1.8 Ketaksamaan
Bentuk umum ketaksamaan dinyatakan oleh
Dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x): suku banyak. (tanda < dapat digantikan oleh ≤ ,≥ ,>).
Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi ketaksamaan disebut himpunan penyelesaian atau solusi ketaksamaan.
Cara mencari solusi ketaksamaan dilakukan sebagai berikut:
1. Nyatakan ketaksamaan sehingga didapatkan salah satu ruasnya menjadi nol.
Misalkan ruas kanan dibuat menjadi Nol. Maka didapatkan
0.
2. Sederhanakan bentuk ruas kiri menjadi satu suku, misalkan
0.
3. Cari dan gambarkan pada garis bilangan semua pembuat nol dari P(X) dan Q(X).
4. Tentukan setiap tanda ( + atau - ) pada setiap interval yang terjadi dari garis bilangan di atas. Misalkan pembuat nol dari P(X) dan Q(X) berturut-turut dari kecil ke besar adalah a, b dan c. Maka interval pada garis bilangan digambarkan berikut:
(+) (-) (+) (-)
● ● ●
a b c
5. Interval dengan tanda (-) merupakan solusi ketaksamaan.
Apakah perbedaan persamaan dan ketaksamaan dalam matematika?
………
………
………
………
Contoh 2:
1. x + 1≥
2.
>
Penyelesaian:
Langkah 1:
…...
...
..
Langkah 2:
………
………
……
Langkah 3:
………
………
……
Langkah 4:
………
………
……
Langkah 5:
………
………
……
Penyelesaian:
Langkah 1:
…...
...
..
Langkah 2:
………
………
1.9 Ketaksamaan Nilai Mutlak
Secara geometris, nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real x didefenisikan sebagai jarak dari x terhadap 0, sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positif. Notasi yang digunakan adalah:
|x| = { Bentuk nilai mutlak |x| dinyatakan oleh gambar berikut:
| | | |
● ● ●
-x 0 x
(gbr.4)
Bila diberikan bentuk nilai mutlak |x – 2| maka dapat dituliskan menjadi atau dapat disederhanakan menjadi,
|x – 2| = { Sehingga bentuk nilai mutlak dapat diperumum menjadi:
|ax – b| = {
; a 0 Langkah 4:
………
………
Langkah 5:
………
………
Himpunan Penyelesaiannya:
………
………..
Sifat-sifat nilai mutlak
1.10 Akar Kuadrat
Untuk a ≥ 0, lambang √ , disebut akar kuadrat utama dari a, yang menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a. jadi √ √ = √ Dua akar kuadrat dari 7 adalah ±√ . Adalah tidak benar menuliskan√ = ± 4; cukup √ = 4.
√ | | 1. |x| = √
2. |x| < a ↔ -a < x < a 3. |x| > a ↔ x < -a atau x > a
4. |x + y| ≤ |x| + |y| (ketaksamaan segitiga) 5. |xy| = |x| |y|
y = | |
|𝑦|
7. |x| < |y| ↔ x2< y2
Lakukan pembuktian untuk sifat nilai mutlak no 4 dan no 7!
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………....
1.11 Kuadrat
Perhatikan| | , ini berasal dari sifat | || | | |
| | | | Contoh. 3:
Selesaikan ketaksamaan | | | | Penyelesaian:
| | | | | | | |
Titik-titik pemecah untuk ketaksamaan kuadrat ini adalah – 13 dan ; titik-titik ini membagi garis riil menjadi tiga selang (-∞, -13)(-13, dan ( ∞). Bilamana kita memakai titik-titik uji -14, 0, dan 3, kita hanya menemukan titik-titik didalam (-13, yang memenuhi ketaksamaan tersebut.
𝑥 𝑏 ± √𝑏 𝑎𝑐 𝑎
Untuk menyelesaikan 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 , sejak SMA kita telah mempelajari rumus kuadrat
Berikan pembuktian untuk rumus tersebut!
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
