MAKALAH PROGRAM LINEAR
“TRANSPORTASI DENGAN TABEL AWAL MENGGUNAKAN METODE POJOK KIRI ATAS POJOK KIRI BAWAH METODE
NW-CORNER DAN METODE LONCATAN”
Dosen Pengampu:
Drs. Wardi Syafmen, M.Si.
Dr. Dra. Nizlel Huda, M.Kes.
DISUSUN OLEH
Kelompok 6
1. Lidya Ribka Tambunan (A1C223001)
2. Fatimah Agustin (A1C223034)
3. Icih Liyani (A1C223061)
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah memberikan rahmat, karunia-nya serta kasih sayangnya kami para penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan judul “Transportasi dengan tabel awal menggunakan metode pojok kiri atas pojok kiri bawah Metode NW−Corner dan Metode Batu Loncatan”
ini dengan sebaik mungkin. Dan tak lupa pula kami ucapkan terimakasih kepada dosen pengampu kami yaitu Bapak Drs. Wardi Syafmen, M. Si. Dan Ibu Dr. Dra. Nizlel Huda, M.Kes. selaku dosen mata kuliah Program Linear.
Dalam Penulisan makalah ini, penulis menyadari bahwa masih banyak terdapat kesalahan dan kekeliruan, baik yang berkenaan dengan materi pembahasan maupun dengan teknik pengetikan. Semoga dengan makalah ini para pembaca dapat menambah wawasan ilmu pengetahuan dan diharapkan kritik yang membangun dari para pembaca guna memperbaiki kesalahan sebagaimana mestinya.
Jambi, 29 April 2025
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR... 2
BAB I ... 1
PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 1
1.3Tujuan ... 1
BAB II ... 2
PEMBAHASAN ... 2
2.1 Transportasi... 2
2.2Model Transportasi ... 2
2.3Metode Pemecahan ... 5
2.4 Contoh Soal ... 11
2.5 Soal Latihan ... 12
BAB III ... 16
PENUTUP ... 16
3.1Kesimpulan ... 16
3.2 Saran ... 16
DAFTAR PUSTAKA ... 17
iii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kegiatan distribusi barang atau komoditas, efisiensi biaya pengangkutan menjadi salah satu faktor krusial dalam manajemen logistic. Salah satu pendekatan matematis untuk mengoptimalkan proses distribusi tersebut adalah melalui persoalan transportasi. Model ini digunakan untuk mendistribusikan barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan dengan ongkos minimum. Dengan metode ini, perusahaan dapat menghindari pemborosan sumber daya dan meningkatkan efisiensi operasional. Oleh karena itu, pemahaman mengenai model transportasi dan metode pemecahannya sangat penting, terutama dalam pengambilan keputusan distribusi yang tepat guna.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah pada makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Apa itu Transportasi?
2. Bagaimana cara menyelesaikan transportasi menggunakan metode NW-Corner dan Metode Stepping Stone?
1.3 Tujuan
1. Untuk mengetahui Apa definisi dari Transportasi
2. Untuk mengetahui cara menyelesaikan transportasi menggunakan metode NW- Corner dan Metode Stepping Stone
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Transportasi
Persoalan transportasi membahas masalah pendistribusian suatu komoditas atau produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah tujuan (destination, demand), dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi.
Ciri-ciri khusus persoalan transpotasi ini adalah:
1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.
2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.
4. Ongkos pengangkutan komoditas dari sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu.
2.2 Model Transportasi
Model transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempat tempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda.
Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut:
- Masing-masing sumber mempunyai kapasitas ai, i = 1, 2, 3, …, m
- Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak bj, j = 1, 2, 3, …, n - Jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j adalah sebanyak
xij
- Ongkos pengiriman per unit dari sumber i ke tujuan j adalah cij.
Dengan demikian, maka formulasi program linearnya adalah sebagai berikut:
Minimumkan: 𝑧 = ∑𝑚𝑖=1∑𝑛𝑗=1 cij xij
Berdasarkan pembatas: ∑𝑛𝑗=1 xij = ai, i = 1, 2, …, m ∑𝑚𝑖−1 xij = bj, j = 1, 2, …, m
Xij ≥ 0 untuk seluruh i dan j
Sebagai ilustrasi, jika ada 2 buah sumber dan 3 tujuan (m = 2, n = 3)
Formulasi:
Minimumkan:
𝑧 = c11x11 + c12x12 + c13x13 + c21x21 + c22x22 + c23x23 berdasarkan pembatas:
𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 = 𝑎1
𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 = 𝑎1} pembatas sumber 𝑥11 + 𝑥21 = 𝑏1
𝑥12 + 𝑥22 = 𝑏2 𝑥13 + 𝑥23 = 𝑏3
} pembatas tujuan
Sedangkan tabel program linearnya adalah:
z x11 x12 x13 x21 x22 x23 Solusi Persamaan
tujuan
1 -c11 -c12 -c13 -c23 -c22 -c23 O Pembatas
sumber
0 1 1 1 a1
0 1 1 1 a2
Pembatas sumber
0 1 1 b1
0 1 1 b2
0 1 1 b3
Secara koefisien teknologis akan berharga nol atau satu (lihat tabel diatas), dan ini merupakan karakteristik/sifat model transportasi.
Dari tabel diatas itu kita juga tidak dapat melihat Solusi awal secara jelas, karena itu pada persoalan transportasi tidak lagi digunakan tabel seperti itu, tetapi diganti dengan tabel berikut:
Dengan demikian, walaupun persoalan transportasi ini dapat diselesaikan dengan metode simpleks, tetapi karena sifat-sifatnya yang khusus itu, maka dapat disusun suatu prosedur yang jauh lebih sederhana, yang secara sepintas lalu seakan-akan tidak ada hubungannya dengan metode simpleks.
2.3 Metode Pemecahan
Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Tentukan solusi fisibel basis awal
2. Tentukan entering variable dari variabel-variabel nonbasis. Bila semua variabel sudah memenuhi kondisi optimum, STOP. Bila belum, lanjutkan ke Langkah 3.
3. Tentukan leaving variable di antara varibel-variabel basis yang ada, kemudian hitung solusi yang baru. Kembali ke Langkah 2.
Langkah 1: Menentukan Solusi fisibel basis awal
a. Metode pojok kiri atas-pojok kanan bawah (northwest corner) Caranya adalah sebagai berikut:
Mulai dari pojok kiri atas, alokasikan sebesar x11 = min (a1, b1). Artinya:
jika b1 < a1 maka x11 = a1. Kalua x11 = b1, maka selanjutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah x12 sebesar min (a1 – b1, b2); kalau x11 = a1 (atau b1 > a1), maka selanjutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah x21 sebesar min (b1 – a1, a2). Demikian seterusnya.
Contoh:
a1 = 15; b1 = 5 x11 = min (15,5) = 5 a1 – b1 = 10; b2 = 15 x12 = min (10,15) = 10
langkah selanjutnya ialah mengisi b2 sampai penuh dengan mengalokasikan sebesar 5 pada x22, yaitu jumlah kekurangan yang terjadi dalam pemenuhan kebutuhan pada b2.
Dengan melanjutkan prosedur diatas, maka akan diperoleh berturut- turut: x23 = 15, x24 = 5, dan x34 = 5, yang bersama-sama dengan x11, x12, dan x22 membentuk Solusi fisibel basis awal.
Langkah 2 dan 3: Menentukan entering variable dan leaving variable
Menentukan entering dan leaving variable adalah tahap berikutnya dari teknik pemecahan persoalan transportasi, setelah Solusi fisibel basis awal diperoleh. Ada dua cara yang bisa digunakan dalam menentukan entering dan leaving variable ini, yaitu dengan menggunakan metode stepping stone.
a. Metode stepping stone
Untuk menentukan entering dan leaving variable ini, terlebih dahulu harus dibuat suatu loop tertutup bagi setiap variable nonbasis loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel non basis tadi, di mana tiap sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi. Sebagai contoh, dari tabel 5.3 diperoleh basis awal x11, x12, x22, x23, x24, dan x34, masing- masing dengan harga 5, 10, 5, 15, 5, dan 5.
Sampai di sini di peroleh Solusi awal 𝑧 = (5)(10) + (10)(0) + (5)(7) + (15)(9) + (5)(20) + (5)(18) = 110.
Dalam hal ini loop digunakan untuk memeriksa apakah bisa diperoleh penurunan ongkos (z) jika variabel nonbasis dimasukkan menjadi basis. Dengan cara memeriksa semua variabel nonbasis yang terdapat dalam suatu iterasi itulah kita dapat menentukkan entering variable.
Sebagai contoh, kita Kembali pada tabel 5.3. misalkan kita akan memeriksa apakah variabel nonbasis x21 dapat dimasukkan menjadi variabel basis sehingga ongkos totalnya berkurang. Untuk itu alokasikan sebanyak 1 satuan barang kepada x21 (atau x21 = 1). Mengingat bahwa kuantitas barang pada masing-masing baris atau kolom harus tetap, maka perubahan harga x21 dari 0 menjadi 1 mengakibatkan perubahan pada harga variabel basis x11 (yang berada pada kolom 1) sebesar 1 sehingga x11
menjadi = 4. Demikian pula halnya dengan variabel yang berada pada baris 2 sehingga x22 berubah menjadi 4. Perubahan yang terjadi pada z adalah: z = (4)(10) + (11)(0) + (1)(12) + (4)(7) + (15)(9) + (5)(20) + (5)(18) = 405.
Dibandingkab dengan Solusi sebelumnya (z = 410), maka jelaslah bahwa x21 dapat dimasukkan sebagai entering variable, di mana pengalokasian 1 unit barang kepada x21 akan mengakibatkan penurunan ongkos sebesar 5.
Untuk memudahkan perhitungan, buatlah sebuah loop tertutup untuk masing- masing pengecekan. Misalnya untuk variabel x21 tadi.
Kalau kita pandang 1 unit pengalokasikan kepada x21 berasal dari perpindahan 1 unit pada kolom 2 ke kolom 1, maka untuk menjaga agar kuantitas total pada kolom 2 tidak berubah dan kuantitas pada kolom 1 tidak berlebih, haruslah dari kolom 1 dipindahkan ke kolom 2 sebesar 1 unit pula.
Misalkan yang berubah itu adalah x11 menjadi 4, dan 1 unit dipindahka dari x11
kepada x12 sehingga menjadi 11. Dengan cara yang sama x21 menjadi 1 dan x22
Akibat “perpindahan antarkolom” ini terhadap ongkos total hanyalah akan berkisar pada elemen-elemen ongkos tempat dilakukannya perpindahan tersebut, yaitu c11, c12, c21, dan c22. Dalam hal ini, akibat perpindahan dari x11 kepada x12 sebesar 1 unit, maka terjadi penurunan ongkos sebesar c11 – c12. Begitu pula yang terjadi pada perpindahan dari x22 kepada x21, penurunan ongkosnya adalah sebesar c22 – c21. Kalau penurunan ongkos ini diberi tanda minus (−) dan pertambahan ongkos diberi tanda plus (+) , maka perubahan total ongkos yang terjadi, bila dialokasikan sebanyak 1 unit terhadap variabel nonbasis x21, adalah:
[(𝑐11− 𝑐12) + (𝑐22− 𝑐21)]
= −[(10 − 0) + (7 − 12)]
= −5
Perubahan harga variabel-variabel basis dan nonbasis ini tentu saja dapat pula dipandang sebagai “perpindahan antarbasis” dan tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan. Bahkan adakalanya dibutuhkan “perpindahan antarkolom” sekaligus
“perpindahan antarbasis”, misalnya untuk memeriksa x31. Jika 𝑐̅ ij = perubahan ongkos akibat pengalokasian 1 unit produk ke variabel nonbasis xij, maka dengan cara yang sama akan diperoleh berturut-turut: c13 = 18, c14 = −2, c31 = −15, c32 = 9, dan c33 = 9, dan sehingga diperoleh Tabel 5.6.
Selanjutnya dipilih variabel nonbasis yang akan menyebabkan penurunan ongkos terbesar sebagai entering variable. Dari iterasi di atas dipilih x31 sebagai entering variable karena memberikan penurunan ongkos yang terbesar yaitu sebanyak 15 satuan ongkos per unit. Dengan demikian, kita dapat membuat sebuah loop yang berawal dan berakhir pada variabel x13 (lihat Tabel 5.7)
Tanda (−) dan (+) menyatakan bahwa variabel yang bersangkutan (pada masing- masing kotak) akan bertambah atau berkurang besarnya sebagai akibat perpindahan kolom dan perpindahan baris.
Leaving variable di pilih dari variabel-variabel sudut loop yang bertanda (−). Pada contoh diatas, di mana x31 telah terpilih sebagai entering variable, calon-calon leaving variable-nya adalah x11, x22, dan x34. Dari calon-calon ini, pilihlah salah satu yang nilainya paling kecil.
Pada contoh diatas kebetulan ketiganya bernilai sama (= 5) sehingga kitab isa memilih salah satu untuk dijadikan leaving variable. Misalkan x34 dipilih sebagai leaving variable, maka nilai x31 naik 5 dan nilai-nilai variabel basis yang disudut loop juga berubah (bertambah atau berkurang 5 sesuai dengan (+) atau (−)).
Tabel Solusi baru ini adalah seperti pada Tabel 5.8 dengan ongkos transportasi sebesar:
(0 x 10) + (15 x 0) + (0 x 7) + (15 x 9) + (10 x 20) + (5 x 0) = 335
Bandingkan dengan Solusi awal pada Tabel 5.3 yang ongkos transportasinya = 410.
Selisih ongkos transportasi (410 – 335 = 75) sama dengan hasil perkalian antara:
Jumlah unit yang ditambahkan pada x × penurunan ongkos per unit
Sampai di sini kita masih harus memeriksa, barangkali nilai fungsi tujuan masih bisa diperbaiki. Untuk itu lakukanlah Kembali langkah-langkah yang sudah kita kerjakan dengan menggunakan Tabel 5.8 sebagai Solusi awal (pengganti 5.3).
Kita dapatkan:
Variabel nonbasis Perubahan ongkos per unit
x13 𝑐̅13 = +18
x14 𝑐̅14 = − 2
x21 𝑐̅21 = − 5
x32 𝑐̅32 = +24
x33 𝑐̅33 = +24
x34 𝑐̅34 = +15
Dengan demikian kita memilih x21 sebagai entering variable.
Pada loop yang berasal dan berakhir pada x21 ini, leaving variable-nya ada dua, yaitu x11 dan x22. Karena keduanya berharga 0, kita bisa memilih salah satu untuk dijadikan leaving variable. Misalkan x11 adalah leaving variable, maka x21 = 0 dengan ongkos transportasi tetap 335: karena itu, kita coba membuat loop dari variabel nonbasis yang lain, yang juga dapat menurunkan ongkos transportasi per unit (yaitu x14). Kita dapatkan: c11 = +5; c32 = +19; c13 = +18; c33 = +19; c34 = +10;
c14 = −2
Dari Tabel 5.10 terlihat bahwa leaving variable adalah x24 sehingga x14 = 10; x22 = 10; x12 = 5.
2.4 Contoh Soal
Sebuah Perusahaan retail memiliki Gudang dibeberapa kota yaitu Jakarta, Medan dan semarang, dan selanjutnya dari ketiga Gudang tersebut Perusahaan berusaha untuk memenuhi kebutuhan pelanggannya di kota-kota Surabaya, Balikpapan dan Makassar.
Sementara itu, dari Gudang-gudang tersebut Perusahaan mampu memasok masing- masing secara berurutan adalah dari Jakarta 120 unit, makasar 80 unit dan semarang 80 unit, sedangkat permintaan dari kota Surabaya sebanyak 150 unit, balikpapapn sebanyak 70 unit dan makassar sebanyak 60 unit.
Biaya angkut dari Gudang ke pelanggan
Dari Biaya Per Unit Ke
Surabaya Balikpapan Makassar
Jakarta 8 5 6
Medan 15 10 12
Semarang 3 9 10
NW CORNER Langkah-langkah
1. Mulai pada north west corner (pojok barat laut/pojok kiri atas)
2. Alokasikan sebanyak mungkin pada x11 tanpa menyimpang dari kendala penawaran atau permintaan (min={S1, D1})
3. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel di dekatnya pada baris atau kolom.
4. Jika kolom/baris telah dihabiskan pindah ke sel berikutnya yang terdekat.
Sumber Surabaya Balikpapan Makassar Supply S
Demand
Dj D1 D2 D3 Biaya (Cij)
(Xij)
Sumber Surabaya Balikpapan Makassar Supply
Jakarta 8 5 6 120
120 − −
Medan 15 10 12 80
30 50 −
Semarang 3 9 10 80
− 20 60
Demand 150 70 50 280
Total cost= banyaknya yang dikirim × biaya
TC = (120 × 8) + (0 × 5) + (0 × 6) + (30 × 15) + (50 × 10) + (0 × 12) + (0 × 3) + (20 × 9) + (60 × 10)
= 960 + 0 + 0 + 450 + 500 + 0 + 0 + 180 + 600
=2.690 2.5 Soal Latihan
Terdapat 3 pabrik masker yaitu pabrik A, Pabrik B dan pabrik C yang akan mengirimkan masker ke 3 kota pula yaitu kota 1, kota 2 dan kota 3. Dimana pabrik A, pabrik B dan pabrik C memproduksi (supply) masing-masing 150 kotak, 175 kotak dan 275 kotak. Kota 1, kota 2 dan kota 3 memiliki permintaan (Demmand) masing-masing 200 kotak, 100 kotak dan 300 kotak. Ongos angkut (dalam rupiah) dari masing-masing pabrik ke kota adalah sebagai berikut:
Pabrik\kota 1 2 3 Supply
A 6 8 10 150
B 7 11 11 175
C 4 5 12 275
Demmand 200 100 300 600
Bagaimana cara pabrik mengalokasikan pengiriman masker dari ke tiga pabrik ke tiga kota penjualan agar biaya pengiriman minimum?
Mencari Solusi awal menggunakan metide NW Corner
Sumber Surabaya Balikpapan Makassar Supply
Pabrik A 6 8 10 150
150 − −
Pabrik B 7 11 11 175
50 100 25
Pabrik C 4 5 12 275
− − 275
Demmand 200 100 300 600
Total cost = (150 × 6) + (50 × 7) + (100 × 11) + (25 × 11) + (275 × 12)
= 5. 925 (Rp 5. 925.000)
Mencari solusi optimum menggunakan metode batu loncatan (stepping stone)
Sumber tujuan Supply
(persediaan)
Kota 1 Kota 2 Kota 3
Pabrik A 6 8 10 150
150 − −
Pabrik B 7 11 11 175
50 100 25
Pabrik C 4 5 12 275
− − 275
Demmand 200 100 300 600
Evaluasi sel kosong
Batu loncatan A2 = 8 − 6 + 7 − 11 = 2 A3 = 10 − 11 + 7 − 6 = 0 C1 = 4 − 7 + 11 − 12 = −4 C2 = 5 − 12 + 11 − 11 = −7
Masih terdapat nilai negatif, maka dipilih negative terbesar yaitu -7 pada pengiriman pabrik C ke kota 2. Setelah dipilih perhitungan biaya yang menghasilkan angka negative terbesar, pilih sel dengan unit terkecil pada lompatan sel bernilai negative, Dimana dalam hal ini adalah 100. Tambahlah unit terkecil tersebut ke lompatan yang bernilai positif, dan kurangkan ke lompatan yang bernilai negative. Sehingga didapat:
Sumber tujuan Supply
(persediaan)
Kota 1 Kota 2 Kota 3
Pabrik A 6 8 10 150
150 − −
A2 = 8 − 5 + 12 − 11 + 7 − 6 = 5 A3 =10 − 11 + 7 − 6 = 0
B2 =11 − 5 + 12 − 11 = −7 C1 = 4 − 7 + 11 − 2 = 4
Masih terdapat nilai negative, maka dipilih negative terbesar yaitu −4 pada pengiriman pabrik C ke kota 1.
Sumber Tujuan Supply
Kota 1 Kota
2
Kota 3 (persediaan)
Produk A
6 8 10
150 150
Produk B
7 11 11
175 175
Produk C
4 5 12
275
50 100 125
Demand
(permintaan) 200 100 300 600
Evaluasi Sel Kosong 𝐴2 = 8 − 5 + 4 − 6 = 1 𝐴3 = 10 − 12 + 4 − 6 = −4 𝐵1 = 87 − 11 + 12 − 4 = 4 𝐵2 = 11 − 11 + 12 − 5 = 7
Masih terdapat nilai negatif yaitu -4 pada pengiriman pabrik A ke kota 3
Sumber Tujuan Supply
Kota 1 Kota
2
Kota 3 (persediaan)
Produk A
6 8 10
25 125 150
Produk B
7 11 11
175 175
Produk C
4 5 12
275
175 100
Demand
(permintaan) 200 100 300 600
Evaluasi Sel Kosong
𝐴2 = 8 − 5 + 4 − 6 = 1 𝐵1 = 7 − 11 + 10 − 6 = 0
𝐵2 = 11 − 11 + 10 − 6 + 4 − 5 = 3 𝐶3 = 12 − 10 + 6 − 4 = 4
Tidak terdapat nilai negatif pada evaluasi sel kosong, sehinggga dapat dikatakan table sudah optimal.
Menghitung total biaya
Pabrik A ke kota 1→ 25 × 6 = 150 = 𝑅𝑝. 150.000 Pabrik A ke kota 3→ 125 × 10 = 1250 = 𝑅𝑝. 1.250.000 Pabrik B ke kota 3→ 175 × 11 = 1925 = 𝑅𝑝. 1.925.000 Pabrik C ke kota 1→ 175 × 4 = 700 = 𝑅𝑝. 700.000 Pabrik C ke kota 2→ 100 × 5 = 500 = 𝑅𝑝. 500.000
Total biaya = 150.000 + 1.250.000 + 1.925.000 + 700.000 + 500.000 = 𝑅𝑝. 4.525.000
Jadi, total biaya transportasi minimum yang dihasilkan dengan menggunakan Stepping Stone adalah 𝑅𝑝. 4.525.000. Dibandingkan dengan hanya menggunakan metode NW- Corner, biaya transportasi jauh lebih minimum dengan menekan lagi biaya transportasi menggunakan metode Stepping Corner
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Persoalan transportasi merupakan bagian dari pemrograman linear yang bertujuan untuk meminimalkan biaya distribusi dari beberapa sumber ke beberapa tujuan dengan mempertimbangkan kapasitas dan permintaan. Metode Northwest Corner memberikan solusi awal yang layak, namun belum tentu optimal. Untuk mencapai efisiensi maksimum, diperlukan metode lanjutan seperti Stepping Stone yang dapat mengevaluasi dan memperbaiki solusi awal hingga diperoleh biaya transportasi yang paling minimum.
Penggunaan model ini secara tepat dapat memberikan manfaat nyata dalam pengambilan keputusan logistik dan penghematan biaya operasional perusahaan.
3.2 Saran
Demikianlah pokok bahasan makalah yang telah penulis jabarkan. Besar harapan kami makalah ini bermanfaat untuk penulis dan para pembaca. Karena keterbatasan pengetahuan dan referensi, penulis menyadari makalah ini masih jauh dari kata sempurna.
Oeh karenaitu, saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar makalah ini dapat disusun menjadi lebih baik lagi dimasa yang akan datang.
