LK 0.1 Modul 5 - Bilangan (Suci Nabilah Ulfah)

LK 0.1: Lembar Kerja Belajar Mandiri Nama : Suci Nabilah Ulfah

Judul Modul MODUL 5

BILANGAN

Judul Kegiatan Belajar (KB) 1. KB 1. KETERBAGIAN, FAKTOR BILANGAN, BILANGAN PRIMA, KELIPATAN BILANGAN 2. KB 2. KONGRUENSI MODULO

3. KB 3. NOTASI SIGMA, BARISAN, DAN DERET 4. KB 4. INDUKSI MATEMATIKA

N o

Butir Refleksi Respon/Jawaban

1 Garis besar materi yang dipelajari

KB 1. KETERBAGIAN, FAKTOR BILANGAN, BILANGAN PRIMA, KELIPATAN BILANGAN 1. Keterbagian

Definisi 1.1. Bilangan bulat

a

membagi habis bilangan bulat b (ditulis

a | b

) apabila terdapat bilangan bulat k sehingga b=ak. Jika a tidak membagi habis

b

maka dituliskan

a | b

a. Teorema 1.1

Jika

a | b

^dan

b | c

^maka

a | c

b. Teorema 1.2

Jika

a | b

^dan

a | ( b + c )

^maka

a | c

c. Teorema 1.3

Jika

p | q

^maka

p | qr

untuk semua r∈Z d. Teorema 1.4

Jika

p | q

^dan

p | r

^{, maka}

p | q + r

2. Faktor Persekutuan Terbesar

Definisi 1.2. Suatu bilangan bulat d disebut faktor persekutuan dari a dan b apabila

d | a

dan

d | b

^.

Definisi 1.3. Bilangan bulat positif d disebut FPB dari

a

dan

b

jika dan hanya jika:

(i)

d | a

^dan

d | b

(ii) Jika

c | a

^dan

c | d

^{maka c ≤ d}

a. Teorema 1.5

Jika FPB

( a , b )=d

^{maka FPB}

( a

:

d , b

:

d )=1

b. Teorema 1.6 (Algoritma Pembagian

Bilangan Bulat)

Untuk setiap bilangan bulat positif a dan b terdapat dengan tunggal bilangan bulat

q

dan r sedemikian sehingga b=qa+r dengan 0

≤ r < a

c. Teorema 1.7

Jika

b = qa + r

, maka FPB

( b , a )=¿

^FPB

( a , r )

d. Teorema 1.8

Misalkan

a

dan

b

bilangan-bilangan bulat positif. Menggunakan algoritma pembagian diperoleh persamaan- persamaan berikut:

a =bq+r, dengan 0≤ r ≤ b b =

rq

₁

+r

1, dengan 0

≤ r

₁

≤ r

r = r₁q₂+r₂, dengan 0≤ r₂≤ r₁ :

r

_k−2

=r

_k−2

q

_k, dengan 0

≤ r

_k

≤ r

_k−1 r_k−1=rkq_k+1

e. Teorema 1.9

Untuk setiap bilangan bulat tak nol a dan b terdapat bilangan bulat

m

dan

n

sedemikian sehingga FPB

( a , b )=am+ bn

f. Teorema 1.10

Jika

d | ab

^{dan FPB}

( d , a )=1

^{, maka}

d | b

g. Teorema 1.11

c | a

^dan

c | b

^dengan

( a , b )= d

maka

c | d

3. Bilangan Prima

Definisi 1.5. Bilangan bulat p>1 ^disebut bilangan prima jika mempunyai faktor positif hanya 1 dan

p

. Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit (bilangan tersusun.

a. Teorema 1.12

Jika sisa pembagian b oleh a relatif prima dengan

a

maka

b

relatif prima dengan

a

b. Teorema 1.13

Setiap bilangan positif yang lebih besar dari 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima c. Teorema 1.14

Setiap bilangan bulat n>1 merupakan bilangan prima atau

n

dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima tertentu

d. Teorema 1.15

Jika n suatu bilangan komposit maka n memiliki faktor k dengan 1  k 

n

4. Kelipatan Persekutuan Terkecil Definisi 1.6. Bilangan-bilangan bulat

a

₁

, a

₂

, … , a

_n dengan

a

_i

≠

0 untuk

i=1 ,

2

, … , n

mempunyai kelipatan persekutuan b jika

a

_i

| b

untuk setiap i.

Kelipatan persekutuan bilangan-bilangan

bulat

a

₁

, … , a

_n selalu ada, yaitu

∏

i=1 n

a

_i

=a

1

, a

₂

, … , a

_n

.

Definisi 1.7. Jika

a

₁

, a

₂

, … , a

_n bilangan-bilangan bulat dengan a_i≠0 untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, maka kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan bulat positif terkecil di antara kelipatan- kelipatan persekutuan dari

a

₁

, a

₂

, … , a

_n.

a. Teorema 1.16

Jika b suatu kelipatan persekutuan dari a₁, a₂, … , a_n maka KPK [

a

₁

, a

₂

, … , a

_n¿

| b

^.

b. Teorema 1.17

Jika m>0 ^{maka KPK}

[

^{ma , mb}

]

=m × ^KPK

[ a , b ]

^. c. Teorema 1.18

Jika

a

dan

b

bilangan-bilangan bulat positif, maka KPK

[ a , b ] ×

FPB

( a , b)=ab

^.

KB 2. KONGRUENSI MODULO 1. Kekongruenan

Definisi 2.1 . Jika m suatu bilangan bulat positif membagi

a−b

maka dikatakan

a

kongruen terhadap modulo

b

dan ditulis

a ≡ b ( mod m) .

Jika m tidak membagi a−b maka dikatakan a tidak kongruen terhadap

b

modulo

b

dan ditulis

a ≢ b( mod m )

^.

Jika

m>

0 dan m

|

^(a−b) maka ada suatu bilangan bulat

k

sehingga

a−b=mk

. Dengan demikian

a ≡ b ( mod m )

dapat dinyatakan sebagai

a − b = mk

, atau beda diantara a dan b merupakan kelipatan

m

. Atau

a = b + mk

, yaitu

a

sama dengan b ditambah kelipatan m.

a. Teorema 2.1

Untuk bilangan bulat sebarang

a

dan

b

,

a ≡ b (mod m )

jika dan hanya jika

a

dan

b

memiliki sisa yang sama jika dibagi m. b. Teorema 2.2Kekongruenan sebagai relasi

ekivalen

Untuk 𝑚 bilangan bulat positif dan 𝑝, 𝑞, dan 𝑟 bilangan bulat, berlaku

1) Sifat refleksif

p ≡ p ( mod m )

2) Sifat simetris

p ≡ q ( mod m )

jika dan hanya jika

q ≡ p ( mod m )

3) Sifat transitif

Jika

p ≡ q ( mod m )

^{dan q}

≡ r (mod m )

^maka

p ≡ r ( mod m)

c. Teorema 2.3

Jika

p , q , r

dan

m

adalah bilangan-bilangan bulat dan m>0 sedemikian hingga

p ≡ q ( mod m )

^{, maka:}

1)

p +r ≡ q + r ( mod m)

2)

p−r ≡ q−r ( mod m )

3)

pr ≡ qr ( mod m )

d. Teorema 2.4

Jika

a ≡ b ( mod m )

^dan

c ≡ d ( mod m )

^maka:

1)

a+ c ≡ b+ d ( mod m)

2)

a− c ≡ b−d ( mod m )

3)

ac ≡ bd (mod m )

e. Teorema 2.5

Jika

a ≡ b ( mod m )

^dan

c ≡ d ( mod m)

^maka

ax + cy ≡ bx + dy ( mod m )

^.

f. Teorema 2.6

Jika

p ≡ pq ( mod m)

^maka

pr ≡ qr ( mod mr )

^. g. Teorema 2.7

Jika

a ≡ b ( mod m )

^maka aⁿ≡ bⁿ(mod m) ^untuk

n

bilangan bulat positif.

h. Teorema 2.8

Misalkan f suatu polinom dengan koefisien bilangan bulat, yaitu:

f ( x )= d

₀

x

ⁿ

+ d

₁

x

ⁿ⁻¹

+ d

₂

x

ⁿ⁻²

+

..

+ d

_n−1

x + d

_n

Dengan

d

₀

, d

₁

, … , d

_n masing-masing bilangan bulat. Jika

a ≡ b ( mod m)

^maka

f ( a )≡ f ( b )( mod m)

i. Teorema 2.9

Jika

a

suatu solusi

f ( x ) ≡

0

( mod m ) a ≡ b (mod m )

^maka b juga solusi

f ( x )

^itu.

j. Teorema 2.10

Jika

d | m

^dan

a ≡ b ( mod m )

^maka

a ≡ b ( mod d )

k. Teorema 2.11

Misalkan

( a , m )= d

ax = ay ( mod m )

jika dan hanya jika

x ≡ y ( mod m

d )

l. Teorema 2.12

Misalkan

( a , m )=

1

ax ≡ ay ( mod p )

jika dan hanya jika

x ≡ y ( mod m )

m. Teorema 2.13

Jika

ax ≡ ay ( mod p )

^{dengan p∤a dan p} bilangan basit, maka

x ≡ y ( mod p )

n. Teorema 2.14

Diketahui bilangan-bilangan bulat

a , p , q , m

dan m>0

1)

ap ≡ aq ( mod m)

jika dan hanya jika

p ≡ q ( mod ( a , m m ) )

2)

p ≡ q ( mod m

₁

)

dan

p ≡ q ( mod m

₂

)

jika dan hanya jika

p ≡ q ( mod [ m

¿¿1

, m

₂

])¿

2. Sistem Residu

Definisi 2.2. Suatu himpunan {𝑥, 𝑥, … , 𝑥} disebut suatu sistem residu lengkap modulo 𝑚. Jika dan hanya jika untuk setiap y dengan 0 ≤ �

� < 𝑚, ada satu dan hanya satu 𝑥 dengan 1 ≤ 𝑖

< 𝑚, sedemikian hingga 𝑦 ≡ 𝑥 (𝑚𝑜𝑑𝑚) atau 𝑥 ≡ 𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑚).

Definisi 2.3. Suatu himpunan bilangan bulat {

x

₁

, x

₂

, … , x

_n} disebut suatu sistem residu tereduksi modulo 𝑚 jika dan hanya jika:

(i) (

x

_i,𝑚) = 1, 1 ≤ 𝑖 < 𝑘

(ii)x_i ≡ x_j (𝑚𝑜𝑑𝑚) untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑗

(iii) Jika (𝑦,𝑚) = 1, maka 𝑦 ≡

x

_i (mod 𝑚) untuk suatu 𝑖 = 1, 2, … ,

k

Definisi 2.4. Ditentukan 𝑚 adalah suatu bilangan bulat positif.

Banyaknya residu di dalam suatu sistem residu tereduksi modulo 𝑚 disebut fungsi 𝜙-Euler dari 𝑚, dan dinyatakan dengan 𝜙(𝑚).

a. Teorema 2.15

Ditentukan (𝑎,𝑚) = 1

Jika {

x

₁

, x

₂

, … , x

_k} adalah suatu sistem residu modulo 𝑚 yang lengkap atau tereduksi, maka {

ax

₁

, ax

₂

, … , ax

_k} juga merupakan suatu sistem residu modulo 𝑚 yang lengkap atau tereduksi

b. Teorema 2.16 Teorema Euler

Jika 𝑎, 𝑚∈ Ζ dan 𝑚 > 0 sehingga (𝑎,𝑚) = 1, maka

a

^ϕ(m)

≡

1(

mod m )

c. Teorema 2.17 Teorema Kecil Fermat

Jika 𝑝 adalah suatu bilangan prima dan 𝑝

tidak membagi 𝑎, maka

a

^p−1

≡

1

( mod p )

d. Teorema 2.18

Jika (𝑎,𝑚) = 1, maka hubungan 𝑎𝑥 ≡ 𝑏 (mod 𝑚) mempunyai selesaian

x =a

^ϕ(m)−1

. b+tm

e. Teorema 2.19 Teorema Wilson

Jika 𝑝 adalah suatu bilangan prima, maka (𝑝 – 1)! ≡ −1(mod 𝑝)

f. Teorema 2.20

Jika 𝑛 adalah suatu bilangan bulat positif sehingga (𝑛–1)! ≡ –1(mod 𝑛), maka 𝑛 adalah suatu bilangan prima.

KB 3. NOTASI SIGMA, BARISAN, DAN DERET

1. Notasi Sigma

Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut:

2. Barisan dan Deret

a. Barisan dan Deret Aritmetika 1) Barisan Aritmetika

Barisan yang mempunyai selisih yang tetap antara dua suku berurutan disebut barisan aritmetika.

2) Rumus suku Ke-𝒏 Barisan Aritmetika

Dengan

U

_n adalah suku ke-n,

a

adalah suku pertama, b adalah beda.

3) Deret Aritmetika

Jika ditulis dalam bentuk notasi sigma:

b. Barisan dan Deret Geometri 1) Barisan Geometri

Barisan yang mempunyai perbandingan yang tetap antara dua suku berurutan disebut barisan geometri.

2) Rumus Suku Ke-n Barisan Geometri

Dengan U_n adalah suku ke-n, a adalah

suku pertama,

r

adalah rasio.

3) Deret Geometri

4) Deret Geometri Tak Hingga

c. Barisan sebagai Fungsi

1) Barisan Linear (Berderajat Satu)

Suatu barisan disebut berderajat satu (linear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat pengerjaan.

2) Barisan Berderajat Dua

Suatu barisan disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tingkat pengerjaan.

3) Barisan Berderajat Tiga

Suatu barisan disebut berderajat tiga bila selisih tetap diperoleh dalam tiga tingkat pengerjaan.

4) Barisan Fibonacci

Barisan Fibonacci adalah barisan rekursif (pemanggilan ulang / pengulangan) yang ditemukan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Italia yang bernama Leonardo da Pisa.

5) Golden Ratio

Golden ratio atau rasio emas (



1,618205...) merupakan suatu nilai rasio

(ratio number) konvergen yang diperoleh apabila suku-suku di atas dua belas pada barisan fibonacci dibagi dengan satu suku sebelumnya.

KB 4. INDUKSI MATEMATIKA 1. Induksi Matematika

a. Prinsip Induksi Matematis

Misalkan {𝑃𝑛} adalah suatu barisan proposisi (pernyataan) yang memenuhi kedua persyaratan ini:

1)

P

_N adalah benar (biasanya 𝑁 adalah 1).

2) Kebenaran P_k mengimplikasikan kebenaran

P

_k+1

≥ N

.

Maka, P_n adalah benar untuk setiap bilangan bulat 𝑛 ≥ 𝑁.

b. Pembuktian Barisan Fibonacci Menggunakan Induksi Matematika Untuk langkah pembuktian induksi langkah kedua gunakan aturan ini:

Untuk langkah pembuktian induksi langkah ketiga gunakan aturan ini:

2. Postulat Peano 2 Daftar materi yang sulit

dipahami di modul ini

KB 2. KONGRUENSI MODULO 1. Kekongruenan Modulo

2. Sistem Residu

KB 3. NOTASI SIGMA, BARISAN, DAN DERET

1. Barisan Fibonacci 2. Golden Ratio

KB 4. INDUKSI MATEMATIKA 1. Induksi matematika

3 Daftar materi yang sering mengalami miskonsepsi

KB 2. KONGRUENSI MODULO 1. Kekongruenan Modulo

2. Sistem Residu

KB 3. NOTASI SIGMA, BARISAN, DAN DERET

1. Barisan Fibonacci 2. Golden Ratio

KB 4. INDUKSI MATEMATIKA 1. Induksi matematika

2. Postulat Peano