Pelajari tentang Tugas Komputasi Geofisika

∫

∫

Nama : Muhammad Faridz Al Hayat NPM : 2055051004

Kelas : C

Tugas Komputasi Geofisika

1. Terapkan metode midpoint, trapesium, simpson 1/3, dan simpson 3/8 pada fungsi F(x) = x⁴

2 𝑋⁴ dx

0

= ¹ (2⁵ - 0⁵)

5

= 6.4

Nilai eksak dari integral tersebut adalah 6.4

a. Metode Midpoint Anggap nilai h = 0.5

r xi xi + 1/2*h f(x)

0 0 0.25 0.003906

1 0.5 0.75 0.316406

2 1 1.25 2.441406

3 1.5 1.75 9.378906

2

Setelah itu masukan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan sebagai berikut:

I = h*(f ¹ + f ³ + f ⁵ + f ⁷ ) Sehingga:

2 2 2 2

I = 0.5(0.003906 + 0.316406 + 2.441406 + 9.378906) I = 6.07031

2 𝑋⁴ dx ≈ 6.07031

0

(Error = 5.15 %)

b. Metode Trapesium Anggap nilai h = 0.5

x f(x) = x^4 fi

0 0 f0

0.5 0.0625 f1

1 1 f2

1.5 5.0625 f3

2 16 f4

∫

∫

∫

Masukan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 2f1+ 2f2+ 2f3 + f4)

2

Sehingga:

I = ^0.5*(0+ (2*0.0625) + (2*1) + (2*5.0625) + 16)

2

I = 7.0625

2 𝑋⁴ dx ≈ 7.0625

0

(Error = 10.35 %)

c. Metode Simpson 1/3

Metode Simpson 1/3 dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 4f1+ 2f2+ 4f3 + f4)

3

Sehingga:

I = ^0.5*(0+ (4*0.0625) + (2*1) + (4*5.0625) + 16)

3

I = 6.416667

2 𝑋⁴ dx ≈ 6.416667

0

(Error = 0.26 %)

d. Metode Simpson 3/8

Metode Simpson 1/3 dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 3f1+ 3f2+ 2f3 + f4)

3

Sehingga:

I = ^(3∗0.5)*(0+ (3*0.0625) + (3*1) + (2*5.0625) + 16)

8

I = 5.496094

2 𝑋⁴ dx ≈ 5.496094

0

(Error = 14.12 %)

Dari semua perhitungan pendekatan yang dilakukan diperoleh bahwa metode simpson 1/3 adalah metode yang memiliki error atau galat terkecil, yaitu 0.26%.

2. Terapkan metode midpoint, trapesium, simpson 1/3, dan simpson 3/8 pada fungsi F(x) = ¹

𝑥+1

∫^{2 1} dx

0 𝑥+1

= ln (2 +1) - ln (0 +1 )

= ln (3)

∫

∫

= 1.0986

Sehingga diketahui nilai eksak dari integral tersebut adalah 1.0986.

a. Metode Midpoint

Asumsikan nilai h = 0.5, kemudian lakukan perhitungan dengan excel, seperti sebagai berikut:

r xi xi + 1/2*h f(x)

1 0 0.25 0.8

2 0.5 0.75 0.57143

3 1 1.25 0.44444

4 1.5 1.75 0.36364

2

Setelah itu masukan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan sebagai berikut:

I = h*(f ¹ + f ³ + f ⁵ + f ⁷ ) Sehingga:

2 2 2 2

I = 0.5*(0.8+ 0.57143+ 0.44444+ 0.36364) I = 1.08975

2 𝑋⁴ dx ≈ 1.08975

0

(Error = 0.80 %)

b. Metode Trapesium

Asumsikan nilai h = 0.5, kemudian lakukan perhitungan dengan excel, seperti sebagai berikut:

x f(x) = 1/x+1 fi

0 1 f0

0.5 0.666666667 f1

1 0.5 f2

1.5 0.4 f3

2 0.333333333 f4

Setelah itu masukan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 2f1+ 2f2+ 2f3 + f4)

2

Sehingga:

I = ^0.5*(1+ (2*0.666666667) + (2*0.5) + (2*0.4) + 0.333333333)

2

I = 1.116667

2 𝑋⁴ dx ≈ 1.116667

0

(Error = 1.64 %)

∫

∫

0

c. Metode Simpson 1/3

Metode Simpson 1/3 dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 4f1+ 2f2+ 4f3 + f4)

3

Sehingga:

I = ^0.5*(1+ (4*0.666666667) + (2*0.5) + (4*0.4) + 0.333333333)

3

I = 1.1

2 𝑋⁴ dx ≈ 1.1

0

(Error = 0.127 %)

d. Metode Simpson 3/8

Metode Simpson 1/3 dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 3f1+ 3f2+ 2f3 + f4)

3

Sehingga:

I = ^(3∗0.5)*(1+ (3*0.666666667) + (3*0.5) + (2*0.4) + 0.333333333)

8

I = 1.05625

2 𝑋⁴ dx ≈ 1.05625

0

(Error = 3.85 %)

Dari semua perhitungan pendekatan yang dilakukan diperoleh bahwa metode simpson 1/3 adalah metode yang memiliki error atau galat terkecil, yaitu 0.127 %.

3. Terapkan metode midpoint, trapesium, simpson 1/3, dan simpson 3/8 pada fungsi F(x) =

√1 + 𝑥²

∫² √1 + 𝑥² dx

= 2.95788

Sehingga diketahui nilai eksak dari integral tersebut adalah 2.95788.

a. Metode Midpoint

Asumsikan nilai h = 0.5, kemudian lakukan perhitungan dengan excel, seperti sebagai berikut:

r xi xi + 1/2*h f(x)

1 0 0.25 0.5

2 0.5 0.75 0.47214

3 1 1.25 0.41421

4 1.5 1.75 0.35679

∫

∫

∫

Setelah itu masukan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan sebagai berikut:

I = h*(f ¹ + f ³ + f ⁵ + f ⁷ ) Sehingga:

2 2 2 2

I = 0.5*(0.5+ 0.47214+ 0.41421 + 0.35679) I = 2.94856

2 𝑋⁴ dx ≈ 2.94856

0

(Error = 0.315 %)

b. Metode Trapesium

Asumsikan nilai h = 0.5, kemudian lakukan perhitungan dengan excel, seperti sebagai berikut:

x f(x) fi

0 1 f0

0.5 1.118033989 f1 1 1.414213562 f2 1.5 1.802775638 f3 2 2.236067977 f4

Setelah itu masukan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 2f1+ 2f2+ 2f3 + f4)

2

Sehingga:

I = ^0.5*(1+ (2*1.118033989) + (2*1.414213562) + (2*1.802775638) + 2.236067977)

2

I = 2.976529

2 𝑋⁴ dx ≈ 12.976529

0

(Error = 0.63 %)

c. Metode Simpson 1/3

Metode Simpson 1/3 dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 4f1+ 2f2+ 4f3 + f4)

3

Sehingga:

I = ^0.5*(1+ (4*1.118033989) + (2*1.414213562) + (4*1.802775638) + 2.236067977)

3

I = 2.957956

2 𝑋⁴ dx ≈ 2.957956

0

(Error = 0.002556 %)

2

∫

2

∫

d. Metode Simpson 3/8

Metode Simpson 1/3 dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 3f1+ 3f2+ 2f3 + f4)

3

Sehingga:

I = ^(3∗0.5)*(1+ (3*1.118033989) + (3*1.414213562) + (2*1.802775638) + 2.236067977)

8

I = 2.707193

2 𝑋⁴ dx ≈ 2.707193

0

(Error = 8.47 %)

Dari semua perhitungan pendekatan yang dilakukan diperoleh bahwa metode simpson 1/3 adalah metode yang memiliki error atau galat terkecil, yaitu 0.002556 %.

4. Terapkan metode midpoint, trapesium, simpson 1/3, dan simpson 3/8 pada fungsi F(x) = x⁴

∫₀ 𝑆𝑖𝑛 𝑥 dx

= - cos (2) – (- cos (0))

= 0.41614683 + 1

= 1. 41614683

Sehingga diketahui nilai eksak dari integral tersebut adalah 1. 41614683.

a. Metode Midpoint

Asumsikan nilai h = 0.5, kemudian lakukan perhitungan dengan excel, seperti sebagai berikut:

r xi xi + 1/2*h f(x)

1 0 0.25 0.2474

2 0.5 0.75 0.68164

3 1 1.25 0.94898

4 1.5 1.75 0.98399

2

Setelah itu masukan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan sebagai berikut:

I = h*(f ¹ + f ³ + f ⁵ + f ⁷ ) Sehingga:

2 2 2 2

I = 0.5*(0.2474+ 0.68164+ 0.94898 + 0.98399) I = 1.43101

2 𝑋⁴ dx ≈ 1.43101

0

(Error = 1.05 %)

∫

∫

∫

b. Metode Trapesium

Asumsikan nilai h = 0.5, kemudian lakukan perhitungan dengan excel, seperti sebagai berikut:

x f(x) fi

0 0 f0

0.5 0.479425539 f1 1 0.841470985 f2 1.5 0.997494987 f3 2 0.909297427 f4

Setelah itu masukan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 2f1+ 2f2+ 2f3 + f4)

2

Sehingga:

I = ^0.5*(0+ (2*0.479425539) + (2*0.841470985) + (2*0.997494987) + 0.909297427)

2

I = 1.38652

2 𝑋⁴ dx ≈ 1.38652

0

(Error = 2.09 %)

c. Metode Simpson 1/3

Metode Simpson 1/3 dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 4f1+ 2f2+ 4f3 + f4)

3

Sehingga:

I = ^0.5*(0+ (4*0.479425539) + (2*0.841470985) + (4*0.997494987) + 0.909297427)

3

I = 1.416654

2 𝑋⁴ dx ≈ 1.416654

0

(Error = 0.036 %)

d. Metode Simpson 3/8

Metode Simpson 1/3 dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 3f1+ 3f2+ 2f3 + f4)

3

Sehingga:

I = ^(3∗0.5)*(0+ (3*0.0625) + (3*1) + (2*5.0625) + 16)

8

I = 1.287558

2 𝑋⁴ dx ≈ 1.287558

0

∫

∫

(Error = 9.08 %)

Dari semua perhitungan pendekatan yang dilakukan diperoleh bahwa metode simpson 1/3 adalah metode yang memiliki error atau galat terkecil, yaitu 0.036%.

5. Terapkan metode midpoint, trapesium, simpson 1/3, dan simpson 3/8 pada fungsi F(x) = x⁴

2 𝑒^𝑥 dx

0

= (𝑒² - 𝑒⁰)

= 6.389

Sehingga diketahui nilai eksak dari integral tersebut adalah 6.389

a. Metode Midpoint

Asumsikan nilai h = 0.5, kemudian lakukan perhitungan dengan excel, seperti sebagai berikut:

r xi xi + 1/2*h f(x)

1 0 0.25 1.28403

2 0.5 0.75 2.117

3 1 1.25 3.49034

4 1.5 1.75 5.7546

2

Setelah itu masukan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan sebagai berikut:

I = h*(f ¹ + f ³ + f ⁵ + f ⁷ ) Sehingga:

2 2 2 2

I = 0.5*(1.28403 + 2.117 + 3.49034 + 5.7546) I = 6.32299

2 𝑋⁴ dx ≈ 6.32299

0

(Error = 1.033 %)

b. Metode Trapesium

Asumsikan nilai h = 0.5, kemudian lakukan perhitungan dengan excel, seperti sebagai berikut:

X f(x) fi

0 1 f0

0.5 1.648721271 f1 1 2.718281828 f2 1.5 4.48168907 f3 2 7.389056099 f4

∫

∫

∫

Setelah itu masukan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 2f1+ 2f2+ 2f3 + f4)

2

Sehingga:

I = ^0.5*(1+ (2*1.648721271) + (2*2.718281828) + (2*4.48168907) + 7.389056099)

2

I = 6.52161

2 𝑋⁴ dx ≈ 6.52161

0

(Error = 2.0756 %)

c. Metode Simpson 1/3

Metode Simpson 1/3 dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 4f1+ 2f2+ 4f3 + f4)

3

Sehingga:

I = ^0.5*(1+ (4*1.648721271) + (2*2.718281828) + (4*4.48168907) + 7.389056099)

3

I = 6.39121

2 𝑋⁴ dx ≈ 6.39121

0

(Error = 0.0345 %)

d. Metode Simpson 3/8

Metode Simpson 1/3 dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

I = ^ℎ*(f0 + 3f1+ 3f2+ 2f3 + f4)

3

Sehingga:

I = ^(3∗0.5)*(0+ (3*1.648721271) + (3*2.718281828) + (2*4.48168907) + 7.389056099)

8

I = 5.71002

2 𝑋⁴ dx ≈ 5.496094

0

Error = 10.63 %

Dari semua perhitungan pendekatan yang dilakukan diperoleh bahwa metode simpson 1/3 adalah metode yang memiliki error atau galat terkecil, yaitu 0.0345%.