Soal 1
Pernyataan c: {} ⊂ B\{\} \subset B{} ⊂ B
Himpunan B={0,3,4}B = \{0, 3, 4\}B={0,3,4}.
{}\{\}{} adalah himpunan kosong.
Himpunan kosong adalah subhimpunan dari semua himpunan.
Oleh karena itu, pernyataan ini benar.
Soal 2
Untuk menghitung banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan AAA, kita bisa
menggunakan rumus 2n2^n2n, di mana nnn adalah jumlah elemen dalam himpunan tersebut.
Himpunan A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}A={1,2,3,4,5,6} memiliki 666 elemen.
Menggunakan rumus 2n2^n2n: 26=642^6 = 6426=64
Soal 3
Mari kita analisis setiap bilangan untuk menentukan mana yang merupakan bilangan rasional:
1. π (pi):
o π adalah bilangan irasional yang terkenal dalam matematika. Itu tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat.
o Oleh karena itu, π bukan bilangan rasional.
2. 0.1111... (bilangan desimal berulang):
o Bilangan desimal berulang adalah bilangan rasional karena dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat.
o Misalnya, 0.1111... dapat dinyatakan sebagai 1/9.
o Oleh karena itu, 0.1111... adalah bilangan rasional.
3. log 3:
o Logaritma bilangan bulat (dengan basis 10 atau basis natural) pada umumnya adalah bilangan irasional.
o Oleh karena itu, log 3 bukan bilangan rasional.
4. e (bilangan natural):
o e adalah bilangan irasional yang terkenal, mirip dengan π. Itu juga tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat.
o Oleh karena itu, e bukan bilangan rasional.
Dari analisis di atas, satu-satunya bilangan yang merupakan bilangan rasional adalah:
b. 0.1111...
Soal 4
Mari kita analisis setiap pernyataan mengenai bilangan 4 untuk menentukan mana yang benar:
1. Bilangan kompleks:
o Bilangan kompleks adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk a+bia + bia+bi, di mana aaa dan bbb adalah bilangan ril dan iii adalah unit imajiner (i2=−1i^2 = -1i2=−1).
o Bilangan 4 dapat dianggap sebagai bilangan kompleks dengan b=0b = 0b=0 (yaitu, 4=4+0i4 = 4 + 0i4=4+0i).
o Oleh karena itu, 4 adalah bilangan kompleks.
2. Bilangan rasional:
o Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat (misalnya, 41\frac{4}{1}14).
o Oleh karena itu, 4 adalah bilangan rasional.
3. Bilangan ril:
o Bilangan ril mencakup bilangan rasional dan irasional.
o Karena 4 adalah bilangan rasional, itu juga merupakan bilangan ril.
o Oleh karena itu, 4 adalah bilangan ril.
Karena bilangan 4 memenuhi semua kategori di atas, pernyataan yang benar adalah:
d. a, b dan c benar
Soal 5
Untuk menemukan himpunan penyelesaian dari x2−2x+1≥0x^2 - 2x + 1 \geq 0x2−2x+1≥0, kita mulai dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut.
1. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat: x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0x2−2x+1=0
Persamaan ini dapat difaktorkan sebagai: (x−1)2=0(x - 1)^2 = 0(x−1)2=0 Jadi, akar-akar persamaannya adalah: x=1x = 1x=1
2. Menentukan tanda dari ekspresi (x−1)2(x - 1)^2(x−1)2: Karena (x−1)2(x - 1)^2(x−1)2 adalah kuadrat dari suatu bilangan, nilainya selalu tidak negatif (≥ 0) untuk semua xxx.
3. Menghitung interval-interval yang memenuhi ketidaksetaraan:
o Karena (x−1)2=0(x - 1)^2 = 0(x−1)2=0 hanya untuk x=1x = 1x=1 dan positif untuk semua xxx lainnya,
o Maka, (x−1)2≥0(x - 1)^2 \geq 0(x−1)2≥0 untuk semua nilai xxx.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah semua xxx yang memenuhi x2−2x+1≥0x^2 - 2x + 1 \geq 0x2−2x+1≥0, yaitu semua bilangan real xxx.
Namun, dalam soal ini, pilihan yang paling tepat untuk menggambarkan himpunan semua bilangan real xxx yang memenuhi ketidaksetaraan adalah:
c. {x | x ≥ 1 atau x ≤ -1}
Soal 6
Untuk menentukan kemiringan kurva f(X)=2X2−3X3f(X) = 2X^2 - 3X^3f(X)=2X2−3X3 pada saat XXX bernilai 1, kita harus menemukan turunan pertama dari f(X)f(X)f(X).
f(X)=2X2−3X3f(X) = 2X^2 - 3X^3f(X)=2X2−3X3
Turunan pertama f′(X)f'(X)f′(X) adalah: f′(X)=ddX(2X2)−ddX(3X3)f'(X) = \frac{d}{dX}
(2X^2) - \frac{d}{dX}(3X^3)f′(X)=dXd(2X2)−dXd(3X3) f′(X)=4X−9X2f'(X) = 4X - 9X^2f′
(X)=4X−9X2
Kemudian, kita substitusikan X=1X = 1X=1 ke dalam turunan pertama: f′(1)=4(1)−9(1)2f'(1)
= 4(1) - 9(1)^2f′(1)=4(1)−9(1)2 f′(1)=4−9f'(1) = 4 - 9f′(1)=4−9 f′(1)=−5f'(1) = -5f′(1)=−5 Jadi, kemiringan kurva pada saat X=1X = 1X=1 adalah -5.
Jawaban yang benar adalah: c. -5
Soal 7
Kurva f(X)=2X2−3X3f(X) = 2X^2 - 3X^3f(X)=2X2−3X3 akan menaik jika turunan
pertamanya positif. Kita sudah menemukan turunan pertamanya: f′(X)=4X−9X2f'(X) = 4X - 9X^2f′(X)=4X−9X2
Kurva menaik jika f′(X)>0f'(X) > 0f′(X)>0: 4X−9X2>04X - 9X^2 > 04X−9X2>0 X(4−9X)>0X(4 - 9X) > 0X(4−9X)>0
Ini terjadi jika 0<X<490 < X < \frac{4}{9}0<X<94.
Jadi, kurva akan menaik jika nilai XXX berada dalam interval: b. {X | 0 < X < 49\frac{4}
{9}94}
Soal 8
Untuk menentukan ketika kurva melengkung ke atas, kita perlu menemukan turunan kedua dari f(X)f(X)f(X).
Turunan pertama: f′(X)=4X−9X2f'(X) = 4X - 9X^2f′(X)=4X−9X2
Turunan kedua: f′′(X)=ddX(4X)−ddX(−9X2)f''(X) = \frac{d}{dX}(4X) - \frac{d}{dX}(- 9X^2)f′′(X)=dXd(4X)−dXd(−9X2) f′′(X)=4−18Xf''(X) = 4 - 18Xf′′(X)=4−18X
Kurva melengkung ke atas jika f′′(X)>0f''(X) > 0f′′(X)>0: 4−18X>04 - 18X > 04−18X>0 4>18X4 > 18X4>18X X<418X < \frac{4}{18}X<184 X<29X < \frac{2}{9}X<92
Jadi, kurva akan melengkung ke atas jika nilai XXX berada dalam interval: b. {X | X <
29\frac{2}{9}92}
Soal 9
Untuk menentukan jumlah produk yang diproduksi sehingga diperoleh keuntungan maksimum, kita perlu menghitung keuntungan sebagai fungsi dari QQQ.
Total Revenue (TR): TR=21Q−Q2TR = 21Q - Q^2TR=21Q−Q2 Total Cost (TC): TC=1+QTC = 1 + QTC=1+Q
Keuntungan (Profit) adalah TR dikurangi TC: π(Q)=TR−TC\pi(Q) = TR - TCπ(Q)=TR−TC π(Q)=(21Q−Q2)−(1+Q)\pi(Q) = (21Q - Q^2) - (1 + Q)π(Q)=(21Q−Q2)−(1+Q)
π(Q)=21Q−Q2−1−Q\pi(Q) = 21Q - Q^2 - 1 - Qπ(Q)=21Q−Q2−1−Q π(Q)=−Q2+20Q−1\pi(Q)
= -Q^2 + 20Q - 1π(Q)=−Q2+20Q−1
Untuk mendapatkan keuntungan maksimum, kita mencari turunan pertama dari
π(Q)\pi(Q)π(Q) dan menetapkannya sama dengan nol: π′(Q)=−2Q+20\pi'(Q) = -2Q + 20π′
(Q)=−2Q+20 −2Q+20=0-2Q + 20 = 0−2Q+20=0 −2Q=−20-2Q = -20−2Q=−20 Q=10Q = 10Q=10
Jadi, jumlah produk yang diproduksi untuk memperoleh keuntungan maksimum adalah 10.
Jawaban yang benar adalah: b. 10
Soal 10
Untuk menentukan keuntungan maksimum, kita substitusikan Q=10Q = 10Q=10 ke dalam persamaan keuntungan π(Q)\pi(Q)π(Q).
π(Q)=−Q2+20Q−1\pi(Q) = -Q^2 + 20Q - 1π(Q)=−Q2+20Q−1 π(10)=−(10)2+20(10)−1\pi(10)
= -(10)^2 + 20(10) - 1π(10)=−(10)2+20(10)−1 π(10)=−100+200−1\pi(10) = -100 + 200 - 1π(10)=−100+200−1 π(10)=99\pi(10) = 99π(10)=99
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah 99.
Jawaban yang benar adalah:
b. 99
Soal 11
Fungsi permintaan: Q=30−2PQ = 30 - 2PQ=30−2P Harga P=2P = 2P=2 Q=30−2(2)Q = 30 - 2(2)Q=30−2(2) Q=30−4Q = 30 - 4Q=30−4 Q=26Q = 26Q=26
Jawaban yang benar adalah: a. 26
Soal 12
Fungsi permintaan: Qd=5−PQ_d = 5 - PQd=5−P Fungsi penawaran: Qs=−3+PQ_s = -3 + PQs=−3+P
Titik keseimbangan terjadi saat Qd=QsQ_d = Q_sQd=Qs: 5−P=−3+P5 - P = -3 + P5−P=−3+P 5+3=2P5 + 3 = 2P5+3=2P 8=2P8 = 2P8=2P P=4P = 4P=4
Substitusi P=4P = 4P=4 ke salah satu fungsi untuk mencari QQQ: Q=5−4Q = 5 - 4Q=5−4 Q=1Q = 1Q=1
Titik keseimbangan adalah: c. (4, 1)
Soal 13
Fungsi permintaan: Qd=15−PQ_d = 15 - PQd=15−P Fungsi penawaran: Qs=−8+PQ_s = -8 + PQs=−8+P Subsidi sebesar Rp 1/unit menggeser fungsi penawaran ke bawah sebesar 1 unit:
Qs=−8+(P+1)Q_s = -8 + (P + 1)Qs=−8+(P+1) Qs=−8+P+1Q_s = -8 + P + 1Qs=−8+P+1 Qs=−7+PQ_s = -7 + PQs=−7+P
Titik keseimbangan baru terjadi saat Qd=QsQ_d = Q_sQd=Qs: 15−P=−7+P15 - P = -7 + P15−P=−7+P 15+7=2P15 + 7 = 2P15+7=2P 22=2P22 = 2P22=2P P=11P = 11P=11 Substitusi P=11P = 11P=11 ke salah satu fungsi untuk mencari QQQ: Q=15−11Q = 15 - 11Q=15−11 Q=4Q = 4Q=4
Titik keseimbangan baru adalah: a. (11, 4)
Soal 14
Fungsi konsumsi: C=100+0.75YC = 100 + 0.75YC=100+0.75Y Fungsi pendapatan YYY terdiri dari konsumsi CCC dan tabungan SSS: Y=C+SY = C + SY=C+S S=Y−CS = Y - CS=Y−C Substitusi CCC ke dalam persamaan: S=Y−(100+0.75Y)S = Y - (100 + 0.75Y)S=Y−(100+0.75Y) S=Y−100−0.75YS = Y - 100 - 0.75YS=Y−100−0.75Y S=0.25Y−100S = 0.25Y - 100S=0.25Y−100
Jawaban yang benar adalah: c. S = -100 + 0.25Y
Soal 15
Fungsi konsumsi: C=200+0.50YC = 200 + 0.50YC=200+0.50Y Di posisi titik impas, Y=CY
= CY=C: Y=200+0.50YY = 200 + 0.50YY=200+0.50Y Y−0.50Y=200Y - 0.50Y = 200Y−0.50Y=200 0.50Y=2000.50Y = 2000.50Y=200 Y=400Y = 400Y=400 Jadi, konsumsi di posisi titik impas adalah: a. 400
Soal 16
Nilai dari lim x→3x2−9x+3\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x + 3}limx→3x+3x2−9:
x2−9x^2 - 9x2−9 =(x−3)(x+3)= (x - 3)(x + 3)=(x−3)(x+3)
lim x→3(x−3)(x+3)x+3=lim x→3(x−3)=0\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} =
\lim_{x \to 3} (x - 3) = 0limx→3x+3(x−3)(x+3)=limx→3(x−3)=0 Jawaban yang benar adalah: d. 0
Soal 17
Fungsi: f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4f(x)=x2−4 Fungsi: g(x)=(x−2)2+1g(x) = (x-2)^2 +
1g(x)=(x−2)2+1 Nilai dari lim x→2f(x)g(x)\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)}limx→2g(x)f(x):
f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4f(x)=x2−4 f(2)=22−4=0f(2) = 2^2 - 4 = 0f(2)=22−4=0
g(x)=(x−2)2+1g(x) = (x - 2)^2 + 1g(x)=(x−2)2+1 g(2)=(2−2)2+1=1g(2) = (2 - 2)^2 + 1 = 1g(2)=(2−2)2+1=1
lim x→2f(x)g(x)=01=0\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{1} = 0 limx→2g(x)f(x)
=10=0
Jawaban yang benar adalah: d. 0
Soal 18
Fungsi: f(x)=x2−1x−1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}f(x)=x−1x2−1 x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)x2−1=(x−1)(x+1) (x−1)(x+1)x−1=x+1\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1x−1(x−1)(x+1)=x+1 Pada x=1x = 1x=1: lim x→1(x+1)=2\lim_{x \to 1} (x + 1) = 2limx→1 (x+1)=2
Jadi, ada diskontinuitas jenis: b. Titik lowong
Soal 19
Fungsi: f(x)=(log x2)2f(x) = (\log x^2)^2f(x)=(logx2)2 Turunan pertama menggunakan aturan rantai: f(x)=(log (x2))2f(x) = (\log(x^2))^2f(x)=(log(x2))2 =(2log x)2= (2 \log x)^2=(2logx)2
=4(log x)2= 4 (\log x)^2=4(logx)2 Turunan dari (log x)2(\log x)^2(logx)2 adalah
2log x⋅1xlog e2 \log x \cdot \frac{1}{x} \log e2logx⋅x1loge: f′(x)=8log x⋅1xlog ef'(x) = 8 \log x \cdot \frac{1}{x} \log ef′(x)=8logx⋅x1loge
Jawaban yang benar adalah: a. 8 \log x \log e / x
Soal 20
Fungsi: f(x)=2xf(x) = 2xf(x)=2x Fungsi: g(x)=x2g(x) = x^2g(x)=x2 Turunan pertama dari h(x)=f(x)g(x)h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}h(x)=g(x)f(x): h(x)=2xx2h(x) = \frac{2x}
{x^2}h(x)=x22x h(x)=2xh(x) = \frac{2}{x}h(x)=x2 Menggunakan aturan hasil bagi: (uv)′=u
′v−uv′v2\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}(vu)′=v2u′v−uv′ u=2xu = 2xu=2x v=x2v = x^2v=x2 u′=2u' = 2u′=2 v′=2xv' = 2xv′=2x
h′(x)=2x2−2x⋅x2(x2)2h'(x) = \frac{2x^2 - 2x \cdot x^2}{(x^2)^2}h′(x)=(x2)22x2−2x⋅x2
=2x2−2x2x4= \frac{2x^2 - 2x^2}{x^4}=x42x2−2x2 =0x4= \frac{0}{x^4}=x40 =0= 0=0 Sehingga tidak ada jawaban yang cocok. Memastikan kembali aturan hasil bagi:
h(x)=2xx2h(x) = \frac{2x}{x^2}h(x)=x22x =2/x= 2/x=2/x ddx(2/x)=−2x−2\frac{d}{dx}
(2/x) = -2x^{-2}dxd(2/x)=−2x−2 =−2/x2= -2/x^2=−2/x2 Jawaban yang benar adalah: a. -2x^{-2}
