Pengiraan Gaya Dalam Menggunakan Kaedah Pengagihan Momen dan Kaedah Cerun-Pesongan

(1)

MEKANIKA TEKNIK

Disusun untuk memenuhi tugas mekanika teknik

Dosen Pengampu :

Ririt Aprilin Sumarsono, ST., M.Sc.Eng Disusun Oleh :

Fazrin (1503623015)

Pendidikan Teknik Bangunan Fakultas Teknik

Universitas Negeri Jakarta

2024

(2)

Pertanyaan :

1. Please calculate the internal forces using Moment Distribution and Slope – Deflection methods

2. Please draw BMD ,SFD

Diketahui :

4 digit nim terakhir a: 3

b: 0 = 10 c: 1 d: 5

Parameter Beban P1: 5 x 1 = 5 kN P2: 2 x 5 = 10 kN q1: 3 x 3 = 9 kN/m q2: 10 = 10 kN/m MP: 8 x 5 = 40 kN.m MR: 10 x 1 = 10 kN.m

Jarak

O ke P = 1 m P ke Q = 10 m Q ke R = 9 m R ke S = 10 m S ke T = 3 m

(3)

Metode Slope Deflection Penyelesaian :

Fix End Moment

• Batang PQ MPQ = ^9.10²

12 = 75 kN.m MQP = ^9.10²

12 = -75 kN.m

• Batang QR MQR = ^5.(5+1)²^.3

9² 0 + ^10.1²^.(5+3)

9² = 7,654 kN.m MRQ =^5.3²^.(5+1)

9² + ^10.(5+3)²^.1

9² = -11,234 kN.m

• Batang ST MST = ^10.3²

3 = 30 kN.m Persamaan Sudut

EI = 1200 kN.m²

• Batang OP MOP = ^2.(1.1200)

1 . (θP – 3. ^0,002

1 ) = 2400 θP - 14,4 MPO = ^2.(1.1200)

1 . (2θP – 3. ^0,002

1 ) = 4800 θP - 14,4

• Batang PQ MPQ = 2.(2,5.1200)

10 . (2θP + θQ + 3. ^0,002

10 ) + 75 = 1200 θP + 600 θQ + 0,36 + 75 MQP = 2.(2,5.1200)

10 . (2θQ + θP + 3. ^0,002

10 ) - 75 = 1200 θQ + 600 θP + 0,36 - 75

• Batang QR MQR = 2.(1,8.1200)

9 . (2θQ + θR - 3. ^0,005

9 ) + 7,654 = 960 θQ + 480 θR - 0,8 + 7,654 MRQ = 2.(1,8.1200)

9 . (2θR + θQ - 3. ^0,005

9 ) – 11,234 = 960 θR + 480 θQ - 0,8 – 11,234

• Batang RS MRS = 2.(1,2.1200)

10 . (2θR + θS + 3. ^0,005

10 ) = 576 θR + 288 θS + 0,432 MSR = 2.(1,2.1200)

10 . (2θS + θR + 3. ^0,005

10 ) = 576 θS + 288 θR + 0,432

• Batang ST MST = 2.(1,2.1200)

3 . (2θS + θT) + 30 = 1920 θS + 960 θT + 30 MTS2.(1,2.1200)

3 . (2θT + θS) = 1920 θT + 960 θS

(4)

Persamaan Momen

• ∑MP = 0

MPO + MPQ - MP= 0

4800 θP – 14,4 + 1200 θP + 600 θQ + 0,36 + 75 - 40 = 0

6000 θP + 600 θQ = -20,96 …(1)

• ∑MQ = 0

MQP + MQR = 0

1200 θQ + 600 θP + 0,36 – 75 + 960 θQ + 480 θR – 0,8+ 7,654 = 0

2160 θQ + 600 θP + 480 θR = 67,785 …(2)

• ∑MR = 0

MRQ + MRS = 0

960 θR + 480 θQ – 0,8 – 11,234 + 576 θR + 288 θS + 0,432 + 10= 0

1536 θR + 480 θQ + 288 θS = 1,602 …(3)

• ∑MS = 0 MSR + MST = 0

576 θS + 288 θR + 0,432+ 1920 θS + 960 θT +30 = 0

2496 θS + 288 θR + 960 θT = -30,432 …(4)

• ∑MT = 0 MTS = 0

1920 θT + 960 θS = 0

1920 θT + 960 θS = 0 …(5)

(5)

Subsitusikan persamaan momen untuk mendapatkan sudut, dengan bantuan program excel hasil subsitusi yang di dapat ialah :

Step 1 : input persamaan momen menjadi matriks dengan ordo 5 x 5

Step 2 : Inverskan matriks 5 x 5

Step 3 : input hasil dari persamaan momen

Step 4 : lalu kalikan hasil dari persamaan momen dengan matriks invers dan didapatkan hasil berikut

(6)

θP = -0,0069 θQ = 0,0349 θR = -0,00723 θS = -0.0140 θT = 0,00703

Masukan sudut yang sudah di dapat ke persamaan sudut lalu kalikan 1. MOP = 2400 x (-0,0069) – 14,4 = -31,167

2. MPO = 4800 x (-0,0069) – 14,4 = -47,934

3. MPQ = 1200 x (-0,0069) + 600 x (0,0349) + 0,36 + 75 = 87,934 4. MQP = 1200 x (0,0349) + 600 x (-0,0069) + 0,36 – 75 = -36,914 5. MQR = 960 x (0,0349) + 480 x (-0,00723) – 0,8 + 7,654 = 36,914 6. MRQ = 960 x (-0,00724) + 480 x (0,0349) – 0,8 – 11,234 = -2,214 7. MRS = 576 x (-0,00724) + 288 x (-0,0140) + 0,432 = -7,785 8. MSR = 576 x (-0,0146) + 288 x (-0,00723) + 0,432 = -9,751 9. MST = 1920 x (-0,0140) + 960 x (0,007) + 30 = 9,751 10. MTS = 1920 x (0,007) + 960 x (-0,014) = 0

Cek Kontrol

• Titik P

MPO + MPQ – MP = 0

-47,934 + 87,934 – 40 = 0 (OK)

• Titik Q

MQP + MQP = 0

-36,9147 +36,9147 = 0 (OK)

• Titik R

MRQ + MRS+ MR = 0

-2,21 - 7,785 + 10 = 0 (OK)

• Titik S

MSR + MST = 0

-9,751 + 9,751 = 0 (OK)

(7)

Metode Moment Distribution

b: 0 = 10 c: 1 d: 5

Parameter Beban P1: 5 x 1 = 5 kN P2: 2 x 5 = 10 kN q1: 3 x 3 = 9 kN/m q2: 10 = 10 kN/m M: 8 x 5 = 40 kN.m MR 10 x 1 = 10 kN.m

Jarak l

O KE P = 1 m P KE Q = 10 m Q KE R = 9 m R KE S = 10 m S KE T = 3 m Diketahui :

Penyelesaian : Angka Kekakuan KOP = KPO = 4 𝑥 1𝑥 1200

1 = 4800 KPQ = KQP = 4 𝑥 2,5 𝑥 1200

10 = 1200 KQR = KRQ = 4 𝑥 1,8 𝑥 1200

9 = 960 KRS = KSR = 4 𝑥 1,2 𝑥 1200

10 = 576 KST = KTS = 4 𝑥 1,2 𝑥 1200

3 = 1920

(8)

Faktor Distribusi Titik P

μPO = ⁴⁸⁰⁰

4800+1200 = 0,8 μPQ = ¹²⁰⁰

4800+1200 = 0,2 Titik Q

μQP = ¹²⁰⁰

1200+ 960 = 0,556 μQR = ⁹⁶⁰

1200+ 960 = 0,444 Titik R

μRQ = ⁹⁶⁰

960 + 576 = 0,625 μRS = ⁵⁷⁶

960 + 576 = 0,375 Titik S

μSR = ⁵⁷⁶

576+1920 = 0,231 μGC = ¹⁹²⁰

576+1920 = 0,769

Fix End Moments

• Batang PQ MPQ = ^9.10²

12 = 75 kN.m MQP = ^9.10²

12 = -75 kN.m

• Batang QR MQR = ^5.(5+1)²^.3

9² 0 + ^10.1²^.(5+3)

9² = 7,654 kN.m MRQ =^5.3²^.(5+1)

9² + ^10.(5+3)²^.1

9² = -11,234 kN.m

• Batang ST MST = ^10.3²

3 = 30 kN.m

(9)

Tabel Moment Distribution

(10)

Diagram Gaya Dalam (Menggunakan Aplikasi SAP 2000 & SW FEA 2D Frame) BMD

SFD

(11)

SFD

BATANG OP

BATANG PQ

(12)

BATANG QR SFD

BATANG RS

BATANG ST

(13)

Pertanyaan :

1. Please calculate the internal forces using Moment Distribution and Slope – Deflection methods

2. Please draw BMD ,SFD

Diketahui :

b: 0 = 10 c: 1 d: 5

Parameter Beban P1: 2 x 5 = 10 kN P2: 3 x 10 = 30 kN q1: 2 x 3 = 6 kN/m q2: 5 x 1 = 5 kN/m Mc: 7 x 5 = 35 kN.m MF: 6 x 1 = 6 kN.m

Jarak Vertikal A ke D = 4,5 m D ke F = 3,2 m B ke C = 4,5 m C ke G = 3,2 m

Jarak Horizontal E ke D = 10 m D ke C = 1 m F ke G = 1 m G ke H = 5 m

(14)

Metode Slope Deflection Penyelesaian :

Fix End Moment

• Batang ED MED = ^10.10

8 = 12,5 kN.m MED = ^10.10

8 = -12,5 kN.m

• Batang DC MDC = ^5.6.1²

192 = 0,156 kN.m MCD = ^11.6.1²

192 = -0,343 kN.m

• Batang FG MFG = ^30.1

8 = 3,75 kN.m MGF = ^30.1

8 = -3,75 kN.m

• Batang GH MGH = ^5.25

12 = 10,416 kN.m MHG = ^5.25

12 = -10,416 kN.m Persamaan Sudut

EI = 1200 kN.m²

• Batang AD MAD = 2.(3,2.1200)

4,5 . (θD) = 1700,667 θD …(1)

MDA = 2.(3,2.1200)

4,5 . (2θD) = 3413,333 θD …(2)

• Batang BC MBC = 2.(3,2.1200)

4,5 . (θC) = 1700,667 θC …(3)

MCB = 2.(3,2.1200)

4,5 . (2θC) = 3413,333 θC …(4)

• Batang DF MDF = 2.(2,.1200)

3,2 . (2θD + θF) = 3600 θD + 1800 θF …(5) MFD = 2.(2,.1200)

3,2 . (2θF + θD) = 3600 θF + 1800 θD …(6)

• Batang CG MCG = 2.(2,6.1200)

3,2 . (2θC + θG) = 3900 θC + 1950 θG …(7) MGC = 2.(2,6.1200)

3,2 . (2θG + θC) = 3900 θG + 1950 θC …(8)

• Batang ED MED = 2.(1,5.1200)

10 . (2θE + θD) + 5 = 720 θE + 360 θD + 12,5 ...(9) MDE = 2.(1,5.1200)

10 . (2θD + θE) – 5 = 720 θD + 360 θE - 12,5 ...(10)

(15)

• Batang DC MDC = 2.(1,8.1200)

1 . (2θD + θC) + 0,156 = 8640 θD + 4320 θC + 0,156 …(11) MCD = 2.(1,8.1200)

1 . (2θC + θD) - 0,343 = 8640 θC + 4320 θD - 0,343 …(12)

• Batang FG MFG = 2.(1,6.1200)

1 . (2θF + θG) + 3,75 = 7680 θF + 3840 θG + 3,75 …(13) MGF = 2.(1,6.1200)

1 . (2θG + θF) - 3,75 = 7680 θG + 3840 θF - 3,75 …(14)

• Batang GH MGH = 2.(1,5.1200)

5 . (2θG + θH) + 10,416 = 1440 θG + 720 θH + 10,416 …(15) MHG = 2.(1,5.1200)

5 . (2θH + θG) - 10,416 = 1440 θH + 720 θG - 10,416 …(16) Persamaan Momen

• ∑MC = 0

MCB + MCD + MCG = 0

3413,333 θC + 8640 θC + 4320 θD – 0,343 + 3900 θC + 1950 θG -35 = 0

15953,333 θC + 4320 θD + 1950 θG = 35 …(1)

• ∑MD = 0

MDA + MDE + MDF + MDC = 0

3413,333 θD + 720 θD + 360 θE – 5 + 3600 θD + 1800 θF + 8640 θD + 4320 θC + 0,156 = 0 16373,333 θD + 4320 θC + 360 θE + 1800 θF = 4,843 …(2)

• ∑ME = 0 MED = 0

720 θE + 360 θD + 12,5 = 0

720 θE + 360 θD = -12,5 …(3)

• ∑MF = 0

MFD + MFG = 0

3600 θF + 1800 θD + 7680 θF + 3840 θG + 3,75 + 6 = 0

11280 θF + 1800 θD + 3840 θG = -9,75 …(4)

• ∑MG = 0

MGC + MGF + MGH = 0

3900 θG + 1950 θC + 7680 θG + 3840 θF - 3,75 + 1440 θG + 720 θH + 10,416 = 0 13020 θG + 1950 θC + 3840 θF + 720 θH = -6,666 …(5)

• ∑MH = 0 MHG = 0

1440 θH + 720 θG – 10,416 = 0

1440 θH + 720 θG = 10,416 …(6)

(16)

Subsitusikan persamaan momen untuk mendapatkan sudut, dengan bantuan program excel hasil subsitusi yang di dapat ialah :

Step 1 : input persamaan momen menjadi matriks dengan ordo 6 x 6

Step 2 : Inverskan matriks 6 x 6

Step 3 : input hasil dari persamaan momen

Step 4 : lalu kalikan hasil dari persamaan momen dengan matriks invers dan didapatkan hasil berikut

(17)

θC = 0,00239 θD = -0,000136 θE = -0,00687 θF = -0.000443 θG = -0,00117 θH = 0,00782

Masukan sudut yang sudah di dapat ke persamaan sudut lalu kalikan 1. MAD = 1700,667 x (-0,000136) = -0,232

2. MDA = 3413,333 x (-0,000136) = -0,465 3. MBC = 1706,667 x (0,00239) = 4,088 4. MCB = 3413,333 x (0,002396) = 8,177

5. MDF = 3600 x (-0,000136) + 1800 x (-0,00044) = -1,288 6. MFD = 3600 x (-0,000443) + 1800 x (-0,00014) = -1,841 7. MCG = 3900 x (0,00239) + 1950 x (-0,00117) = 7,056 8. MGC = 3900 x (-0,00117) + 1950 x (0,00239) = 0,0988 9. MED = 720 x (-0,00687) + 360 x (-0,00014) + 5 = 0 10. MDE = 720 x (-0,000136) + 360 x (-0,00688) – 5 = -7,573 11. MDC = 8640 x (-0,000136) + 4320 x (0,00239) + 0,156 = 9,327 12. MCD = 8640 x (0,00239) + 4320 x (-0,00014) - 0,343 = 19,766 13. MFG = 7680 x (-0,00443) + 3840 x (-0.00117) + 3,75 = -4,158 14. MGF = 7680 x (-0,00117) + 3840 x (-0,00044) + (-3,75) =-14,457 15. MGH = 1440 x (-0,00117) + 720 x (0,00782) + 10,416 = 14,358 16. MHG = 1440 x (0,00782) + 720 x (-0,00117) – 10,416 = 0 Cek Kontrol

• Titik A MAD = -0,232

• Titik B MBC = 4,088

• Titik C

MCB + MCG + MCG + MC = 0

8,177 + 7,056 + 19,765 – 35 = 0 (OK)

• Titik D

MDA + MDF + MDC + MDE = 0

-0,465 – 1,288 + 9,327 – 7,573 = 0 (OK)

• Titik E MED = 0

(18)

Metode Moment Distribution

• Titik F

MFG + MFD + MF = 0

-4,158 – 1,841 + 6 = 0 (OK)

• Titik G

MGF + MGH + MGC = 0

-14,457 + 14,358 + 0,0988 = 0

• Titik H MHG = 0

b: 0 = 10 c: 1 d: 5

Parameter Beban P1: 2 x 5 = 10 kN P2: 3 x 10 = 30 kN q1: 2 x 3 = 6 kN/m q2: 5 x 1 = 5 kN/m Mc: 7 x 5 = 35 kN.m MF: 6 x 1 = 6 kN.m

Jarak Vertikal A ke D = 4,5 m D ke F = 3,2 m B ke C = 4,5 m C ke G = 3,2 m

Jarak Horizontal E ke D = 10 m D ke C = 1 m F ke G = 1 m G ke H = 5 m Diketahui :

Penyelesaian : Angka Kekakuan KAD = KDA = 4 𝑥 3,2 𝑥 1200

4,5 = 3413,333 KBC = KCB = 4 𝑥 3,2 𝑥 1200

4,5 = 3413,333 KDF = KFD = 4 𝑥 2,4 𝑥 1200

3,2 = 3600 KCG = KGC = 4 𝑥 2,6 𝑥 1200

3,2 = 3900 KDE = KED = 4 𝑥 1,5 𝑥 1200

10 = 720 KDC = KCD = 4 𝑥 1,8 𝑥 1200

1 = 8640 KFG = KGF = 4 𝑥 1,6 𝑥 1200

1 = 7680 KGH = KHG = 4 𝑥 1,5 𝑥 1200

5 = 1440

(19)

Faktor Distribusi Titik C

μCB = ^3413,333

3413,333+8640+3900 = 0,214 μCD = ⁸⁶⁴⁰

3413,333+8640+3900 = 0,542 μCG = ³⁹⁰⁰

3413,333+8640+3900 = 0,244 Titik D

μDA = ^3413,333

3413,333+720+8640+3600 = 0,21 μDC = ⁸⁶⁴⁰

3413,333+720+8640+3600 = 0,528 μDE = ⁷²⁰

3413,333+720+8640+3600 = 0,042 μDF = ³⁶⁰⁰

3413,333+720+8640+3600 = 0,22 Titik F

μFD = ³⁶⁰⁰

3600+7680 = 0,319 μFG = ⁷⁶⁸⁰

3600+7680 = 0,681 Titik G

μGC = ³⁹⁰⁰

3900+7680+1440 = 0,3 μGC = ⁷⁶⁸⁰

3900+7680+1440 = 0,59 μGC = ¹⁴⁴⁰

3900+7680+1440 = 0,110 Fix End Moments

Batang DC MDC = ^{5 𝑥 6 𝑥 1}

192 = 0,156 kN.m MCD = ^{11 𝑥 6𝑥 1}

192 = -0,343kN.m Batang ED

MED = ^{10 𝑥 10}

8 = 12,5 kN.m MDE = ^{10 𝑥 10}

8 = -12,5 kN.m

(20)

Tabel Moment Distribution Batang FG

MFG = ^{30 𝑥 1}

8 = 3,75 kN.m MGF = ^{30 𝑥 1}

8 = -3,75 kN.m Batang GH

MGH = ^{5 𝑥 25}

12 = 10,417 kN.m MHG = ^{5 𝑥 25}

12 = -10,417 kN.m

(21)

Diagram Gaya Dalam (Menggunakan Aplikasi SAP 2000 & SW FEA 2D Frame) BMD

(22)

SFD

Batang AD FBD

Batang BC Batang FG

(23)

Batang DF Batang CG

Batang GH Batang ED

Batang DC