Pelajaran KALKULUS I

(1)

KALKULUS I

IDA AYU PUTU ARI UTARI, S.SI, M.SI

(2)

INTERVAL

• INTERVAL : MISALKAN 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ DAN 𝑎 < 𝑏, MAKA

(3)

PERTIDAKSAMAAN

• BERIKUT INI PROSEDUR DALAM MENYELESAIAKN PERTIDAKSAMAAN :

1. MENAMBAHKAN BILANGAN YANG SAMA PADA KEDUA RUAS PERTIDAKSAMAAN.

2. MENGALIKAN BILANGAN POSITIF YANG SAMA PADA KEDUA RUAS PERTIDAKSAMAAN.

3. MENGALIKAN BILANGAN NEGATIF YANG SAMA PADA KEDUA RUAS PERTIDAKSAMAAN DAN KEMUDIAN TANDA PERTIDAKSAMAAN HARUS DIBALIK

(4)

PERTIDAKSAMAAN

• CONTOH :

SELESAIKANLAH PERTIDAKSAMAAN BERIKUT :

a.

2𝑥 − 6 < 4 PENYELESAIAN 2𝑥 − 6 < 4

2𝑥 < 10 (TAMBAHKAN 6)

𝑥 < 5 (KALIKAN DENGAN ^!_")

(5)

PERTIDAKSAMAAN

b.

2𝑥 + 1 < 3

PENYELESAIAN : 2𝑥 + 1 < 3 2𝑥 + 1 − 1 < 3 − 1

2𝑥 < 2

"#

" < ^"_"

𝑥 < 1

(6)

PERTIDAKSAMAAN

c.

2𝑥 + 1 < 𝑥 + 3 PENYELESAIAN :

2𝑥 + 1 < 𝑥 + 3 2𝑥 + 1 − 1 < 𝑥 + 3 − 1

2𝑥 < 𝑥 + 2

2𝑥 − 𝑥 < 𝑥 + 2 − 𝑥 𝑥 < 2

(7)

PERTIDAKSAMAAN

d.

𝑥^" − 𝑥 < 6

PENYELESAIAN :

𝑥^" − 𝑥 < 6

𝑥^" − 𝑥 − 6 < 6 − 6 𝑥^" − 𝑥 − 6 < 0

𝑥 − 3 𝑥 + 2 < 0

−2 < 𝑥 < 3 HP = −2,3

(8)

PERTIDAKSAMAAN

e.

^#$!_#%! ≥ 0

PENYELESAIAN :

NILAI DARI ^#$!_#%! AKAN LEBIH BESAR ATAU SAMA DENGAN NOL SETARA DENGAN 𝑥 − 1 𝑥 + 1 ≥ 0 DAN 𝑥 ≠ −1

SOLUSINYA ADALAH 𝑥 < −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 1

(9)

PERTIDAKSAMAAN

f.

"#$&

#$" ≤ 1

PENYELESAIAN :

"#$&

#$" − 1 ≤ 1 − 1

"#$&

#$" − ^#$"

#$" ≤ 0

"#$&$#%"

#$" ≤ 0

#$'

#$" ≤ 0

(10)

PERTIDAKSAMAAN

NILAI DARI ^#$'_#$" AKAN LEBIH KECIL ATAU SAMA DENGAN NOL SETARA DENGAN 𝑥 − 3 𝑥 − 2 ≤ 0 DAN 𝑥 ≠ 2

SOLUSINYA ADALAH 2 < 𝑥 ≤ 3

(11)

PERTIDAKSAMAAN

AKAR PERSAMAAN KUADRAT

MENCARI AKAR PERSAMAAN KUADRAT 𝑎𝑥^" + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 DAPAT MENGGUNAKAN :

𝑥_!," = ^{$)± )}_",^!^$+,- DIMANA :

𝑥_! = ^{$)$ )}_",^!^$+,-

𝑥_" = ^{$)% )}_",^!^$+,-

(12)

PERTIDAKSAMAAN

CONTOH SOAL :

SELESAIKAN 𝑥^" − 2𝑥 − 4 > 0 PENYELESAIAN :

𝑥_!," = $ $" ± ($")^!$+.!.($+)

".!

= "± +%!1

" = "± "2

"

= 1 ± 5

SEHINGGA 𝑥_! = 1 − 5 DAN 𝑥_" = 1 + 5 JADI SOLUSINYA 𝑥 < 1 − 5 ATAU 𝑥 > 1 + 5

(13)

PERTIDAKSAMAAN

LATIHAN SOAL :

1. TUNJUKKAN MASING-MASING INTERVAL PADA GARIS BILANGAN BERIKUT:

a.

−1,1 𝑑. [−1, ∞)

b.

(−4,1] 𝑒. (−∞, 0]

c.

−4,1

2. SELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN BERIKUT INI :

a.

7𝑥 − 2 ≤ 9𝑥 + 3

b.

−3 < 1 − 6𝑥 ≤ 4

(14)

PERTIDAKSAMAAN

c.

4𝑥^" − 5𝑥 − 6 < 0

d.

^'#$"_#$! ≥ 0

e.

_+#³ ≤ 7

f.

^"_# < 5

g.

_'#$"^! ≤ 4

(15)

NILAI MUTLAK

MISAL 𝑥 ∈ ℝ. NILAI MUTLAK 𝑥 DIDEFINISIKAN SEBAGAI 𝑥 = & 𝑥, 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑥 < 0

SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK : MISALKAN 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

1. 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏 2. ^!_" = ^!

"

3. 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 (KETIDAKSAMAAN SEGITIGA) 4. 𝑎 − 𝑏 ≥ 𝑎 − 𝑏

(16)

NILAI MUTLAK

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK : 1. 𝑥 = 𝑥^# → 𝑥 ^# = 𝑥^# = 𝑥^#

2. 𝑥 ≤ 𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

3. 𝑥 ≥ 𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≤ −𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 𝑎 4. 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥^# ≤ 𝑦^#

CONTOH SOAL :

1. TENTUKAN PERTIDAKSAMAAN 𝑥 − 4 < 1 PENYELESAIAN :

𝑥 − 4 < 1

−1 < 𝑥 − 4 < 1

(17)

NILAI MUTLAK

−1 < 𝑥 − 4 < 1

−1 + 4 < 𝑥 − 4 + 4 < 1 + 4 3 < 𝑥 < 5

JADI SOLUSINYA ADALAH 3 < 𝑥 < 5 ATAU HP= 3,5 2. TENTUKAN PERTIDAKSAMAAN 𝑥 − 1 ≥ 1

PENYELESAIAN:

𝑥 − 1 ≥ 1

𝑥 − 1 ≤ −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 − 1 ≥ 1

JADI SOLUSINYA ADALAH 𝑥 ≤ 0 ATAU 𝑥 ≥ 2

(18)

NILAI MUTLAK

3. TENTUKAN PERTIDAKSAMAAN 2𝑥 + 3 ≥ 4𝑥 + 5 PENYELESAIAN :

2𝑥 + 3 ≥ 4𝑥 + 5

⟺ 2𝑥 + 3 ^" ≥ 4𝑥 + 5 ^"

⟺ 4𝑥^" + 12𝑥 + 9 ≥ 16𝑥^" + 40𝑥 + 25

⟺ −12𝑥^" − 28𝑥 − 16 ≥ 0

⟺ 3𝑥^" + 7𝑥 + 4 ≤ 0

(3𝑥 + 4)(𝑥 + 1) ≤ 0 JADI SOLUSINYA −⁺

' < 𝑥 ≤ −1 ATAU HP= −⁺

', −1

(19)

PERTIDAKSAMAAN DENGAN NILAI MUTLAK

• LATIHAN SOAL

1. SELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN BERIKUT :

a.

4𝑥 + 5 ≤ 10

b.

| ^"#₃ − 5| ≥ 1

c.

| ^!_# − 3| > 6

2. SELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN BERIKUT :

a.

𝑥 − 1 < 2 𝑥 − 3

b.

2𝑥 − 1 ≥ 𝑥 + 1