Pengenalan Sistem Kendali

Dasar Sistem Kendali #2

Menu

1. Model Matematis Sistem Kendali

2. Penggambaran Sistem Kendali 3. Analisa Sistem Kendali

4. Analisa Kestabilan

Sistem Kendali

3

• Sistem Kendali adalah Sistem yang mengatur perilaku atau keluaran dari perangkat atau proses tertentu agar sesuai dengan yang diinginkan

• Fungsi:

1. Mengatur kinerja sistem 2. Stabilisasi

3. Otomatisasi 4. Efisiensi

Sistem Kendali

4

• Komponen Utama:

1. Pengendali (controller) 2. Sensor

3. Aktuator

4. Proses (Plant)

• Jenis Sistem Kendali:

1. Sistem Kendali Terbuka (Open Feedback)

2. Sistem Kendali Tertutup (Closed-Loop Feedback)

Pengendali (controller)

Sensor

Proses (plant)

masukan keluaran

Sistem Kendali

5

controller actuator plant

controller actuator plant

+

− input

input

control signal

control signal

actuating signal actuating

signal

plant output

plant output

Open Loop System

error signal

Istilah dalam Sistem Kendali

• Plant ; Peralatan / obyek fisik yang dikendalikan

• Proses ; Operasi yang dikendalikan

• Sistem ; Gabungan komponen yang bekerjasama untuk mencapai satu tujuan

• Gangguan ; Sinyal (internal/eksternal) yang merugikan system

• Error ; selisih antara input dan output yang terjadi saat itu

• Sinyal kontrol ; Sinyal dari kontroler

Model Matematika Sistem Kendali

• Why ?

1. Desain sistem kendali butuh rumus model matematika dari sistem 2. Agar dapat mendesain dan menganalisa sistem

• Contoh:

1. Hubungan antara input dan output

2. Bagaimana memprediksi perilaku dinamik dari suatu sistem kendali

model matematika

input output

Definisi Transformasi Laplace

• What ?

Mengubah fungsi dari sistem fisis (domain waktu/time) ke fungsi variable kompleks (domain 𝑠)

𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = ∫_#^$𝑓(𝑡)𝑒^%&'𝑑𝑡

dengan:

𝑓 𝑡 = fungsi waktu 𝑡, dengan 𝑓 𝑡 = 0 untuk 𝑡 < 0 𝑠 = variable kompleks

Transformasi Laplace

9

Time Domain Circuit

Time Domain Circuit

𝐿 𝐿^!"

𝑥(𝑡) y(𝑡)

𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠)

𝐻(𝑠) ℎ(𝑡)

𝑌 𝑠 = 𝑋 𝑠 3 𝐻(𝑠) 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 3 ℎ(𝑡)

Laplace Transform

Inverse Laplace Transform

Transformasi Laplace

Unit Step Signal:

𝐿 𝑢 𝑡 = /

#

$

1𝑒^%&'𝑑𝑡,

𝐿 𝑢 𝑡 = − 1

𝑠 𝑒^%&' 4∞ 0 𝐿 𝑢 𝑡 = − 1

𝑠 𝑒^%&.$ − − 1

𝑠 𝑒^%&.#

𝐿 𝑢 𝑡 = 0 − −1

𝑠 = 1 𝑠

𝑢 𝑡 = 60, 𝑡 < 0 1, 𝑡 ≥ 0

Transformasi Laplace

Unit Ramp Signal:

𝐿 𝑓 𝑡 = /

#

$

𝐴. 𝑡. 𝑒^%&'𝑑𝑡

𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐴 /

#

$

𝑡. 𝑒^%&'𝑑𝑡 𝐿 𝑓 𝑡 = −𝐴. 𝑡.𝑒^%&'

−𝑠 4∞

0 − /

#

$𝐴. 𝑒^%&'

−𝑠 𝑑𝑡 𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐴

/

$

𝑒^%&'𝑑𝑡 = 𝐴

𝑓 𝑡 = 6 0, 𝑡 < 0 𝐴𝑡, 𝑡 ≥ 0

Transformasi Laplace

𝑓 𝑡 = 𝑒^%7' 𝐹 𝑡 = 60, 𝑡 < 0 1, 𝑡 ≥ 0 𝐿 𝑓 𝑡 = /

#

$

𝑒^%7'𝑒^%&'𝑑𝑡,

𝐿 𝑓 𝑡 = − 1

𝑠 + 𝑎 𝑒%(&87)' 4∞ 0 𝐿 𝑓 𝑡 = − 1

𝑠 + 𝑎 𝑒^%$ − − 1

𝑠 + 𝑎 𝑒^%#

𝐿 𝑓 𝑡 = 0 − − 1

𝑠 + 𝑎 = 1 𝑠 + 𝑎

Transformasi Laplace

13

Contoh Transformasi Laplace (1)

14

Tentukan Transformasi Laplace dari:

𝑓 𝑡 = 2 Solusi:

𝐿 𝑓 𝑡 = /

#

$

𝑒^%&'𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝐿 2 = /

#

$

𝑒^%&'2𝑑𝑡 = 2 /

#

$

𝑒^%&'𝑑𝑡 = 2 𝑒^%&'

−𝑠 =∞

0 = 2 0 − −1

𝑠 = 2 𝑠

Contoh Transformasi Laplace (2)

15

Tentukan Transformasi Laplace dari:

𝑓 𝑡 = 𝑒^%9' Solusi:

𝐿 𝑓 𝑡 = /

#

$

𝑒^%&'𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝐿 𝑒^%9' = /

#

$

𝑒^%&'𝑒^%9'𝑑𝑡 = /

#

$

𝑒%(&89)'𝑑𝑡 = 𝑒%(&89)'

−(𝑠 + 3) =∞

0 = (0 + 1

(𝑠 + 3)) = 1 (𝑠 + 3)

Definisi Transformasi Laplace Invers

• What ?

Mengubah kembali dari fungsi sistem variabel kompleks (domain 𝑠) ke fungsi system fisis (domain waktu/time)

𝐿^%: 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡 = ^:

6;< ∫_=%<>^=8<> 𝐹 𝑠 𝑒^&'𝑑𝑠 (𝑡 > 0) 1. Metoda Tabel. 𝐿^%: 𝐹 𝑠 = ^:

&%7 ⟺ 𝑓 𝑡 = 𝑒^7' 2. Ekspansi Fraksi. 𝐹 𝑠 = ^?(&)

@(&) = ^7!

&8A_! + ^7"

&8A_" + ⋯ + ^7#

&8A_#

𝑓 𝑡 = 𝑎 𝑒^%A!' + 𝑎 𝑒^%A!' + ⋯ + 𝑎 𝑒^%A#' = ∑^B 𝑎 𝑒^%A$'

Transformasi Laplace Invers

Contoh Transformasi Laplace Invers (1)

Tentukan Transformasi Laplace Invers dari:

𝐹 𝑠 = 𝑠 + 4

(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)

Ekspansi pecahan parsial dari 𝐹 𝑠 adalah:

𝐹 𝑠 = 𝑠 + 4

(𝑠 + 1)(𝑠 + 3) = 𝑎_:

(𝑠 + 1) + 𝑎₆ (𝑠 + 3) dengan nilai 𝑎_: dan 𝑎₆ sebagai berikut:

Contoh Transformasi Laplace Invers (1)

Nilai 𝑎_: adalah:

𝑎_: = (𝑠 + 1) 𝑠 + 4

(𝑠 + 1)(𝑠 + 3) _&D%: = 𝑠 + 4

(𝑠 + 3) _&D%: = 3 2 Sementara nilai 𝑎₆ adalah:

𝑎₆ = (𝑠 + 3) 𝑠 + 4

(𝑠 + 1)(𝑠 + 3) _&D%: = 𝑠 + 4

(𝑠 + 1) _&D%: = −1 2 Sehingga didapatkan:

3 1

Contoh Transformasi Laplace Invers (2)

Contoh Transformasi Laplace Invers (3)

Coffee-break

Latihan Soal

Tentukan Transformasi Laplace dari:

1. 𝑓 𝑡 = 𝑒 2. ^{𝑓 𝑡 = 𝑒6'} 3. 𝑓 𝑡 = −5𝑒^6' 4. 𝑓 𝑡 = 2𝑒^%6𝑒^%9'

Latihan Soal (Solusi)

Tentukan Transformasi Laplace dari:

1. 𝑓 𝑡 = 𝑒

𝐿 𝑓 𝑡 = /

#

$

𝑒^%&'𝑒^:𝑑𝑡 = /

#

$

𝑒^%&'8:𝑑𝑡 = 𝑒^%&'8:

−𝑠 4∞

0 = (0 + 𝑒

𝑠) = 𝑒 𝑠 2. 𝑓 𝑡 = 𝑒^6'

𝐿 𝑓 𝑡 = /

#

$

𝑒^%&'𝑒^6'𝑑𝑡 = /

#

$

𝑒% &%6 '𝑑𝑡 = 𝑒% &%6 '

−(𝑠 − 2) =∞

0 = (0 + 1

(𝑠 − 2)) = 1 (𝑠 − 2)

Latihan Soal (Solusi)

Tentukan Transformasi Laplace dari:

3. 𝑓 𝑡 = −5𝑒^6'

𝐿 𝑓 𝑡 = −5 /

#

$

𝑒% &%: '𝑑𝑡 = −5×( 𝑒% &%: '

−(𝑠 − 1) =∞

0) = −5× 0 + 1

𝑠 − 1 = − 5 (𝑠 − 1) 4. 𝑓 𝑡 = 2𝑒^%6𝑒^%9'

𝐿 𝑓 𝑡 = 2 /

$

𝑒% &89 '%6𝑑𝑡 = 2×(𝑒% &89 '%6

−(𝑠 + 3) =∞

0) = 2×(0 + 𝑒^%6

(𝑠 + 3)) = 2𝑒^%6 (𝑠 + 3)

Abstraksi Sistem Kendali

Persamaan

Dinamis Transfer

Function Analisis

Kestabilan Design

Kontroller Analisis Kestabilan Plant+Controller

Plant :

1. Sistem Elektrik

2. Sistem Mekanik

3. Sistem Fluida

G(s) = Laplace dari output/input

PID

Root Locus

Robust Adaptive Kontrol (Adaptive Gain)

• Transient and Steady state response

• Poles zeros

• Routh Stability

Model Matematika Sistem Kendali

• Model matematika adalah deskripsi matematika dari sistem yang dinyatakan dalam bentuk hubungan matematika dari Input dan Output sistem

• Contoh: Model mekanika, rangkaian elektronika, motor, dan generator

• Model sederhana: 𝑣 𝑡 = 𝑖 𝑡 L 𝑅

model matematika

input output

𝐺 𝑠 = 𝑌 𝑠 𝑈(𝑠)

Transfer Function

Transfer Function (Fungsi Alih)

• Persamaan diferensial suatu sistem yang menghubungkan output dengan input

𝑎_B𝑦^B + 𝑎_B%:𝑦^B%: + ⋯ + 𝑎_:𝑦^: + 𝑎_#𝑦^# = 𝑏_G𝑢^G + 𝑏_G%:𝑢^G%: + ⋯ + 𝑏_:𝑢^: + 𝑏_#𝑢^# 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 𝑦 𝑡 𝑖𝑛𝑝𝑢𝑡 𝑢(𝑡)

• Tranformasi Laplace terhadap output dan input persamaan di atas dengan kondisi awal nol (0)

𝐺 𝑠 = 𝐿[𝑦(𝑡)]

𝐿[𝑢(𝑡)] = 𝑏_G𝑢^G + 𝑏_G%:𝑢^G%: + ⋯ + 𝑏_:𝑢^: + 𝑏_#𝑢^# 𝑎_B𝑦^B + 𝑎_B%:𝑦^B%: + ⋯ + 𝑎_:𝑦^: + 𝑎_#𝑦^#

Model Matematika Komponen Pasif Elektronika

Model dinamik:

Transformasi Laplace:

Selanjutnya

1. Model Matematis Sistem Kendali

2. Penggambaran Sistem Kendali 3. Analisa Sistem Kendali

4. Analisa Kestabilan