Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0
LECTURE NOTES
Systems Simulation and Engineering Data Analysis
Week ke – 3
Random Number Generation
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0
LEARNING OUTCOMES
LO 2 Mahasiswa mampu menerapkan metode dan teknik simulasi untuk merumuskan masalah ke dalam model simulasi
OUTLINE MATERI (Sub-Topic):
• Properties of Random Numbers.
• Generation of Pseudo-Random Numbers.
• Techniques for Generating Random Numbers.
• Tests for Random Numbers.
• Random-Variate Generation.
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0
ISI MATERI
A. Properties of Random Numbers
Random Number atau Angka acak merupakan bahan dasar yang diperlukan dalam simulasi hampir semua sistem diskrit. Kebanyakan bahasa komputer memiliki subroutine, objek, atau fungsi yang akan menghasilkan nomor acak. Demikian pula, simulasi menghasilkan angka acak yang digunakan untuk menghasilkan beberapa kali event dan variabel acak lainnya. Pada bagian ini, berisi penjelasan terkait generasi nomor acak danpengujian berikutnya untuk keacakan dan pada sesi lainnya akan dijelaskan bagaimana nomor acak yang digunakan untuk menghasilkan variabel random dengan distribusi probabilitas yang diinginkan.
Sebuah urutan nomor acak, R1, R2, •••, harus memiliki dua sifat statistik penting yaitu aspek keseragaman dan kemandirian (independen). Setiap angka acak R; harus menjadi independent sample yang diambil dari distribusi seragam yang kontinu antara nol dan 1 untuk kriteria Probability Distribution Function (PDF) yang ditunjukan oleh fungsi berikut:
𝑓(𝑥) = {1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 0, 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Fungsi densitasnya terlihat pada fungsi berikut di mana Nilai espektasi dari tiap Ri diberikan pada rumusan:
𝐸(𝑅) = ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2
2 ∫ = 1 2
1
0 1
0
Dan variancenya sebagai berikut :
𝑉(𝑅) = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 − [𝐸(𝑅))]2 = 𝑥3
3 ∫ − (1 2)
2
= 1 3
1 0
− 1 4= 1
12
1 0
B. Generation of Pseudo-Random Numbers
Sesuai dengan sub topik bahasan ini, terdapat kata "pseudo" di dalamnya, dimana
"Pseudo" berarti palsu, sehingga nomor acak yang dihasilkan palsu! Dalam hal ini, "pseudo"
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 digunakan untuk menyiratkan bahwa tindakan yang sangat menghasilkan angka acak dengan metode yang dikenal menghilangkan potensi keacakan benar. Jika metode ini digunakan, himpunan bilangan acak dapat direplikasi. Kemudian argumen dapat dibuat bahwa angka- angka yang tidak benar-benar acak. Tujuan dari skema generasi ini adalah untuk menghasilkan urutan angka antara 0 dan l yang mensimulasikan, atau meniru, sifat ideal distribusi seragam dan kemandirian seakurat mungkin.
Karenanya, dalam generasi nomor pseudo-acak, masalah-masalah tertentu atau kesalahan dapat terjadi. Kesalahan ini, atau keberangkatan dari keacakan ideal, semuanya berhubungan dengan sifat-sifat yang dinyatakan sebelumnya. Beberapa contoh generasi tersebut meliputi hal berikut ini:
1. Angka yang dihasilkan mungkin tidak terdistribusi secara merata.
2. Angka yang dihasilkan mungkin bernilai diskrit bukannya bernilai kontinu.
3. Rerata angka yang dihasilkan mungkin terlalu tinggi atau terlalu rendah.
4. Variansi dari angka yang dihasilkan mungkin terlalu tinggi atau terlalu rendah.
5. Terdapatnya kemungkinan adanya ketergantungan, seperti:
(A) Autokorelasi antara angka.
(B) Angka berturut-tuberurutan lebih tinggi atau lebih rendah dari angka yang berdekatan;
(C) Beberapa nomor di atas rata-rata diikuti oleh beberapa nomor di bawah rata-rata.
Pada umumnya, angka acak yang dihasilkan oleh komputer digital, sebagai bagian dari simulasi. Ada banyak metode yang dapat digunakan untuk menghasilkan nilai-nilai.
Sebelum telah dijelaskan bahwa dalam beberapa metode ini, ·terdapat beberapa pertimbangan penting bahwa kita harus menyebutkan:
1. Rutin harus cepat. perhitungan individu yang murah, tapi simulasi bisa memerlukan jutaan nomor acak. Total biaya dapat dikelola dengan memilih metode komputasi yang efisien dari generasi nomor acak.
2. Rutin harus portabel untuk komputer yang berbeda, idealnya, untuk bahasa pemrograman yang berbeda. Hal ini diinginkan sehingga program simulasi akan menghasilkan hasil yang sama di mana pun itu dijalankan.
3. Rutin harus memiliki siklus yang cukup panjang. Panjang siklus, atau periode, mewakili panjang dari urutan nomor acak sebelum angka sebelumnya mulai berulang dalam urutan
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 sebelumnya. Jadi, jika 10.000 peristiwa yang akan dihasilkan, periode harus banyak limau yang merindukan. Sebuah kasus khusus dari bersepeda merosot. Rutinitas berdegenerasi ketika angka acak yang sama muncul berulang kali. Seperti kejadian ini tentu tidak dapat diterima. Hal ini dapat terjadi dengan cepat dengan beberapa metode.
4. Angka acak harus ditiru. Mengingat titik awal (atau kondisi) itu harus mungkin untuk menghasilkan set yang sama angka acak. benar-benar independen dari sistem yang sedang disimulasikan. Hal ini bermanfaat untuk tujuan debugging dan merupakan sarana memfasilitasi perbandingan antara sistem. Untuk alasan yang sama, seharusnya mungkin untuk dengan mudah menentukan titik awal yang berbeda, terpisah, dalam urutan.
5. Yang paling penting, angka acak yang dihasilkan harus erat mendekati sifat statistik ideal keseragaman dan kemandirian.
Teknik yang tampaknya menghasilkan angka acak mudah menciptakan; teknik yang benar-benar menghasilkan urutan yang muncul untuk menjadi independen, angka acak terdistribusi seragam menciptakan adalah sangat sulit. Sekarang ada literatur yang luas dan teori yang kaya pada topik, dan banyak waktu pengujian telah ditujukan untuk membangun sifat-sifat berbagai generator. Bahkan ketika teknik diketahui secara teoritis, hal itu adalah jarang mudah untuk menerapkannya dengan cara yang akan cepat dan portabel. Tujuan dari bab ini adalah untuk membuat pembaca sadar akan isu-isu sentral dalam generasi nomor acak, untuk meningkatkan pemahaman dan menunjukkan beberapa teknik yang digunakan oleh mereka yang bekerja di daerah ini
C. Techniques for Generating Random Numbers.
Salah satu metode yang digunakan adalah metode congruential linear. Metode ini adalah teknik yang paling banyak digunakan untuk menghasilkan angka acak, jadi akan dijelaskan secara rinci. Juga akan disampaikan perpanjangan metode ini yang menghasilkan urutan dengan waktu yang lebih lama. Banyak metode lain telah diusulkan, dan mereka ditinjau di Deatley, Fox, dan Schrage [1996], Hukum dan Kelton [2000], dan Ripley [1987].
Metoda Linier Congruential.
Metode congruential linear, awalnya diusulkan oleh Lehmer [1951], menghasilkan urutan bilangan bulat, x1 x2, ... antara nol dan m - l dengan mengikuti hubungan rekursif:
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 Xi+1 = (aXi + c) mod m, I = 0, 1, 2, …
Awal nilai X0 disebut benih, a disebut multiplier, c adalah kenaikan, dan m adalah modulus. Jika c ≠ 0 pada persamaan diatas maka bentuk ini disebut metode congruential campuran. Ketika c = 0, bentuk ini dikenal sebagai metode congruential perkalian.Pemilihan nilai untuk a, c, m, dan X0 drastis mempengaruhi sifat statistik dan panjang siklus. Variasi Persamaan sebelumnya yang cukup umum di generasi komputer dari angka random. Sebuah contoh akan menggambarkan bagaimana teknik ini beroperasi.
Contoh:
Gunakan metode congruential linear untuk menghasilkan urutan angka acak dengan X0 = 27, a = 17, c = 43, dan m = 100. Di sini, nilai integer dihasilkan akan semua berada di antara nol dan 99 karena nilai modulus. Selain itu, perhatikan bahwa bilangan bulat acak yang dihasilkan daripada nomor acak. Ini bilangan bulat acak harus tampak merata pada bilangan bulat nol sampai 99. nomor acak antara nol dan 1 dapat dihasilkan oleh
𝑅𝑖 = 𝑋𝑖
𝑚 , 𝑖 = 1, 2, …
Urutan dari Xi dan nilai dari Ri dihitung sebagai berikut:
X0 = 27
X1 = (17 * 27 + 43) mod 100 = 502 mod 100 = 2 𝑅1 = 2
100= 0,02
X2 = (17 * 2 + 43) mod 100 = 77 mod 100 = 77 𝑅1 = 77
100= 0,77
X3 = (17 * 77 + 43) mod 100 = 1352 mod 100 = 52 𝑅1 = 52
100= 0,52
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 Selain itu ciri khas dari metode ini adalah terjadi pengulangan pada periode waktu tertentu atau setelah sekian kali pembangkitan, hal ini adalah salah satu sifat dari metode ini, dan pseudo random generator pada umumnya. Penentuan konstanta metode ini (a, c dan m) sangat menentukan baik atau tidaknya bilangan acak yang diperoleh dalam arti memperoleh bilangan acak yang seakan-akan tidak terjadi pengulangan.
Perhatikan contoh berikut:
Jumlah soal yang telah disimpan pada database sebanyak 50 soal di mana setiap ujian memiliki 4 pilihan jumlah soal yaitu 10 - 40 soal. Pada setiap soal nomor soal digunakan sebagai kode soal untuk mempermudah pengacakan soal. Agar tidak mengalami pengulangan saat dilakukan pengacakan soal sebanyak 10, 20, 30 atau 40 kali, telah ditentukan nilai konstanta a =11, c=7, X0 (nilai awal diambil acak di mana 0 ≤, X0 < m ) = 1 dan m = 50. Sehingga diperoleh hasil: X[1]= (11*1+7) mod 50. Berikut ini merupakan penerapan metode linear Congruential pada pengacakan urutan soal:
1. x(1) = ( 11 (1) + 7 ) mod 50 = 18 2. x(2) = ( 11 (18) + 7 ) mod 50 = 5 3. x(3) = ( 11 (5) + 7 ) mod 50 = 12 4. x(4) = ( 11 (12) + 7 ) mod 50 = 39 5. x(5) = ( 11 (39) + 7 ) mod 50 = 36 6. x(6) = ( 11 (36) + 7 ) mod 50 = 3 7. x(7) = ( 11 (3) + 7 ) mod 50 = 40 8. x(8) = ( 11 (40) + 7 ) mod 50 = 47 9. x(9) = ( 11 (47) + 7 ) mod 50 = 24 10. x(10) = ( 11 (24) + 7 ) mod 50 = 21 11. x(11) = ( 11 (21) + 7 ) mod 50 = 38 12. x(12) = ( 11 (38) + 7 ) mod 50 = 25 13. x(13) = ( 11 (25) + 7 ) mod 50 = 32 14. x(14) = ( 11 (32) + 7 ) mod 50 = 9 15. x(15) = ( 11 (9) + 7 ) mod 50 = 6 16. x(16) = ( 11 (6) + 7 ) mod 50 = 23 17. x(17) = ( 11 (23) + 7 ) mod 50 = 10 18. x(18) = ( 11 (10) + 7 ) mod 50 = 17
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 19. x(19) = ( 11 (17) + 7 ) mod 50 = 44
20. x(20) = ( 11 (44) + 7) mod 50 = 42
Maka, bilangan acak yang dibangkitkan adalah: 18, 5, 12, 39, 36, 3, 40, 47, 24, 21, 38, 25, 32, 9, 6, 23, 10, 17, 44, 42.
Berdasarkan perhitungan ini, dapat disimpulkan bahwa dalam pemilihan nilai konstanta pada a, c dan m telah sesuai dan tidak terjadi perulangan dalam menampilkan soal pada saat melakukan ujian. Untuk nilai Xn atau nilai awal akan selalu berubah sesuai dengan jumlah berapa kali pengguna menjawab soal. Jika saat melakukan ujian pertama kali maka nilai Xn = 1, namun jika dia melakukan ujian yang kedua kalinya nilai Xn = 1 + 1.
Jumlah soal yang tersedia di dalam database atau jumlah nilai m adalah 50, sehingga hasil bilangan acak/nomor soal yang dihasilkan merupakan rentang dari angka 0-49. Pada nomor soal tidak terdapat nomor soal 0 sehingga apabila terdapat angkat 0 dalam salah satu nomor soal yang dihasilkan maka akan diganti menjadi angka 50.
Combined Congruential Generators
Sehubungna semakin meningkat kemampuan komputasi, kompleksitas sistem yang dapat disimulasikan juga meningkat. Sebuah nomor acak generator dengan periode 231-1 = 2 x 109, seperti generator populer dijelaskan dalam contoh sebelumnya, tidak lagi memadai untuk semua aplikasi, Contohnya termasuk simulasi sistem yang sangat handal, di mana ratusan ribu peristiwa harus disimulasikan untuk mengamati bahkan kegagalan tunggal dan simulasi jaringan komputer yang kompleks, di mana ribuan pengguna mengeksekusi ratusan program. wilayah penelitian saat ini adalah berasal dari generator dengan periode lebih panjang.
Salah satu pendekatan yang bermanfaat adalah untuk menggabungkan dua atau lebih perkalian generator congruential sedemikian rupa sehingga generator gabungan mempunyai sifat statistik dan waktu yang lebih lama. Berikut hasil dari L'Ecuyer [1988] menunjukkan bagaimana hal ini dapat dilakukan:
Jika Wi1, Wi2,. . . , Wik adalah setiap independen, variabel acak diskrit-dihargai (tidak harus terdistribusi secara identik), tapi salah satu dari mereka, mengatakan Wi1 terdistribusi secara seragam pada bilangan bulat dari 0 sampai mi - 2, maka
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 𝑊𝑖 = [∑ 𝑊𝑖𝑗
𝑘
𝑗=1
] 𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑖− 1
sehingga terdistribusi secara seragam pada bilangan bulat dari 0 sampai mi – 2 D. Tests for Random Numbers.
Angka acak merupakan bahan dasar yang diperlukan dalam simulasi hampir semua sistem diskrit. Kebanyakan bahasa komputer memiliki subroutine, objek, atau fungsi yang akan menghasilkan nomor acak. Demikian pula, bahasa simulasi menghasilkan angka acak yang digunakan untuk menghasilkan beberapa kali event dan variabel acak lainnya. Pada sesi ini, akan dijelaskan terkait generasi nomor acak dan pengujian terhadap random number tersebut. Selanjutnya akan dijelaskan pula berkenaan bagaimana nomor acak yang digunakan untuk menghasilkan variabel random dengan distribusi probabilitas yang diinginkan.
Untuk memeriksa apakah sifat-sifat yang diinginkan telah tercapai, sejumlah tes dapat dilakukan. (Untungnya, tes yang sesuai telah dilakukan untuk sebagian besar perangkat lunak simulasi komersial.) Tes dapat ditempatkan dalam dua kategori, sesuai dengan sifat keseragaman bunga, dan kemandirian. Sebuah deskripsi singkat dari dua jenis tes yang diberikan dalam bab ini:
1) Uji Frekuensi. Umumnya menggunakan Kolmogorov-Srnimov atau uji chi-square untuk membandingkan distribusi set angka yang dihasilkan untuk distribusi seragam.
2) Uji Autokorelasi. Pada uji ini dilakukan pengujian korelasi antara angka dan membandingkan sampel korelasi dengan korelasi yang diharapkan, nol.
Dalam pengujian untuk keseragaman, hipotesis adalah sebagai berikut:
H0 : Ri ═ U[0,1]
H1 : Ri ≠ U[0,1]
Hipotesis nol, H0, membaca angka-angka tersebut didistribusikan secara merata pada interval [0, 1]. Kegagalan untuk menolak hipotesis nol berarti bahwa bukti nonuniformity belum terdeteksi oleh tes ini. Ini tidak berarti bahwa pengujian lebih lanjut dari generator untuk unifonnity tidak diperlukan.
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 Dalam pengujian ketidakbergantungan atau uji independen, hipotesisnya adalah sebagai berikut:
H0 : Ri ═ independently H1 : Ri ≠ independently
Hipotesis nol, H0, menunjukkan bahwa angka independen. Kegagalan untuk menolak hipotesis nol berarti bahwa bukti ketergantungan belum terdeteksi oleh tes ini. Hal ini tidak berarti bahwa pengujian lebih lanjut dari generator kemerdekaan tidak diperlukan.
Untuk setiap tes, tingkat signifikansi yang harus dinyatakan. Tingkat adalah probabilitas menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol benar:
α = P (tolak H0|H0 benar).
Pembuat keputusan menetapkan nilai untuk setiap tes Sering, diatur ke 0,01 atau 0,05.
Jika beberapa tes dilakukan pada set yang sama dari nomor, probabilitas menolak hipotesis nol pada setidaknya satu tes, kebetulan saja [yaitu membuat Tipe I (α) kesalahan], meningkat.
Mengatakan bahwa α = 0,05 dan yang lima tes yang berbeda dilakukan pada urutan angka.
Probabilitas menolak hipotesis nol pada setidaknya satu tes, secara kebetulan saja, bisa menjadi besar seperti 0.25.
Demikian pula, jika satu tes dilakukan pada banyak set angka dari generator, probabilitas menolak hipotesis nol pada setidaknya satu tes secara kebetulan saja [yaitu, membuat Tipe I (α) kesalahan], meningkat sebagai set lebih dari angka diuji. Misalnya, jika 100 set angka menjadi sasaran tes, dengan α = 0,05, itu akan diharapkan bahwa lima dari tes tersebut akan ditolak secara kebetulan saja. Jika jumlah penolakan di 100 tes dekat 100α, maka tidak ada alasan kuat untuk membuang generator
Jika salah satu bahasa simulasi terkenal atau acak-nomor generator yang digunakan, itu mungkin tidak perlu untuk menerapkan tes hanya disebutkan dan dijelaskan pada bagian berikutnya. Namun, angka acak generator sering ditambahkan ke perangkat lunak yang tidak secara khusus dikembangkan untuk simulasi, seperti program, spreadsheet, simbolik / kalkulator numerik, dan bahasa pemrograman. Jika generator yang sudah dekat tidak secara eksplisit diketahui atau didokumentasikan, maka tes dalam bab ini harus diterapkan. banyak sampel angka dari generator.
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 Frequency Tests
Sebuah tes dasar yang harus selalu dilakukan untuk memvalidasi generator baru adalah tes keseragaman. Dua metode yang berbeda dari pengujian yang tersedia adalah Kolmogorov-Srnirnov dan uji chi-square kedua tes ini mengukur tingkat kesepakatan antara distribusi sampel nomor acak yang dihasilkan dan distribusi seragam teoritis. Kedua tes didasarkan pada hipotesis nol tidak ada perbedaan yang signifikan antara distribusi sampel dan distribusi teoritis.
F(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1
Jika sampel dari nomor acak generator adalah R1, R2, …., RN, maka cdf empiris, SN(x), didefinisikan oleh:
𝑆𝑁(𝑥) = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑅1, 𝑅2, … , 𝑅𝑁 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑎𝑛𝑎 ≤ 𝑥 𝑁
Sebagai N menjadi lebih besar, SN(x) harus menjadi pendekatan yang lebih baik untuk F(x), asalkan hipotesis nol benar
Uji Kolmogorov-Smirnov didasarkan pada penyimpangan absolut terbesar antara F(x) dan SJ.x) selama rentang variabel acak-yang, itu didasarkan pada statistic
D = max│F(x)-SN(x)│
Uji untuk Auto Korelasi.
Tes autokorelasi berhubungan dengan ketergantungan antara angka secara berurutan. Sebagai contoh, pertimbangkan urutan angka-angka berikut:
0.12 0.01 0.23 0.28 0.89 0.31 0.64 0.28 0.83 0.93 0.99 0.15 0.33 0.35 0.91 0.41 0.60 0.27 0.75 0.88 0.68 0.49 0.05 0.43. 0.95 0.58 0.19 0.36 0.69 0.87
Dari inspeksi visual, angka-angka ini muncul secara acak, dan mereka mungkin akan lulus semua tes disajikan ke titik ini. Namun, pemeriksaan dari yang ke 5, l0, 15 (setiap lima
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 nomor mulai dari yang ke 5), dan sebagainya, menunjukkan jumlah yang sangat besar dalam posisi itu. Sekarang, 30 angka adalah ukuran sampel agak kecil yang menolak angka acak generator, tetapi gagasannya adalah bahwa angka-angka dalam urutan mungkin terkait.
Pada bagian tertentu, metode untuk menemukan apakah hubungan tersebut ada dijelaskan: Hubungan akan tidak harus semua angka tinggi. Hal ini dimungkinkan untuk memiliki semua angka rendah di lokasi yang diperiksa, atau angka bisa bergantian dari yang sangat tinggi hingga sangat rendah.
Tes yang akan dijelaskan segera membutuhkan perhitungan autokorelasi antara setiap angka m (m juga dikenal sebagai lag), dimulai dengan jumlah ke i. Dengan demikian, autokorelasi Pim antara nomor-nomor berikut akan menarik: Ri, Ri+m …. Ri+2m ,,, Ri+(M+t)m · Nilai M adalah bilangan bulat terbesar yaitu i + (M + l) m ≤ N, dimana N adalah jumlah total nilai dalam urutan (Jadi, subsequence panjang M + 2 sedang diuji).
Sebuah nol korelasi menyiratkan kurangnya kemandirian, sehingga berikut ‘two tailed test sesuai:
H0 : Pim = 0 H1 : Pim ≠ 0
Untuk nilai besar M, distribusi penaksir Pim • dilambangkan P. adalah mendekati normal jika nilai Ri, Ri+m …. Ri+2m ,,,Ri+(M+t)m tidak berkorelasi. Maka uji statistik dapat dibentuk sebagai berikut:
𝑍0 = 𝜌𝑖𝑚 𝜎𝜌𝑚
yang terdistribusi normal dengan rata-rata nol dan varians dari 1, dengan asumsi independensi, untuk besar M
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 Simulasi Monte Carlo.
Simulasi Monte Carlo merupakan bentuk simulasi probabilistik dimana suatu solusi dari suatu masalah diberikan berdasarkan proses randomisasi ( acak). Proses acak ini melibatkan suatu distribusi probabilitas dari variable data yang dikumpulkan berdasarkan data masa lalu maupun distribusi probabilitas teoritis.
Langkah-langkah utama dalam simulasi Monte Carlo:
1. Mendefinisikan distribusi probabilitas yang diketahui secara pasti dari data yang didapatkan dari pengumpulan data di masa lalu. Variabel yang digunakan dalam distribusi harus disusun distribusi probabilitasnya.
2. Mengkonversikan distribusi probabilitas ke dalam bentuk frekuensi kumulatif. Distribusi probabilitas kumulatif ini akan digunakan sebagai dasar pengelompokan batas interval dari batasan acak.
3. Menjalankan proses simulasi dengan menggunakan bilangan acak. Faktor-faktor yang sifatnya tidak pasti sering sekali menggunakan bilangan acak untuk menggambarkan kondisi yang acak akan memberikan gambaran dari variasi yang sebenarnya.
4. Analisis yang dilakukan dari keluaran simulasi sebagai masukan bagi alternatif pemecahan permasalahan dan pengambilan kebijakan. Pihak manajemen dapat melakukan evaluasi terhadap kondisi yang sedang terjadi dengan hasil simulasi.
Contoh:
Sebuah toko sepatu memperkirakan permintaan sepatu per harinya menurut suatu pola distrobusi sebagai berikut:
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 Berdasarkan data masa lalu, pengusaha toko ini hendak memperkirakan pola permintaan untuk 10 hari dalam bulan berikutnya, agar dapat mempersiapkan jumlah sepatu dalam tokonya.
Langkah –langkah:
• Dibuat tabel distribusi frekuensi dan kumulatifnya
Membuat angka penunjuk batasan.
permintaan/hari distribusi (pasang) frekuensi
1 4 0.05 0 - 5
2 5 0.10 6 - 15
3 6 0.15 16 - 30
4 7 0.30 31 - 60
5 8 0.25 61 - 85
6 9 0.15 86 - 100
Jumlah 1.00
No. Urut Penunjuk
batasan
• Diberikan 10 bilangan acak yang mewakili banyaknya permintaan dalam 10 hari : 57, 12, 70, 38, 91, 28, 95, 73, 13, 90
• Disusunlah hasil permintaan perhari
permintaan/hari (pasang)
1 7
2 5
3 8
4 7
5 9
6 6
7 9
8 8
9 5
10 9
Hari ke
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 E. Random-Variate Generation.
Pada bagian ini, akan dibahas terkait prosedur berbagai sampling yang banyak digunakan untuk distribusi kontinu dan diskrit dan beberapa contoh kegunaannya pada beberapa distribusi statistik pada pemodelan kegiatan yang umumnya tidak terduga atau tidak pasti. Seperti pengaplikasian waktu antar kedatangan dan waktu layanan di antrian dan permintaan akan produk yang cukup sering tak terduga, setidaknya sampai batas tertentu.
Pada umumnya, variabel tersebut dimodelkan sebagai variabel acak dengan beberapa distribusi statistik tertentu, dan prosedur statistik standar eksis untuk memperkirakan parameter dari distribusi hipotesis dan untuk menguji validitas model statistik yang diasumsikan. Misalnya diasumsikan bahwa distribusi telah sepenuhnya ditentukan, dan dicari cara untuk menghasilkan sampel distribusi yang akan digunakan. Hal ini digunakan sebagai masukan untuk model simulasi. Dengan demikian tujuan dari sesi ini adalah untuk menjelaskan dan menggambarkan beberapa teknik secara luas yang digunakan untuk menghasilkan Variates Random, dan tidak spesifik untuk memberikan survei state-of-the-art teknik yang paling efisien. Dalam prakteknya, kebanyakan pemodel simulasi akan menggunakan dengan baik rutinitas yang tersedia di perpustakaan pemrograman atau rutinitas yang dibangun ke dalam bahasa simulasi yang digunakan.
Semua teknik yang digunakan disini menganggap bahwa sumber seragam [0,1] nomor acak, R1, R2,…. sudah tersedia, di masing-masing R; yang memiliki pdf
𝑓𝑅(𝑥) = {1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Dan cdf
𝑓𝑅(𝑥) = {
0, 𝑥 < 0 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1, 𝑥 > 1
Distribusi Exponensial.
Distribusi Eksponesial mempunyai pdf sebagai berikut:
𝑓(𝑥) = {𝜆𝑒−𝜆𝑥, 𝑥 ≥ 0 0, 𝑥 < 0
Dan nilai dari cumulative distribution function (cdf) adalah:
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = {1 − 𝑒−𝜆𝑥, 𝑥 ≥ 0
0 , 𝑥 < 0
𝑥
−∞
Parameter λ dapat diartikan sebagai jumlah rata-rata kejadian per satuan waktu.
Misalnya, jika waktu antar X1, X2, X3, ••• memiliki distribusi eksponensial dengan tingkat λ, maka λ dapat diartikan sebagai jumlah rata-rata kedatangan per satuan waktu, atau tingkat kedatangan. Perhatikan bahwa, untuk setiap i,
𝐸(𝑋𝑖) = 1 𝜆
dan 1/λ adalah mean waktu antar. Tujuannya di sini adalah untuk mengembangkan prosedur untuk menghasilkan nilai-nilai X1, X2, X3, ... yang memiliki distribusi eksponensial.
Dalam praktiknya, teknik transformasi invers dapat digunakan. Setidaknya secara dasar, apapun jenis distribusinya, transformasi invers ini menjadi sangat berguna ketika tipe cdf, F(x), berbentuk sangat sederhana sehingga inversnya, F−1, dapat dihitung dengan mudah. (Notasi F−1 menunjukkan solusi dari persamaan r = F(x) untuk x; dan tidak menunjukkan 1/F.) Prosedur satu langkah demi langkah untuk teknik transformasi invers, diilustrasikan melalui distribusi eksponensial seperti berikut:
Langkah 1. Hitung cdf dari variabel acak X yang diinginkan.
Untuk distribusi eksponensial, cdf mengikuti fungsi :
Langkah 2. Tetapkan F(X) = R pada rentang X. sehingga didapatkan formulasi:
Langkah 3. Selesaikan persamaan F(X) = R untuk X dalam bentuk R
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 Langkah 4. Bangkitkan (sesuai kebutuhan) bilangan acak seragam R1, R2, R3, . . . dan hitung variasi acak yang diinginkan dengan
Misalnya:
Tabel 1 memberikan urutan angka acak dari Tabel A.1 dan variabel eksponensial yang dihitung, Xi, diberikan oleh Persamaan (2) dengan nilai = 1. Gambar 1(a) adalah histogram dari 200 nilai, R1, R2, . . . , R200 dari distribusi seragam, dan Gambar 1(b) adalah histogram dari 200 nilai, X1, X2, . . . , X200, dihitung dengan Persamaan (2). Bandingkan histogram empiris ini dengan fungsi kerapatan teoretis pada Gambar 1(c) dan (d). Seperti yang diilustrasikan di sini, histogram adalah perkiraan fungsi kepadatan yang mendasarinya.
Gambar 1. (a) Histogram empiris 200 bilangan acak seragam; (b) histogram empiris 200 variasi eksponensial; (c) kerapatan seragam teoritis pada [0,1]; (d) kerapatan eksponensial
teoritis dengan rata-rata 1
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 Distribusi Uniform.
Pertimbangkan suatu variabel random X yang terdistribusi uniform pada interval [a, b].Suatu perkiraan yang masuk akal untuk menentukan nila X adalah :
X = a + (b – a)R
R selalu dinyatakan sebagai angka random pada [0, 1] Maka, pdf dari X diberikan oleh 𝑓(𝑥) = {
1
𝑏 − 𝑎 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Sedangkan cdf diberikan sebagai berikut:
𝐹(𝑥) = {
0, 𝑥 < 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 1 𝑥 > 𝑏
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Jika F(X) = (X-a)/(b-a) = R (X-a) = R(b-a) → X = a + (b-a)R
Distribusi Poisson.
Suatu variabel random Poisson, N, dengan rata-rata α > 0 mempunyai pmf 𝑝(𝑛) = 𝑃(𝑁 = 𝑛) = 𝑒−𝛼 𝛼𝑛
𝑛! , 𝑛 = 0, 1, 2, …
Lebih penting, bagaimanapun, adalah bahwa N dapat diartikan sebagai jumlah pendatang dari proses kedatangan Poisson dalam satu satuan waktu. Ingat dari bagian sebelumnya bahwa waktu antar, A., A2, • • • pelanggan yang berurutan secara eksponensial didistribusikan dengan tingkat satu (yaitu, adalah jumlah rata-rata kedatangan per satuan waktu); di samping itu, sebuah variate eksponensial dapat dihasilkan oleh Persamaan sebelumnya. Dengan demikian, ada hubungan antara (diskrit) Poisson-distribusi dan (terus menerus). distribusi eksponensial.
N = n
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 Jika dan hanya jika
A1 + A2 + … + An ≤ 1 < A1 + … + An + An+1
Persamaan N = n, mengatakan ada persis n kedatangan selama satu satuan waktu; tapi Relation (23) mengatakan bahwa kedatangan ke n terjadi sebelum waktu 1 sedangkan kedatangan ke (n + 1) st terjadi setelah waktu 1 Jelas, dua pernyataan yang setara.
Melanjutkan sekarang dengan menghasilkan waktu antar eksponensial sampai beberapa saat kedatangan, mengatakan n + 1, terjadi setelah waktu 1; kemudian mengatur N = n.
∑ −1
𝛼 𝑙𝑛𝑅𝑖 ≤ 1 < ∑ −1 𝛼𝑙𝑛𝑅𝑖
𝑛+1
𝑖=1 𝑛
𝑖=1
Berikutnya kalikan melalui oleh -a, yang membalikkan tanda ketidaksamaan, dan menggunakan fakta bahwa jumlah logaritma adalah logaritma dari suatu produk, untuk mendapatkan
𝑙𝑛 ∏ 𝑅𝑖 = ∑ 𝑙𝑛𝑅𝑖 ≥ −𝛼 > ∑ 𝑙𝑛𝑅𝑖 = 𝑙𝑛 ∏ 𝑅1
𝑛+1
𝑖=1 𝑛+1
𝑖=1 𝑛
𝑖=1 𝑛
𝑖=1
Akhirnya, menggunakan relasi elnx = x untuk tiap angka x untuk mendapatkan
∏ 𝑅𝑖 ≥ 𝑒−𝛼∏ 𝑅𝑖
𝑛+1
𝑖=1 𝑛
𝑖=1
Contoh :
Buat tiga Poisson variates dengan rata-rata = 0,2. Pertama, menghitung e-α = e-0,2 = 0,8187.
Berikutnya, mendapatkan urutan acak nomor R dari Tabel A.1 dan ikuti langkah-langkah yang dijelaskan sebelumnya 1 sampai 3:
Step l. Set n = 0, P = l.
Step 2. R1 = 0.4357, P = 1, R1 = 0.4357.
Step 3. Since P = 0.4357 < e-α = 0.8187, accept N = 0.
Step 1-3. (R1 = 0.4146 1eads to N= 0.) Step 1. Set n = 0, P = 1 .
Step 2. R1 = 0.8353, P = 1 • R1 = 0.8353.
Step 3. Since P e-α, reject n = 0 and return· to Step 2 with n = 1.
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0 Step 2. R2 = 0.9952, P = R1 R2 = 0.8313.
Step 3. Since P e-α , reject n = l and return to Step 2 with n = 2.
Step 2. R3 = 0.8004, P = R1R2R3 = 0.6654.
Step 3. Since P < e-α, accept N = 2.
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0
SIMPULAN
Metode congruential linear yang paling banyak digunakan dalam generator nomor acak. Selain itu, kemajuan komputasi menghadirkan metode baru yaitu metode combined generator congruential linear. Dari sekian banyak jenis uji statistik yang digunakan dalam pengujian acak-nomor generator, dua jenis yang berbeda dijelaskan pengujian untuk keseragaman, dan satu independent test.
Analisis simulasi mungkin tidak pernah bekerja secara langsung dengan generator acak-nomor atau dengan pengujian nomor acak dari generator. Sebagian besar komputer dan bahasa simulasi memiliki rutinitas yang menghasilkan nomor acak, atau aliran nomor acak.
bahkan generator yang telah digunakan selama bertahun-tahun, beberapa di antaranya masih digunakan dan semakin dilakukan pengembangan.
Beberapa peneliti telah mencapai keahlian canggih dalam mengembangkan metode untuk menghasilkan dan menguji angka acak dan aplikasi berikutnya dari metode ini. Bagian ini hanya menyediakan pengenalan dasar materi pelajaran; lebih mendalam dan luas yang diperlukan bagi pembaca untuk menjadi spesialis di daerah.
Suatu kehati-hatian perlu dimiliki, bahkan jika angka yang dihasilkan lulus semua tes (yang tercakup dalam bagian ini), beberapa pola yang mendasari mungkin telah pergi terdeteksi tanpa generator yang yang telah ditolak sebagai keputusan yang salah. Namun, generator tersedia dalam bahasa simulasi banyak digunakan telah diuji secara luas dan dapat divalidasi. Secara prinsip, generasi acak bervariasi dapat dilakukan melalui teknik inverse- transform, teknik penolakan penerimaan dan metode lainntya. Metode invers transform ini dapat digunakan untuk data-data yang terdistribusi secara diskrit dan kontinu.
Systems Simulation and Engineering Data Analysis – R0
DAFTAR PUSTAKA
Blank, J., Joh S, Carson II, Barry L. Nelson, David M. Nicol. (2013). Discrete Event System Simulation. 5th Edition, Pearson Education Ltd, ISBN: 9781292024370
Zeigler, B. P., Sarjoughian, H. S., Duboz, R., & Soulie, J. C. (2017). Guide to modeling and simulation of systems of systems. 2nd Edition, Springer London. ISBN 978-0-85729- 865-2
