KALKULUS I
Ida Ayu Putu Ari Utari, S.Si, M.Si
LIMIT
• Konsep limit fungsi merupakan dasar untuk mempelajari kalkulus.
• Untuk memahami limit marilah kita perhatikan contoh berikut ini :
Misalkan fungsi didefinisikan oleh
•
LIMIT
• terdefinisi untuk setiap kecuali . Kita akan menyelidiki nilai fungsi bila dekat dengan 1 tetapi tidak sama dengan 1 (Tabel 1).
•
LIMIT
• Dari Tabel 1 nampak bahwa bilamana bergerak semakin dekat ke 1, baik dari kiri maupun dari kanan , bergerak semakin dekat ke 5. Dengan lambang matematis ditulis
atau
• Sekarang kita mendefinisikan pengertian limit secara matematis
•
LIMIT
Definisi
Untuk mengatakan bahwa berarti bila dekat tetapi berlainan dari , maka dekat ke
Contoh : Cari
Penyelesaian :
Bila dekat ke maka dekat terhadap , dapat ditulis .
•
LIMIT
• Ingat kembali mengenai nilai mutlak. Jika adalah sembarang bilangan positif, maka jarak ke bilangan kurang dari dapat dinyatakan dalam bentuk :
dan ini ekuivalen dengan
yang menunjukkan bahwa terletak pada interval terbuka .
•
LIMIT
• Selanjutnya misalkan adalah suatu bilangan positif dan cukup dekat dengan sehingga jarak ke kurang dari , tetapi maka :
dan ini ekuivalen dengan
yang menunjukkan bahwa terletak pada interval terbuka .
•
LIMIT
LIMIT
• Dari penjelasan dan gambar di atas diharapkan dapat memudahkan kita untuk memahami definisi formal dari limit sebagai berikut :
Definisi
Limit untuk mendekati adalah , ditulis
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan (betapapun kecilnya), terdapat bilangan sedemikian sehingga apabila berlaku .
•
LIMIT
Contoh :
1. Buktikan bahwa Penyelesaian :
Sebelum menulis bukti formal, bisa dimulai dengan analisis pendahuluan.
Misalkan sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan sedemikian sehingga apabila berlaku
Perhatikan
•
LIMIT
Oleh karena itu dipilih . Dan dapat dipilih bilangan yang kurang dari .
•
LIMIT
Bukti :
Ambil sembarang bilangan . Kita pilih . Apabila maka berlaku
Sehingga, maka
•
LIMIT
2. Buktikan
Analisis pendahuluan :
Untuk setiap , akan dicari bilangan sedemikian sehingga apabila berlaku .
Perhatikan
•
LIMIT
asalkan Dapat dipilih
•
LIMIT
Bukti :
Untuk , bukti cukup jelas .
Misal . Untuk setiap dipilih . Jika maka berlaku
Sehingga , maka
•
TEOREMA LIMIT
Teorema
Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta fungsi-fungsi yang mempunya limit di c, maka :
•
TEOREMA LIMIT
5) , asalkan
6) , asalkan
•
TEOREMA LIMIT
Contoh :
Penyelesaian :
teorema no.3 teorema no.8 teorema no.2
•
TEOREMA LIMIT
Penyelesaian : teorema no.5
teorema no.3
•
TEOREMA LIMIT
Penyelesaian :
teorema 5 dan 1
•
TEOREMA LIMIT
Penyelesaian : teorema 7
teorema 2 dan 9
•
