnaan titik dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan masalah penyusunan jadwal kuliah. Salah satu algoritma untuk menyelesaikan masalah pewarnaan graph pada penjadwalan kuliah adalah algoritma vizing. Hasil pewarnaan graph dengan menggunakan algoritma tabu search digunakan untuk menyusun jadwal kuliah, sehingga tidak ada jadwal yang bentrok artinya tidak ada dua matakuliah yang diambil oleh seorang mahasiswa yang dilaksanakan pada waktu yang bersamaan. Dengan demikian dapat ditentukan waktu dan ruang untuk melaksanakan perkuliahan sehingga dapat dibuat jadwal kuliah. Untuk mempermudah menyelesaikan permasalahan tersebut maka dibuat program dengan vb2008. Data yang diinputkan berupa mata kuliah, dosen dan kelas mahasiswa yang akan representasikan sebagai titik graph. Proses pewarnaan dimulai dari 𝑘 = 1 sehingga diperoleh warna yang lebih minimum. Output yang dihasilkan program berupa tabel jadwal kuliah yang telah ditentukan waktu dan ruang.

Kata Kunci: Pewarnaan titik graph, algoritma vizing, penjadwalan kuliah.

Abstract

Dots coloring is coloring all points in graph 𝐺, so that each pair of directly connected points has a different color. Point coloring can be used to help solve the problem of preparing class schedules. One algorithm for solving graph coloring problems in college sch eduling is the vizing algorithm. The results of graph coloring using the taboo search algorithm are used to arrange class schedules, so that there are no conflicting schedules meaning that no two courses taken by a student are carried out at the same time. Thus, time and space can be determined to carry out lectures so that a class schedule can be made. To make it easier to solve these problems, a program with vb2008 was created. The data entered in the form of courses, lecturers and student classes will be represented as point graphs. The coloring process starts from 𝑘 = 1 so that the minimum color is obtained. The output produced by the program is in the form of class schedules that have been determined by time and space.

Keywords: Point Graph Coloring, Vizing Algorithm, Lecture Scheduling.

1. PENDAHULUAN

STMIK Budi Darma Medan merupakan salah satu perguruan tinggi yang memberikan sebuah fasilitas untuk penjadwalan kuliah dalam sistem akademik di Perguruan Tinggi yang dilakukan setiap menghadapi semester baru. Pada pelaksaanaannya, seringkali jadwal yang telah dikeluarkan belum maksimal sehingga membutuhkan adanya penjadwalan ulang. Hal ini mengakibatkan perkuliahan di awal semester berjalan tidak efektif karena harus melakukan penyesuaian jadwal yang dikeluarkan.

Penjadwalan yang sering terjadi, jadwal perkuliahan untuk beberapa semester yang ada, ruang perkuliahan yang dipakai atau yang digunakan saling tumpang tindih/tabrakan[1]. Karena permasalahan sering yang terjadi pada dosen tertentu, misalkan dosen tidak bisa mengajar pagi karena kesibukan rumah tangganya. Adapun dosen yang tidak sanggup dengan jadwal yang ada, karena dosen tersebut mempunyai jadwal di fakultas lain atu mengajar disekolah. Adapun masalah dari faktor kelas seperti kelas pratikum. Karena kelas pratikum tidak hanya dipakai oleh prodi itu saja, banyak prodi lain yang membutuhkan ruang pratikumnya. Sehingga membutuhkan waktu yang efisien untuk menentukan sebagai jadwal pratikumnya sebelum membuat jadwal harus mengetahui permasalahan yang terjadi agar dosen, kelas dan waktu dapat ditentukan dalam penjadwalannya. Oleh karena itu, diperlukan sistem penjadwalan perkuliahan yang efisen agar pembelajaran dikampus dapat terlaksana lebih maksimal dan efisien.

Proses penjadwalan pada graf dimisalkan hari senin derajat maksimumnya ada tiga, sehingga pewarnaan minimal pada grafnya ada tiga warna. Untuk membuat pewarnaan graf pada hari senin harus minimal tiga warna. Hal kedua yang akan dilihat dari pewarnaan sisi adalah waktu perkuliahan yang terjadi pada setiap ruang kuliah. Jadi pewrnaan graf yang akan dibuat yaitu pewarnaan graf antara kelas dan ruang kuliah. Warna yang berbeda menyatakan bahwa waktu kuliah bisa dilaksanakan hari yang sama. Jika ada tiga macam warna berarti dalam hari senin ada tiga waktu perkuliahan. Warna hitam untuk jam pertama, warna biru untuk jam kedua, warna kuning untuk waktu jam ketiga[2].

2. METODE PENELITIAN

2.1 Graf

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), di tulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari titik-titik (vertices dan node) dan E adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang titik.[3]

Graf merupakan struktur diskrit yang terdiri himpunan sejumlah berhingga objek yang di sebut simpul (vertices, vertex) dan himpunan sisi (edges) yang menghubungkan simpul-simpul tersebut. Terdiri dari graf yang di gunakan untuk

mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Notasi sebuah graf adalah G = (V, E). Di mana :

1. V merupakan himpunan tak kosong dari titik – titik (vertices). Misalkan V = { 𝑉₁, 𝑉₂ , …. 𝑉_𝑛}

2. E merupakan himpunan sisi - sisi (edges) yang menghubungkan sepasang titik. Misalkan E = { 𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒_𝑛…. }.

2.2 Algoritma Vizing

Suatu pewarnaan sisi untuk graf G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua K warna untuk mewarnai semua sisi di G sehingga setiap pasang sisi yang mempunyai titik persekutuan diberiwarna yang berbeda.[4]

Teorema 1 (vizing)[4]:

Jika G adalah graph sederhana yang derajat maksimum titiknya adalah m, maka bilangan khromatiknya 𝑥(𝐺) adalah.

𝑚 ≤ 𝑥 (𝐺) ≤ 𝑚 + 1 (1)

Teorema 2 (vizing) [4] :

Jika G adalah graph sederhana bipartit yang derajat maksimum titiknya adalah 𝑚, maka

𝑥 (𝐺) = 𝑚 (2)

2.3 Penjadwalan Kuliah

Jadwal adalah pembagian waaktu berdasarkan rencana pengaturan kerja. Sedangkan penjadwalan adalah proses, cara perbuatan menjadwalkan atau memasukan dijadwal. Salah satu tingkah pendidikan yang mengalami permasalahan penjadwalan adalah perguruan tinggi dalam hal ini penjadwalan perkuliah[5]. Komponen dari masalah penjadwalan perkuliah (Syadid, 2007) adalah :

1. Kelompok dari mahasiswa 2. Kelompok dari pengajar 3. Kelompok dari mata kuliah

4. Kelompok dari slot waktu yang telah ditentukan.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam analisa penjadwalan kuliah berdasarkan banyaknya mata kuliah untuk semester ganjil pada jurusan teknik informatika beserta sksnya, ruangan, dosen dan kelas. Adapun banyaknya mata kuliah beserta bobot sksnya untuk semester I, II, V dan VII. Diantaranya untuk semester I terbagi dua kelas TI-P1402 dan TI-S1405 dengan 7 jumlah ruangan diantaranya di lantai 2 satu lab, dilantai 3 dengan tiga ruangan dan dilantai 4 tiga ruangan, semester III di kelas TI-S1406 dan TI-S1407 dengan 7 jumlah ruangan diantaranya dilantai 2 satu lab, dilantai 3 empat ruangan dan dilantai 4 dua ruangan, semester V di kelas TI- P1402 dan TI-P1403 dengan 9 jumlah ruangan diantaranya dilantai 2 dua ruangan, dilantai 3 empat ruangan dan dilantai 4 tiga ruangan dan semester VII di kelas TI-S1409 dan TI-P1405 dengan 6 jumlah ruangan diantaranya dilantai 2 satu lab, dilantai 3 tiga ruangan dan dilantai 4 dua ruangan. Dimana terdapat 29 matakuliah dan dosen pengajar pada mata kuliah untuk semester ganjil 60 Dosen.

Menganalisa serta membagi setiap mata kuliah yang dipelajari untuk masing-masing tingkatan semester yang terbagi dalam dua kelas kedalam bentuk tabel.

Tabel 1. Semester I

Mata Kuliah Semester SKS Hari Jam Ruangan Kelas

Perangkat Lunak Aplikasi I 3 Senin 13.15-15.30 RT.305 TI-P1402 Pengantar Teknologi Informatika I 2 Senin 08.15-09.45 RT.401 TI-P1402

Logika dan Algoritma I 3 Senin 10.45-13.00 Lab.202 TI-S1405

Kalkulus I I 3 Selasa 08.15-10.30 RT.314 TI-S1405

Fisika I 3 Selasa 10.45-13.00 RT.415 TI-P1402

Bahasa Inggris I I 2 Kamis 11.45-13.15 RT.316 TI-P1402

Agama Kristen I 3 Kamis 08.15-10.30 RT.412 TI-S1405

Pada graf Teorema (vizing) Jika G adalah graf sederhana bipartit yang derajat maksimum titiknya adalah m, maka x (G) = m. Pada graf dari derajat maksimumnya ada tiga, sehingga pewarnaan minimal pada grafnya ada tiga warna. Untuk membuat pewarnaan graf pada semester ganjil dan genap harus minimal tiga warna.Pewarnaan sisi pada grafVizing untuk pewarnaan sisi pada graf: Jika G merupakan graf sederhana teratur, maka

𝑚 ≤ 𝑥(𝐺) ≤ 𝑚 + 1

χ’(G) = Δ(G) atau χ’(G) = Δ(G) + 1

Dengan Δ adalah derajat simpul graf teratur.Teorema pewarnaan sisi graf lengkap: Untuk setiap graf lengkap Kn berlaku χ’(Kn) = n – 1 jika n ganjil dan χ’(Kn) = n jika n genap Algoritma pewarnaan sisi graf lengkap untuk n ganjil:

1. Berilah warna pada sisi-sisi luar yang membentuk segi-n dengan warna berbeda untuk setiap sisinya.

Algoritma pewarnaan sisi graf lengkap untuk n genap:

1. Hapus salah satu simpul sehingga graf menjadi graf lengkap dengan n ganjil.

2. Lakukan langkah pewarnaan sisi pada graf lengkap dengan n ganjil hingga tuntas.

3. Tambahkan kembali simpul yang dihapus dan hubungkan simpul tersebut dengan sisi berwarna ke simpul yang belum bersisian dengan simpul dengan warna tersebut. Pewarnaan sisi pada graf bukan semata-mata hanya untuk menandai sisi graf, tetapi juga bertujuan untuk mendapatkan warna seminimal mungkin untuk pewarnaannya

Dengan terbatasnya ketersedian ruang perkuliahan dibandingkan jumlah kelas pada setiap tingkatan semester, maka diperlukan jadwal yang efisien yang tidak saling tunpang tindih baik dalam hal ruang kuliah maupun waktu perkuliahan pada semester ganjil dan semester genap. Oleh karen itu, sebelumnya membuat graf penjadwalan perkuliahan terlebih dahulu merepsentasikan komponen-komponen dalam penjadwalan kedalam graf, dalam penerapan vizing memiliki fungsi titik ganjil dan titik genap. Adapun graf yang menggambarkan banyaknya matakuliah, dan tingkatan semester ganjil.

Gambar 1. Graf Semester 1 Keterangan :

v1 = Mata kuliah Perangkat lunak aplikasi jadwal kuliah hari senin dengan 3 SKS pada ruangan 305.

v2 = Mata kuliah Pengantar Teknologi Informatika jadwal kuliah hari senin dengan 2 SKS pada ruangan RT.401 v3 = Mata kuliah Logika dan Algoritma di hari senin dengan 3 SKS pada ruangan Lab.202

v4 = Mata kuliah Kalkulus I jadwal kuliah di hari selasa dengan 3 SKS pada ruangan RT.314 v5 = Mata kuliah Fisika jadwal kuliah di hari selasa dengan 3 SKS pada ruangan RT.415

v6 `= Mata kuliah Bahasa Inggris I jadwal kuliah di hari kamis dengan 3 SKS pada ruangan RT.316 v7 = Mata kuliah Agama Kristen jadwal kuliah di hari kamis dengan 3 SKS pada ruangan RT.412 Pewarna dinamis G untuk n ≥ 3 m ≥ 3 :

Fungsi titik 𝐶_𝑛𝐶_𝑚Untuk n ganjilm ganjil :

1, v = 𝑥_𝑖,𝑗𝑥_𝑖,j+1 ; untuk 1 ≤ i ≤ m, jika j adalah ganjil, 1 ≤ j < n − 1 1, v = 𝑥_𝑖,𝑛𝑥_𝑖+1,n ; jika i adalah ganjil

2, v = 𝑥_𝑖,𝑗𝑥_𝑖,j+1 ; untuk 1 ≤ i ≤ m, jika j adalah genap, 1 < j < n − 1 f (v) = 2, v = 𝑥_𝑖,1 𝑥_𝑖,1 ; jika i adalah ganjil

3, v = 𝑥_𝑖,𝑛𝑥_𝑖,1 ; untuk 1 ≤ i ≤ m

3, v = 𝑥_𝑖,𝑗𝑥_𝑖+1,j ; jika i adalah ganjil, 1 < j < n –1 1, v1 : 3 + 1 untuk m ganjil

1, v2 : 2 + 1 untuk m ganjil 2, v3 : 3 + 1untuk m ganjil Χ(G) = Xd (G) = 2, v4 : 3 + 1 untuk m ganjil

3, v5 : 3 + 1 untuk m ganjil 3, v6 : 2 + 1 untuk m ganjil

4, v7 : 3 + 1 untuk m𝑣1³+𝑣2³+ 𝑣3³+𝑣4³+𝑣5 ³+𝑣6³+𝑣7³ke n Χ(G) = Xd (G) = X3 (G) = 4, untuk m = 3, m ganjil

1, v1 : 3 + 1 = 4 untuk m ganjil< n − 1 1, v2 : 2 + 1 = 3 untuk m ganjil< n − 1 2, v3 : 3 + 1 = 4 untuk m ganjil< n − 1 Χ(G) = Xd (G) = 2, v4 : 3 + 1 = 4 untuk m ganjil< n − 1 3, v5 : 3 + 1 = 4 untuk m ganjil< n − 1 3, v6 : 2 + 1 = 3 untuk m ganjil< n − 1

4, v7 : 3 + 1 = 4 untuk m 𝑣1³+𝑣2³+ 𝑣3³+𝑣4³+𝑣5 ³+𝑣6³+𝑣7³, ke n 1, v1 : 3 + 1 = 4 untuk m ganjil

1, v2 : 2 + 1 = 3 untuk m ganjil 2, v3 : 3 + 1 = 4 untuk m ganjil Χ(G) = Xd (G) = 2, v4 : 3 + 1 = 4 untuk m ganjil 3, v5 : 3 + 1 = 4 untuk m ganjil 3, v6 : 2 + 1 = 3 untuk m ganjil

4, v7 : 3 + 1 = 4 untuk m 4 − 1³+3 − 1³+ 4 − 1³+4 − 1³+4 − 1 ³+3 − 1³+4 − 1³, ke n

Χ(G) = Xd (G) = X3 (G) = untuk m 4 − 1³+3 − 1³+ 4 − 1³+4 − 1³+4 − 1 ³+3 − 1³+4 − 1³ Χ(G) = Xd (G) = X3 (G) = untuk m 3³+2³+ 3³+3³+3 ³+2³+3³

Χ(G) = Xd (G) = X3 (G) = untuk m 27 + 8 + 27 + 27 + 27 + 8 +27 Χ(G) = Xd (G) = X3 (G) = untuk m 151

Gambar 2.Titik simpul Semester I (Ganjil)

Keterangan :

Warna kuning menjadwalkan hari senin dengan simpul : v1, v2, v3 Warna biru menjadwalkan hari selasa dengan simpul : v4, v5 Warna ungu menjadwalkan hari kamis dengan simpul : v6, v5, v7

v1 = Menjadwalkan mata kuliah Perangkat Lunak Aplikasi di hari senin dengan ruangan RT.305 jam 13.15-15.30Kelas TI-P1402

v2 = Menjadwalkan mata kuliah Perangkat Teknologi Informatika di hari senin dengan ruangan RT.401 08.15- 09.45Kelas TI-P1402

v3 = Menjadwalkan mata kuliah Logika dan Algoritma di hari senin dengan ruangan RT.305 10.45-11.00 dan pindah di Lab.202 jam 11.15-15.30

v4 = Menjadwalkan mata kuliah Kalkulus I di hari selasa dengan ruangan RT.314 jam 08.15-10.30Kelas TI-P1405 v5 = Menjadwalkan mata kuliah Fisika di hari selasa dengan ruangan RT.415 jam 10.45-13.00 Kelas TI-P1402 v6 = Menjadwalkan mata kuliah Bahasa Inggris I di hari kamis dengan ruangan RT.316 jam 11.45-12.00 dan pindah di

RT.415 12.15-13.15Kelas TI-P1402

v7 = Menjadwalkan mata kuliah Agama Kristen di hari kamis dengan ruangan RT.412 jam 08.15-10.30 Kelas TI-P1405 Tabel 2. Penjadwalan Mata Kuliah Semester I

Hari Jam Mata kuliah Ruangan

Kelas

W.1 W.2 W.3 W.4

Senin 13.15-15.30 Perangkat lunak aplikasi Perangkat lunak aplikasi RT.305 RT.305 TI-P1402

08.15-09.45 Pengantar teknologi informatika RT.401 TI-P1402

10.45-11.00 Logika dan Algoritma Logika dan Algoritma RT.305 Lab.202 TI-S1405

Selasa 10.45-13.00 Kalkulus I RT.314 TI-P1405

13.00-15.30 Fisika RT.415 TI-P1402

Kamis 11.45-13.15 Bahasa Inggris I Bahasa Inggris I RT.316 RT.415 TI-P1402

13.15-15.30 Agama Kristen RT.412 TI-S1405

Keterangan : W1 : Warna 1 W2 : Warna 2 W3 : Warna 3 W4 : Warna 4.

3.1 Implementasi Program

Adapun nilai hasil beserta dataset di tampilkan dalam satu tampilan agar perhitungan jelas terlihat. Adapun tampilan output yang ditampilkan adalah data yang diketahui, dataset,probabilitas dan nilai hasil analisa, berikut output yang ditampilkan data ujicoba, dataset, probabilitas dan nilai hasil, dapat di lihat di tampilan di bawah ini. Tampilan ini merupakan penjadwalan kuliah berdasarkan dari titik simpul pada pewarnaan graf. Adapun tampilan form tersebut dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

Gambar 3. Penjadwalan kuliah.

4. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil yang di dapat dalam penelitian dapat disimpulkan proses pewarnaan graf pada penjadwalan kuliah ini mendapatkan jadwal yang minimal dalam jumlah hari, penggunaan ruang kuliah, bahkan waktu dalam perkuliahannya sangat minimal dalam perharinya. Penerapan Algoritma Vizing untuk pewarnaan sisi graf pada penjadwalan kuliah dapat dipresentasikan secara graf G, dengan menganggap semester ganjil sebagai edge, baris penjadwalan kuliah berdasarkan hari sebagai vertex.

REFERENCES

[1] Hery sunandar, 2014, Studi Tentang Penyelamatan Traveling Salesman Dengan Menggunakan Metode Reduksi Pada Teori Graf (Studi Kasus : Perusahaan Kimia Farma), Informasi dan Teknologi Illmiah (INTI). STMIK Budidarma Medan

[2] Usman, Nurdin, 2002, Konteks Implementasi Berbasis Kurikulum Jakarta, PT. Raja Grafindo Persada.

[3] Rinaldi Munir, matematika diskrit, (Cet. 3; Bandung: Informatika Bandung,2005 M), h 356-357.

[4] Martopo, 2006. Petal Graphs Classification Based On Vizing’s Theorem.

[5] Andi Helmi Ainul Yakin, 2014, Penerapan pewarnaan graf dalam penyusunan jadwal perkuliahan di prodi pendidikan biologi : Bandung

[6] Adi Nugroho, 2010, Rekayasa Perangkat Lunak Menggunakan UML dan Java. Penerbit ANDI : Yogyakarta [7] Priyanto, Rahmat, 2009, Langsung Bisa Visual Basic.Net 2008 ,Penerbit ANDI, Yogyakarta.

[8] Mulyana,Y.B, Trik Membangun PHP dan MySQL, Jakarta, penerbitElex Media Komputindo. 2004