Operasi Bilangan Bulat

(1)

NUMERASI DASAR

(2)

(3)

36 A. Bilangan

1. Bilangan Bulat dan Operasinya 1.1. Materi

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, …) dan negatifnya (-1, -2, - 3, …).

Operasi pada bilangan bulat sudah kalian pelajari sejak di bangku sekolah dasar. Oleh karena itu materi topik ini tidak akan banyak dijabarkan.

1.2 Soal Latihan

Selesaikan operasi pada bilangan bulat berikut:

1. Penjumlahan bilangan bulat

a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. ….

f. ….

g. ….

h. …

i. ….

j. ….

k. ….

l. ….

m. ….

n. ….

o. ….

2. Pengurangan bilangan bulat

a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. ….

f. ….

g. ….

h. ….

i. ….

j. ….

k. ….

l. ….

m. ….

(4)

37

n. ….

o. ….

p. ….

q. ….

3. Perkalian bilangan bulat

a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. ….

f. ….

g. ….

h. ….

i. ….

j. …..

4. Pembagian bilangan bulat

a. ….

b. ….

c. = ….

d. ….

e. ….

f. ….

g. ….

h. ….

5. Hasil bagi dan sisa pembagian bilangan bulat

Tentukan hasil bagi dan sisa dari operasi pembagian berikut a.

b.

c.

d.

e.

f.

6. Tentukan hasil dari a.

b.

c.

d.

e.

(5)

38 7. Perpangkatan bilangan bulat

a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. ….

f. ….

g. ….

h. ….

i. …

j. ….

k. ….

l. ….

m. ….

n. ….

8. Akar bilangan bulat a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. ….

f. ….

g. ….

h. ….

i. ….

j. ….

2. Bentuk Pecahan dan Operasinya 2.1. Materi

a. Jenis Pecahan

Pecahan biasa, misalnya ….

Pecahan campuran, misalnya , , ….

Pecahan desimal, misalnya ….

Suatu pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan lainnya, baik pecahan biasa, pecahan campuran, maupun pecahan desimal.

Contoh:

1) 2)

(6)

39 b. Operasi Pecahan

Ada beberapa hal yang harus kalian ingat tentang operasi pecahan:

 Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa dapat dilakukan apabila pecahan yang dioperasikan memiliki penyebut yang sama.

Contoh:

1) 2)

 Perkalian pecahan biasa dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut

Contoh:

1)

 Pembagian pecahan biasa dilakukan dengan mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan dari pecahan kedua

1) 2.2. Latihan

Selesaikan soal-soal yang berkaitan dengan pecahan berikut:

1. Nyatakan pecahan berikut dalam bentuk pecahan campuran a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. ….

f. ….

g. ….

2. Nyatakan pecahan berikut dalam bentuk pecahan desimal a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. ….

3. Nyatakan pecahan berikut dalam bentuk pecahan biasa a. ….

b. ….

c. ….

(7)

40 d. ….

e. ….

f. ….

g. ….

4. Selesaikan operasi penjumlahan pecahan berikut a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. …

f. …

g. …

h. ….

i. .…

j. ….

5. Selesaikan operasi pengurangan pecahan berikut a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. ….

f. ….

g. ….

h. ….

i. ….

j. ….

k. ….

6. Selesaikan operasi perkalian pecahan berikut

a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. ….

(8)

41

f. …

g. ….

h. ….

i. ….

j. ….

k. ….

7. Selesaikan operasi pembagian pecahan berikut a. ….

b. ….

c. ….

d. ….

e. ….

f. ….

g. ….

h. ….

i. ….

j. ….

b.

c.

d.

e.

b.

c.

d.

e.

(9)

42 b.

c.

B. Bentuk Aljabar

1. Pengertian Bentuk Aljabar 1.1. Materi

Bentuk aljabar adalah ekspresi matematika yang mengandung huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Sebagai contoh jika“Banyaknya kelereng Made tiga lebih banyak dari dua kalinya kelereng Putu”, maka banyak kelereng Made dapat dinyatakan dalam bentuk aljabar dengan menyatakan banyak kelereng putu.

Dalam bentuk aljabar, ada beberapa istilah yang perlu kalian ketahui

 Variabel: lambing berupa huruf yang menyatakanbilangan yang belum diketahui nilainya.

 Konstanta: bilangan pada bentuk aljabar yang tidak memuat variabel

 Koefisien: bilangan yang memuat variabel yang menjadi pengali dari variabel

 Suku: koefisien beserta variabelnya atau konstanta pada bentuk aljabar Sebagai contoh, pada bentuk aljabar : menyatakan variabel, 3 adalah konstanta, 2 adalah koefisien dari , serta suku dari bentuk tersebut adalah

dan . 1.2. Soal Latihan

Tentukan variabel, konstanta, koefisien, dan suku dari bentuk aljabar berikut:

a.

b.

c.

2. Operasi Bentuk Aljabar 2.1. Materi

 Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.

Contoh:

1) 2)

3) tidak dapat dijumlahkan

 Perkalian

Perkalian suku-suku bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan langsung bilangan maupun variabel pada kedua suku

Contoh:

(10)

43 1)

2)

 Pembagian

Perkalian suku-suku bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan langsung bilangan maupun variabel pada kedua suku

Contoh:

1) 2)

2.2. Soal Latihan

1. Selesaikan operasi pada bentuk aljabar berikut a.

b.

c.

d.

e.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

b.

c.

d.

e.

(11)

44 3. Penguraian Bentuk Aljabar

3.1. Materi

 Aturan Distributif

Untuk menguraikan bentuk digunakan aturan distributif:

Aturan distributif dilakukan dengan mengalikan koefisien dengan setiap suku dalam tanda kurung.

Contoh:

1) 2)

 Mengalikan bentuk

Perkalian bentuk dengan diperoleh dengan menggunakan aturan distributif beberapa kali

= Contoh:

1) 2)

1. Uraikan bentuk aljabar berikut kemudian sederhanakan!

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

(12)

45 3. Uraikan bentuk aljabar berikut kemudian sederhanakan!

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k. 2

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

a.

b.

c.

d.

e.

(13)

46 f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

n.

o.

p.

q.

r.

s.

t.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

(14)

47 n.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

4. Faktor Persekutuan Terbesar dari Bentuk Aljabar 4.1. Materi

Untuk mencari faktor persekutuan terbesar dari dua bentuk aljabar dapat dilakukan seperti mencar faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan.

Perhatikan contoh berikut:

Contoh:

Tentukan faktor persekutuan terbesar dari dan Pembahasan:



Dengan demikian diperoleh faktor persekutuan terbesar dari dan adalah

1. Tentukan faktor persekutuan terbesar dari a. dan

b. dan c. dan d. dan

(15)

48 e. dan

f. dan

g. dan

h. dan

2. Tentukan faktor persekutuan terbesar dari

a. dan

b. dan

c. dan

d. dan

e. dan

(16)

49 5. Pemfaktoran Suku yang Sama Bentuk Aljabar

5.1. Materi

Pemfaktoran adalah proses menyatakan hasil kali menjari perkalian faktor- faktornya. Proses ini merupakan kebalikan dari penguraian bentuk aljabar yang telah kalian pelajari sebelumnya. Perhatikan contoh berikut

Contoh

Penguraian: Bentuk dapat diuraikan menjadi

Pemfaktoran: Perhatikan bahwa bentuk dan memiliki faktor persekutuan terbesar , sehingga bentuk dapat dinyatakan sebagai

Proses menyatakan menjadi inilah yang disebut memfaktorkan. dan merupakan faktor dari .

Perlu kalian ingat bahwa dalam proses diatas kita menggunakan sifat distributif

1. Faktorkan bentuk aljabar berikut a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

b. 3x c.

d.

e.

f.

g.

(17)

50 6. Pemfaktoran Bentuk Selisih Kuadrat

6.1. Materi

Dari soal latihan 3.2 bagian 5 kalian telah melihat bentuk selilih kuadrat.

Bentuk selisih kuadrat adalah yang dapat difaktorkan sebagai berikut Perhatikan contoh berikut

Contoh

Faktorkanlah bentuk berikut Penyelesaian

Bentuk dapat dinyatakan sebagai yang merupakan bentuk selisih kuadrat, sehingga

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

7. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat 7.1. Materi

Jika kita menguraikan bentuk akan diperoleh

Sehingga untuk memfaktorkan bentuk kita perlu mencari nilai dan yang jumlahnya dan hasil kalinya . Perhatikan contoh berikut Contoh

Faktorkan bentuk Penyelesaian

Nilai dan yang memenuhi dan adalah

(18)

51 dan , sehingga

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

(19)

52 8. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat

8.1 Materi

Pemfaktoran bentuk dapat dilakukan sebagai berikut

dengan dan Contoh

Faktorkan bentuk Penyelesaian

Nilai dan yang memenuhi dan adalah dan , sehingga

8.2. Soal Latihan

b.

c.

d.

e.

f.

b.

c.

d.

e.

f.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

(20)

53 C. Persamaan Linier Satu Variabel

Sebelum mempelajari persamaan linear satu variabel, anda harus memahami pengertian kalimat pernyataan dan kalimat terbuka.

1. Kalimat Pernyataan

Kalian pasti sudah mempelajari tentang jenis- jenis kalimat, seperti : kalimat tanya, kalimat berita, dan kalimat perintah. Coba berikan contoh tentang kalimat-kalimat itu.

Pernahkah kamu menjawab pertanyaan Bapak atau Ibu guru? Jika pernah, bagaimana jawaban yang Anda kemukakan itu? Benar atau salah? Jika anda menjawab dengan lengkap, sebaiknya jawabannya berupa kalimat. Sebagai contoh: ” Berapa banyak siswa di kelasmu? ” Contoh jawabannya adalah ” Banyak siswa di kelas saya ada 40 orang. ”

Perhatikan kalimat berikut ini!

a. Banyak pemain sepak bola dalam satu tim ada 11 orang b. Mata uang negara Inggris adalah Dollar

c. Balok merupakan bangun ruang d. 13 adalah bilangan prima e. -8 < 3

f.

g. Bilangan genap dikalikan dengan bilangan ganjil hasilnya adalah bilangan genap Manakah diantara kalimat di atas yang benar? mana yang salah? Kalimat yang sudah bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat pernyataan.

2. Kalimat Terbuka

Perhatikan masalah berikut ini!

Suatu hari Ricki mambawa sebuah tas yang berisi buku. Sebelum tas dibuka Ricki berkata pada temannya ”banyak buku dalam tas ada 9 buah”. Bagaimana pendapatmu tentang ucapan Ricki? benar atau salah? Perhatikan kalimat ” 9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5 ”. Apakah anda dapat menentukan kalimat itu benar atau salah? Kita tidak dapat menentukan apakah kalimat itu benar atau salah, karena ”suatu bilangan” pada kalimat itu belum diketahui nilainya. Benar atau salahnya bergantung pada berapakah ”suatu bilangan”

itu. Jika ”suatu bilangan” diganti dengan 4, maka kalimat itu menjadi ” 9 dikurangi 4 hasilnya 5 ”, kalimat ini adalah kalimat yang benar. Jika ”suatu bilangan” diganti dengan 2, maka kalimat itu menjadi ”9 dikurangi 2 hasilnya 5”, kalimat ini adalah kalimat yang salah.

Kalimat yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat terbuka. ”suatu bilangan” pada kalimat di atas belum diketahui nilainya. Dalam matematika, sesuatu yang belum diketahui nilainya dinamakan variabel atau peubah. Biasanya disimbolkan dengan huruf kecil atau bentuk yang lain. ”9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5”.

Jika suatu bilangan diganti dengan maka kalimat itu dapat ditulis dalam simbol matematika .

3. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel

Perhatikan kalimat terbuka . Kalimat terbuka tersebut dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). Selanjutnya, kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) disebut persamaan. Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu disebut persamaan linier satu variabel.

Jika a pada persamaan diganti dengan maka persamaan tersebut bernilai benar. Adapun jika diganti bilangan selain 10 maka persamaan bernilai

(21)

54 salah. Dalam hal ini, nilai disebut penyelesaian dari persamaan linier . Selanjutnya, himpunan penyelesaian dari persamaan linier adalah .

Masalah 1:

Sherly membeli pensil sebanyak 20 buah.

a. Sesampai dirumah, adiknya meminta beberapa pensil, ternyata pensilnya sisa 17 buah, berapa pensil yang diminta adiknya ?

b. Jika Sherly membutuhkan 8 pensil, dan sisanya dibagikan rata kepada keempat adiknya. Berapa pensil yang diterima oleh masing- masing adiknya ?

Pada masalah di atas :

a. Jika banyak pensil yang diminta oleh adik Sherly dimisalkan buah, maka diperoleh kalimat :

Manakah variabel atau peubah pada kalimat itu ?

 Ada berapa variabelnya ?

 Apakah merupakan kalimat terbuka ?

 Pada kalimat mengunakan tanda hubung ” = ”

 Pada kalimat pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu.

Kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung ” = ” disebut persamaan. Jika pangkat tertinggi dari variabel suatu persamaan adalah satu maka persamaan itu disebut persamaan linear. Persamaan linear yang hanya memuat satu variabel disebut persamaan linear satu variabel ( PLSV ). Jadi merupakan salah satu contoh PLSV.

b. Jika banyak pensil yang diperoleh masing- masing adik Sherly dimisalkan , maka diperoleh persamaan

 Jika diganti dengan 5, maka kalimat itu menjadi : dan bernilai salah

 Jika diganti dengan 3, maka kalimat itu menjadi : dan bernilai benar

Pengganti supaya menjadi benar adalah .

Pengganti dari variabel (peubah) sehingga persaman menjadi benar disebut penyelesaian persamaan, sedangkan himpunan yang memuat semua penyelesaian disebut himpunan penyelesaian.

4. Menentukan Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel

Menyelesaikan persamaan sama artinya dengan menentukan pengganti variabel sehingga persamaan menjadi bernilai benar. Untuk menentukan penyelesaian persamaan yang setara, yaitu kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut dengan peubah pada himpunan bilangan bulat.

1.

(22)

55

2.

Latihan

Kerjakan soal-soal berikut!

1. Tentukan yang merupakan persamaan linier satu variabel dan berikan alasannya!

a.

Penyelesaian:

………

b.

Penyelesaian:

………

c.

Penyelesaian:

………

d.

Penyelesaian:

………

e.

Penyelesaian:

………

f.

Penyelesaian:

(23)

56

………

g.

Penyelesaian:

………

h.

Penyelesaian:

………

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari PLSV dibawah ini!

a.

Penyelesaian:

………

b.

Penyelesaian:

………

c.

Penyelesaian:

………

d.

Penyelesaian:

………

e.

Penyelesaian:

………

f.

Penyelesaian:

………

g.

Penyelesaian:

(24)

57

………

h.

Penyelesaian:

………

(25)

58 Test

1. Tentukan yang merupakan persamaan linier satu variabel dan berikan alasannya!

a.

Penyelesaian:

………

b.

Penyelesaian:

………

c.

Penyelesaian:

………

d.

Penyelesaian:

………

e.

Penyelesaian:

………

f.

Penyelesaian:

………

g.

Penyelesaian:

………

h.

Penyelesaian:

………

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari PLSV dibawah ini!

a.

Penyelesaian:

(26)

59

………

b.

Penyelesaian:

………

c.

Penyelesaian:

………

d.

Penyelesaian:

………

e.

Penyelesaian:

………

f.

Penyelesaian:

………

g.

Penyelesaian:

………

h.

Penyelesaian:

………

D. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Dalam kehidupan sehari-hari, tentu kalian pernah mendengar kalimat-kalimat seperti berikut.

 Berat badan Hanifa lebih dari 50 kg.

 Salah satu syarat menjadi anggota TNI adalah badannya tidak kurang dari 165 cm.

 Sebuah bus mahasiswa Unsri dapat mengangkut tidak lebih dari 35 orang.

(27)

60 1. Pengertian Ketidaksamaan

Suatu ketidaksamaan selalu ditandadi dengan salah satu tanda hubung berikut.

 “ ” untuk menyatakan kurang dari.

 “ ” untuk menyatakan lebih dari.

 “ ” untuk menyatakan kurang dari atau sama dengan.

 “ ” untuk menyatakan lebih dari atau sama dengan.

Kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung : <, >, ≤, atau ≥ disebut pertidaksamaan.

Pertidaksamaan yang memuat satu variabel dan pangkat variabelnya adalah satu disebut pertidaksamaan linier satu variabel.

Contoh :

a. 3 kurang dari 5 ditulis 3 < 5 b. 8 lebih dari 4 ditulis 8 > 4 c. tidak lebih dari 9 ditulis

d. dua kali tidak kurang dari 16 ditulis 2. Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh :

Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan !

Karena nilai yang memenuhi adalah lebih dari , maka himpunan penyelesaian dari

adalah .

Latihan

Kerjakan soal-soal berikut ini!

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier satu variabel berikut.

a.

Penyelesaian:

………

b.

Penyelesaian:

………

c.

Penyelesaian:

(28)

61

………

d.

Penyelesaian:

………

e.

Penyelesaian:

………

Test

Kerjakan soal-soal berikut ini!

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier satu variabel berikut.

a.

Penyelesaian:

………

b.

Penyelesaian:

………

c.

Penyelesaian:

………

d.

Penyelesaian:

………

e.

Penyelesaian:

(29)

62 Penyelesaian:

Misalkan panjang tanah = maka lebar tanah = . Model matematika dari soal diatas adalah dan , sehingga penyelesaian model matematika diatas sebagai berikut.

Luas

Penyelesaian:

Diketahui panjang pemukaan meja , lebar , dan luas Model matematika dari luas persegi panjang adalah

Luas tidak kurang dari dapat ditulis

Nilai minimum cm, sehingga diperoleh

Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80 × 50) cm

………

E. Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Persamaan Linear Satu Variabel dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita. Untuk menyelesaikannya, buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita tersebut.

Contoh 1:

Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi pnjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek dari pada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas tanah petani tersebut.

Contoh 2:

Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16a cm dan lebar 10a cm. Jika luasnya tidak kurang dari 40 dm², tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut.

(30)

63 Latihan

1. Sebuah persegi panjang mempunyai

ukuran panjang cm dan lebar cm. Jika kelilingnya 34 cm, tentukan luas persegi panjang tersebut.

Penyelesaian:

………

2. Umur Vera 4 tahun kurangnya dari

umur Tohgar. Jika jumlah umur mereka 24 tahun, tentukan umur mereka masing- masing.

Penyelesaian:

………

3. Jumlah tiga bilangan genap yang

berurutan adalah 108. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian:

………

4. Persegi panjang mempunyai panjang

cm dan lebar cm. Jika kelilingnya tidak lebih dari 50 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.

Penyelesaian:

………

5. Suatu lempeng logam berbentuk

segitiga dengan panjang sisi-sisinya cm, cm, dan cm. Jika kelilingnya tidak kurang dari 72 cm, tentukan ukuran sisi terpendek segitiga.

Penyelesaian:

………

Test

1. Sebuah segitiga mempunyai alas

cm dan tinggi cm. Jika luas segitiga tersebut tidak lebih dari , tentukan nilai !

Penyelesaian:

(31)

64

………

2. Keliling suatu kebun sayuran yang

berbentuk persegi panjang adalah meter. Jika lebar kebun adalah meter, maka tentukan panjang kebun!

Penyelesaian:

………

3. Dua kali jumlah suatu bilangan dan

sama dengan empat kali bilangan dikurangi . Tentukan bilangan yang dimaksud!

Penyelesaian:

………

4. Diketahui persamaan

dengan adalah anggota himpunan bilangan bulat. Jika selisih dan adalah , maka tentukan nilai !

Penyelesaian:

………

5. Pak Ali berumur tahun, ketika

anaknya lahir. Berapakah umur Pak Ali ketika umur anak tersebut 16 tahun?

Penyelesaian:

………

(32)

65 F. Persamaan Garis lurus

Persamaan garis dapat dituliskan dalam beberapa bentuk

a. y = mx + n, dengan m menyatakan gradien garis atau kemiringan garis lurus yang dapat dinyatakan sebagai

m = tan, dimana  adalah sudut yang dibentuk oleh garis dengan sumbu – X positif arah kanan yang dapat ditunjukkan oleh gambar berikut :

Sehingga m = tan = 1 1 x

y , gradien bertanda positif (m > 0 ) bila nilai  berada dalam interval 0ô <  < 90ô, dan gradien bertanda negatif (m < 0) bila nilai  berada dalam interval 90ô <  < 180ô

b. Persaman garis yang melalui titik ( x1 , y1 ) dengan gradien m adalah ( y – y₁ ) = m ( x – x₁)

c. Persamaan garis melalui 2 titik A( x1, y1 ) dan titik B( x2, y2 ) adalah 1

2 1 1

2 1

x x

x x y y

y y



 



 , dengan gradien garisnya adalah

1 2

x x

y m y



 

d. Pesamaan garis yang melelui titik ( x₁, 0 ) dan titik ( 0, y₁ ) adalah 1 x

x y

y 1 1   , dengan gradien m =

1 1 x y

e. Prinsip menggambar garis adalah cukup dengan mengambil dua titik sebarang yang memenuhi persamaan garis yang ditentukan, karena dengan mengambil dua buah titik kita sudah dapat menentukan sebuah garis lurus. Untuk lebih mudahnya biasanya kita dapat mencari titik potong garis tersebut dengan sumbu – sumbu koordinat, yaitu jika memotong sumbu – Y maka haruslah x = 0, dan jika memotong sumbu – X maka haruslah y = 0

f. Menentukan titik potong dua buah garis dapat kita gunakan sistem persamaan linier dua variabel yaitu dengan metode eleminasi, substitusi, matriks atau dengan menggunakan aturan cramer terserah pada kita yang mempergunakan yang disesuaikan dengan pokok persoalannya

X O

Y

y = mx+n P(x1, y1 ) y1

x1

 X

O Y

y = mx+n P(x1, y1 )

y1

x1



(33)

66 Setelah membaca uraian singkat tersebut diatas coba sekarang selesaikan persoalan – persoalan berikut :

1. Gambarlah garis – garis dengan persamaan di bawah ini a. y = x + 1

b. y = 2x – 4

c. y = - 3x + 6

(34)

67 d. 2x + y = 2

e. – x + 2y = 4

2. Tentukan persamaan garis berikut a.

. . .

O 3 X

3 Y

(35)

68 . . .

. . . b.

. . . . . . . . . c.

. . . . . . . . . 3. Tentukan titik potong kedua garis dibawah ini

a. x + y = 4 dan 2x – y = 2 b. 3x – y = 8 dan x + y = 4 c. – x – y = -3 dan – x + 3y = 1 d. 2x – 3y = -6 dan 3x + 2y = 17 e. 4x – y = 5 dan 2x + 3y = 13 Pembahasan

. . . . . .

O 5 X

2 Y

-4 O X

4 Y

(36)

69 . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

1. Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dengan gradient - 2

3 adalah…

2. Gradien garis yang persamaannya : 3x -2y = 6 adalah…

3. Gradien garis yang sejajar dengan garis : 2x + 6y + 8 = 0 adalah…

4. Persamaan garis yang bergradien 2 dan melalui titik (0, 3)…

5. Sebuah garis melalui titik (-1, 3) dan (-1, 5). Gradien garis tersebut adalah…

6. Garis g mempunyai persmaan 8x + 4y – 16 = 0. Garis h sejajar dengan garis g dan melalui titik

(5, -3). Persamaan garis h adalah…

7. Gradien garis yang mempunyai persamaan -4x + 3y – 5 = 0 adalah…

8. Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan gradient 2

1 adalah…

9. Persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dan tegak lurus terhadap garis 4x – 2y – 8 = 0 adalah…

10. Gradien dari garis : x – 2y + 6 = 0 adalah ….

11. Penyelesaian dari sistem persamaan linier 2x + 3y = 20 dan 3x + 5y = 15 adalah x dan y.

Nilai dari x + 2y = ...

G. PERSAMAAN KUADRAT

 Pengertian Persamaan Kuadrat Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.

a adalah Koefisien x² b adalah Koefisien x c adalah konstanta

Bentuk Lain Persamaan Kuadrat :

Dengan demikian persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x

 Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat a. Memfaktorkan

untuk bentuk ax² + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah bilangan yang jumlahnya b dan hasil kalinya c

ax² + bx + c = 0

 (jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat Sempurna : ax² + c = 0

 (jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap : ax² + bx = 0

(37)

70 b. Melengkapkan kuadrat sempurna

ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Misalnya x² – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x² – 2x + 1 = (x - 1) c. Menggunakan rumus kuadrat

Dengan b² – 4ac ≥ 0

b² – 4ac disebut diskriminan (D)

Jika b² – 4ac < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian Jika b² – 4ac = 0 maka persamaan kuadrat memiliki tepat satu penyelesaian Jika b² – 4ac > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian Contoh 1 :

Bagaimana merubah persamaan 2x² = 3x - 8 ke dalam bentuk umum???

Penyelesaian : 2x² = 3x – 8

<=> 2x² - 3x = 3x-3x -8 (kedua ruas dikurangi 3x)

<=> 2x² – 3x = -8

<=> 2x² - 3x + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)

<=> 2x² – 3x + 8 = 0 Jadi a = 2, b = - 3 dan c = 8 Contoh 2 :

Cara memfaktorkan x² – 5 x + 6 = 0

<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0

<=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0

<=> x = 2 atau x = 3

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

Contoh 3

Cara Melengkapkan Kuadrat

Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 2x – 15 = 0 ! Jawab : x² + 2x – 15 = 0

x² + 2x = 15

Agar x²+ 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)² = 12 = 1

Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh : x² + 2x + 1 = 15 + 1

<=> (x + 1)² = 16

<=> x + 1 = ± √16

<=> x + 1 = ± 4

<=> x + 1 = 4 atau x + 1 = -4

<=> x = 4 - 1 atau x = -4 -1

<=> x = 3 atau x = -5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

x1,2

(38)

71 Contoh 4

a. Menggunakan rumus kuadrat

Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x² + 4x – 12 = 0

a =1 b = 4 c = -12

penyelesaian

x1,2 = - b ± √b² – 4ac 2a

<=> x1,2 = - 4 ± √42 – 4 x 1x (-12) 2 . 1

<=> x1,2 = - 4 ± √16 + 48 2

<=> x_{1,2 =}- 4 ± √64 2

<=> x_{1,2 =}- 4 ± 8 2

<=> x_{1,2 =}- 4 + 8 atau x_{1,2 =}- 4 - 8

2 2

<=> x1 = 2 atau x2 = -6

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.

a) x² – 5x + 6 = 0

. . . . . . . . . b) x² + 8x + 12 = 0

. . . . . . . . . c) x² + x – 20 = 0

. . . . . . . . . d) x² + 9x + 14 = 0

. . . . . . . . .

(39)

72 e) 2x² + 7x + 3 = 0

. . . . . . . . . f) 4x² – 12x + 9 = 0

. . . . . . . . . g) 3x² + 22x – 16 = 0

. . . . . . . . . h) 4x² – 20x = 0

. . . . . . . . . i) 3x² + 5x = 0

. . . . . . . . . j) 4x² – 5x = 0

. . . . . . . . . k) x² – 16 = 0

. . . . . . . . . l) x² – 4 = 0

. . . . . . . . . m) x² – 8 = 0

(40)

73 . . .

. . . . . . n) x² – 25 = 0

. . . . . . . . .