ABSTRACT
ANALYSIS OF INTERNAL FORCES OF SPACE TRUSS WITH FINITE ELEMENT METHOD
By:
Oktaviany Widyawaty
The finite element method is a method of modeling of an object to divide into smaller parts as a whole still has the same properties as the whole thing before it was divided into smaller sections (discretization). The finite element method can be used to analyse various types of structures, such as plane truss, space truss, plane frame, space frame, beam, and grid.
The main difference space truss and space truss are the number of degrees of freedom at each node. Each bar in order to space has six degrees of freedom. A space truss structure formed by the combination of elements order in XYZ space. Variations of incorporation requires the transformation of the characteristic elements of the local coordinate system to the global coordinate system.
In this study, analysis of space truss using the finite element method will be assisted with the software Matlab. Where the result of Matlab will be compared with result from the SAP2000. The results of this analysis by using Matlab and SAP2000 are getting -0,073 cm for joint displacement on Z direction and 62,5 Kgf for joint reaction. The result of axial forces by Matlab is -1253,121 Kgf, but by using SAP200, the result is -1253,120 Kgf.
ABSTRAK
ANALISIS PERHITUNGAN GAYA INTERNAL RANGKA RUANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA
Oleh:
Oktaviany Widyawaty
Metode elemen hingga adalah metode pemodelan dari suatu benda dengan membagi-bagi dalam bagian yang kecil yang secara keseluruhan masih mempunyai sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi menjadi bagian yang kecil (diskritisasi). Metode elemen hingga dapat digunakan untuk menganalisis berbagai tipe struktur, yaitu rangka batang, rangka ruang, portal bidang, portal bidang, portal ruang, balok, dan balok silang.
Perbedaan utama rangka ruang dan rangka batang adalah jumlah derajat kebebasan di tiap nodal. Tiap batang pada rangka ruang memiliki 6 derajat kebebasan. Suatu struktur rangka ruang terbentuk dari gabungan elemen rangka dalam ruang XYZ. Variasi penggabungan membutuhkan transformasi karakteristik elemen dari sistem koordinat lokal ke sistem koordinat global.
Dalam penelitian ini, analisis rangka ruang dengan menggunakan metode elemen hingga akan dibantu dengan perangkat lunak Matlab. Dimana hasil dari Matlab akan dibandingkan dengan hasil dari SAP2000. Hasil dari analisis dengan Program Matlab dan Program SAP2000 mendapatkan perpindahan titik sebesar -0,073 cm di arah Z, reaksi tumpuan sebesar 62,5 Kgf. Hasil dari analisis gaya batang yang didapatkan dari Program Matlab sebesar -1253,121 Kgf, sedangkan dengan menggunakan Program SAP200 didapatkan hasil sebesar -1253,120 Kgf.
ANALISIS PERHITUNGAN
GAYA INTERNAL RANGKA RUANG DENGAN
MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA
(Skripsi)
Oleh
OKTAVIANY WIDYAWATY
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
ANALYSIS OF INTERNAL FORCES OF SPACE TRUSS WITH FINITE ELEMENT METHOD
By:
Oktaviany Widyawaty
The finite element method is a method of modeling of an object to divide into smaller parts as a whole still has the same properties as the whole thing before it was divided into smaller sections (discretization). The finite element method can be used to analyse various types of structures, such as plane truss, space truss, plane frame, space frame, beam, and grid.
The main difference space truss and space truss are the number of degrees of freedom at each node. Each bar in order to space has six degrees of freedom. A space truss structure formed by the combination of elements order in XYZ space. Variations of incorporation requires the transformation of the characteristic elements of the local coordinate system to the global coordinate system.
In this study, analysis of space truss using the finite element method will be assisted with the software Matlab. Where the result of Matlab will be compared with result from the SAP2000. The results of this analysis by using Matlab and SAP2000 are getting -0,073 cm for joint displacement on Z direction and 62,5 Kgf for joint reaction. The result of axial forces by Matlab is -1253,121 Kgf, but by using SAP200, the result is -1253,120 Kgf.
ABSTRAK
ANALISIS PERHITUNGAN GAYA INTERNAL RANGKA RUANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA
Oleh:
Oktaviany Widyawaty
Metode elemen hingga adalah metode pemodelan dari suatu benda dengan membagi-bagi dalam bagian yang kecil yang secara keseluruhan masih mempunyai sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi menjadi bagian yang kecil (diskritisasi). Metode elemen hingga dapat digunakan untuk menganalisis berbagai tipe struktur, yaitu rangka batang, rangka ruang, portal bidang, portal bidang, portal ruang, balok, dan balok silang.
Perbedaan utama rangka ruang dan rangka batang adalah jumlah derajat kebebasan di tiap nodal. Tiap batang pada rangka ruang memiliki 6 derajat kebebasan. Suatu struktur rangka ruang terbentuk dari gabungan elemen rangka dalam ruang XYZ. Variasi penggabungan membutuhkan transformasi karakteristik elemen dari sistem koordinat lokal ke sistem koordinat global.
Dalam penelitian ini, analisis rangka ruang dengan menggunakan metode elemen hingga akan dibantu dengan perangkat lunak Matlab. Dimana hasil dari Matlab akan dibandingkan dengan hasil dari SAP2000. Hasil dari analisis dengan Program Matlab dan Program SAP2000 mendapatkan perpindahan titik sebesar -0,073 cm di arah Z, reaksi tumpuan sebesar 62,5 Kgf. Hasil dari analisis gaya batang yang didapatkan dari Program Matlab sebesar -1253,121 Kgf, sedangkan dengan menggunakan Program SAP200 didapatkan hasil sebesar -1253,120 Kgf.
ANALISIS PERHITUNGAN
GAYA INTERNAL RANGKA RUANG DENGAN
MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA
(Skripsi)
Oleh
OKTAVIANY WIDYAWATY
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA TEKNIK
Pada
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Universitas Lampung
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS LAMPUNG
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kota Agung pada tanggal 30 Oktober 1993. Merupakan anak kedua dari tiga bersaudara dari keluarga Bapak Zulkarnaen dan Ibu Derryana Karwa. Memiliki kakak perempuan bernama Karina Permata Sari dan adik laki-laki bernama Ahmad Thoriq Ramadhan.
Penulis memulai jenjang pendidikan dari Taman Kanak-kanak Dharma Wanita Kota Agung pada tahun 1997, pada tahun 1999 memasuki Sekolah Dasar Islam Az Zahrah Palembang, kemudian pada tahun 2005 melanjutkan jenjang pendidikan di SMP Negeri 1 Palembang, dan SMA Negeri 1 Palembang pada tahun 2008 dan lulus pada tahun 2011.
MOTTO
Jangan pernah menyerah.
Everything is hard before it is easy. (Goethe)
Honesty is the first chapter in the book of wisdom. . (Unknown)
“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya... “
HALAMAN PERSEMBAHAN
Kupersembahkan karya kecil sederhana ini untuk mewakili
pengabdianku kepada papa dan mama yang selalu ada disampingku
Atas jasa mereka yang telah membesarkan, memberikan kasih sayang,
perhatian dan semangat serta mendoakanku disetiap langkah
perjalanan hidupku.
Saudara,keluarga, serta teman-temanku yang senantiasa menantikan
keberhasilanku
Dan
SANWACANA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas berkat dan karuniaNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini sesuai dengan yang diharapkan.
Judul skripsi yang penulis buat adalah “Analisis Perhitungan Gaya Internal Elemen Rangka Ruang dengan Menggunakan Metode Elemen Hingga”.
Terwujudnya skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan saran dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Bapak Prof. Drs. Suharno, M.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Teknik
Universitas Lampung.
2. Bapak Gatot Eko Susilo,S.T.,M.Sc.,Ph.D., selaku Ketua Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Lampung.
3. Ibu Hasti Riakara Husni, S.T., M.T., selaku pembimbing I atas pemberian judul dan bimbingan yang diberikan selama penyusunan skripsi.
4. Bapak Suyadi, S.T., M.T., selaku Pembimbing II atas bimbingannya selama penyusunan skripsi.
5. Bapak Bayzoni, S.T., M.T., atas kesempatannya untuk menguji sekaligus membimbing penulis dalam seminar skripsi.
7. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Lampung atas ilmu bidang sipil yang telah diberikan selama perkuliahan. 8. Papa Zulkarnaen dan Mama Derryana Karwa atas seluruh kasih sayang dan
perhatian yang telah diberikan hingga detik ini. Terima kasih untuk selalu memberikan semangat kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini. Terima kasih untuk selalu memberikan tawa sukacita di kehidupan sehari-hari penulis. Terima kasih atas semua dukungannya. Terima kasih banyak telah menjadi panutan kehidupan terbaik bagi penulis.
9. Kakakku tersayang Karina Permata Sari dan Hafiz Rahtio serta adikku tersayang Ahmad Thoriq Ramadhan yang telah memberikan semangat, keceriaan dan kasih sayang serta motivasi.
10. Sahabat seperjuangan terbaikku di masa kuliah Fera Lestari, Karina Hardiyanti Ananta, dan Intan Bonita Lumban Gaol.
11. Donny Ananta Dyamandica yang senantiasa memberikan semangat, berupa waktu, tenaga, dan kata-kata motivasi. Terima kasih untuk selalu ada di saat senang dan sedih. Terima kasih telah menghadirkan momen keceriaan yang tidak akan pernah terlupakan. Terima kasih telah hadir mewarnai kehidupan penulis.
13. Sahabat terbaikku sedari bangku Sekolah Menengah Atas Pedi, Bella, dan Lala yang selalu memberikan semangat.
14. Rekan Kosan Soleha Falen, Rani, Dina, Sari, Yossy, Anita, sesama anak rantau yang berjuang bersama meraih gelar sarjana dan selalu menemani hari-hari dengan kebahagiaan.
15. Teman-teman KKN Desa Sumber Agung, Ayu, Laras, Ayuni, Daniar, Bagus, Dayat, Lili, Antoni, dan Alwi beserta keluarga besar Desa Sumber Agung yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu terimakasih untuk segala motivasi, semangat serta berbagai bantuan yang telah diberikan.
Serta semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang telah membantu dan memberikan dukungan dalam penyelesaian skripsi ini. Penulis berharap semoga Allah SWT membalas segala kebaikan mereka dan semoga skripsi ini bermanfaat bagi kita semua.
Bandar Lampung, Februari 2016 Penulis
DAFTAR ISI
halaman
DAFTAR GAMBAR... iii
DAFTAR TABEL...iv
I. PENDAHULUAN... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 2
C. Batasan Masalah... 2
D. Tujuan Penelitian... 3
E. Manfaat Penelitian... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA... 4
A. Tipe-tipe Struktur ... 4
B. Metode Elemen Hingga... 5
B.1. Istilah dalam Metode Elemen Hingga ... 7
B.2. Penurunan Matriks Kekakuan Batang ... 10
B.3. Transformasi pada Sistem Koordinasi... 12
B.4. Kompatibilitas, Keseimbangan, Penentuan dari Matriks Kekakuan... 20
C. Dasar-dasar Pemrograman dengan MATLAB ... 31
C.1. Pendahuluan... 31
C.2. Lingkungan Kerja Matlab... 31
C.2.I. Beberapa Bagian dariWindowMatlab... 31
C.2.II. InteruptingdanTerminatingdalam Matlab ... 33
C.2.III. Variabel pada Matlab... 33
C.2.IV. M File ... 35
C.2.V. Langkah-langkah Penyelesaian Metode Elemen Hingga dengan Matlab ... 36
D. Program Sap2000 ... 37
III. METODOLOGI PENELITIAN... 38
A. Umum... 38
B. Bahan dan Alat ... 38
C. Metode Penelitian... 39
D. Model Rangka Ruang (Space Truss)... 42
E. Diagram Alir Penelitian ... 43
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN... 46
A. Hasil Analisis Program MATLAB... 46
B. Hasil Analisis Program SAP ... 59
C. Perbandingan Hasil ... 68
V. KESIMPULAN DAN SARAN... 80
A. Kesimpulan... 80
B. Saran... 81 DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 1. Penomoran Simpul pada Elemen ... 20
Tabel 2. Hasil Perpindahan Titik dengan Program Matlab... 51
Tabel 3. Hasil Reaksi Tumpuan dengan Program Matlab ... 52
Tabel 4. Hasil Gaya Batang Tiap Elemen dengan Program Matlab ... 52
Tabel 5. Hasil Perpindahan Titik dengan Program SAP... 63
Tabel 6. Hasil Reaksi Tumpuan dengan Program SAP ... 64
Tabel 7. Hasil Gaya Batang dengan Program SAP... 65
Tabel 8. Verifikasi Perpindahan Titik... 69
Tabel 9. Verifikasi Reaksi Tumpuan ... 70
DAFTAR GAMBAR
halaman Gambar 1. Elemen Rangka di Bawah Pengaruh Gaya Luar pada
Node 1 dan 2 ... 11
Gambar 2. Elemen dalam Ruang ... 13
Gambar 3. Transformasi Sistem Koordinat Global ke Sistem Koordinat Lokal... 15
Gambar 4. Penomoran untuk Nodal Batang ... 20
Gambar 5. Tanda dan Arah Gaya... 25
Gambar 6. Tampilan Layar dari Matlab... 33
Gambar 7. Contoh GambarM-file... 36
Gambar 8. Menara Air ... 42
Gambar 9. Diagram Alir Penelitian ... 43
Gambar 10. Diagram Alir Penelitian dengan Matlab... 44
Gambar 11. Diagram Alir Penelitian dengan SAP2000... 45
Gambar 12. Model Rangka Ruang...46
Gambar 13. Tampilan Program SAP ... 55
Gambar 14.Deformed Shape... 64
Gambar 15.Joint Reaction... 65
I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Seiring perkembangan teknologi yang ada, bangunan sipil tidak hanya berupa bangunan gedung, terdapat juga bangunan sipil bukan gedung, seperti jembatan, menara, ataupun rangka bangunan baja lain. Bangunan-bangunan bukan gedung tersebut tentunya memerlukan perhitungan dan perencanaan yang lebih matang. Sama halnya seperti menara yang merupakan salah satu contoh bangunan sipil yang termasuk kategori space truss (rangka ruang) memerlukan waktu yang cukup lama serta ketelitian yang cukup besar untuk perhitungan gaya internal aksialnya.
2
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan permasalahan diatas, maka rumusan masalahnya adalah bagaimana melakukan perhitungan gaya-gaya internal yang terjadi pada rangka ruang dengan menggunakan metode elemen hingga.
C. Batasan Masalah
Untuk membatasi ruang lingkup penelitian ini diperlukan batasan-batasan sebagai berikut :
1. Struktur yang ditinjau terdiri dari batang prismatis. Batang prismatis adalah elemen struktur lurus yang mempunyai penampang konstan di seluruh panjangnya.
2. Titik kumpul dari rangka batang ruang dianggap sebagai sendi. 3. Jenis titik tumpuan yang ada di rangka adalah sendi.
4. Kenaikan dan penurunan suhu secara mendadak yang akan menyebabkan batang-batang mengalami perubahan bentuk tidak diperhitungkan.
5. Prategang tidak diperhitungkan 6. Eksentrisitas tidak diperhitungkan
7. Jenis material adalah homogen elastis dan isotropis.
8. Perhitungan metode elemen hingga pada rangka ruang akan dilakukan dengan bantuan Program MATLAB (Matrix Laboratory).
3
D. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan gaya aksial dari elemen rangka ruang (space truss), perpindahan titik (joint displacement), dan reaksi tumpuan (joint reaction) dengan menggunakan Program Matlab, lalu akan dibandingkan hasil yang diperoleh dengan menggunakan SAP2000.
E. Manfaat Penelitian
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Tipe-tipe Struktur
Struktur dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa tipe struktur, yaitu adalah: 1. Truss(rangka)
Truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang tarik dan batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan guna mendukung atap atau jembatan.
Truss dibagi menjadi 2 jenis yaitu truss 2 dimensi dan truss 3 dimensi. Truss 2 dimensi adalah truss yang dapat menahan beban arah datar saja (sumbu x, y) dan umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal. Sedangkan truss 3 dimensi adalah kumpulan batang yang dimana batang-batangnya berarah sembarang dalam ruang, yang dapat menahan beban pada semua arah (sumbu x, y, dan z) dan beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal.
2. Beam
5
3. Frame(portal)
Frame adalah kerangka yang terdiri dari dua atau lebih bagian konstruksi yang disambungkan yang bertujuan untuk stabilitas, umumnya dapat menahan gaya momen, gaya geser, dan aksial. Framesama halnya dengan truss, juga dibagi menjadi 2 jenis yaitu frame 2 dimensi dan frame 3 dimensi. Frame 2 dimensi merupakan frame yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) dan biasanya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang. Berbeda halnya dengan frame 2 dimensi, frame 3 dimensi dapat menahan beban pada semua arah (sumbu x, y, dan z) dan beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang.
4. Grid
Gridadalah sebuah struktur 1D yang terbentuk dari rangkaian balok-balok yang terhubung secara kaku (rigid) pada nodal, di mana seluruh balok dan nodal tersebut berada pada bidang yang sama. Grid merupakan struktur data yang dipersiapkan untuk menerima beban yang tegak lurus pada bidang datar struktur.
B. Metode Elemen Hingga
6
suatu masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu, sehingga proses pemecahannya akan lebih sederhana.
Susatio (2004) menyatakan bahwa metode elemen hingga adalah metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis. Tipe masalah teknis dan matematika yang dapat diselesaikan dengan metode elemen hingga terbagi dalam dua kelompok, yaitu kelompok analisis struktur dan kelompok masalah non-struktur. Masalah analisis struktur, meliputi analisis tegangan, buckling, dan analisis getaran. Sedangkan masalah non-struktur antara lain adalah perpindahan panas dan massa, mekanika fluida, serta distribusi dari potensial listrik.
Menurut Purba dan Tarigan (2012), persoalan yang menyangkut geometri yang rumit terhadap struktur yang kompleks, pada umumnya sulit dipecahkan melalui matematika analisis. Formulasi dari metode elemen hingga dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan ini. Akibat adanya beban pada balok, akan mengakibatkan lendutan. Permasalahan ini dapat ditinjau dan diselesaikan dengan menghitungnya secara elemen hingga.
7
Katili (2008) menyebutkan bahwa struktur diskrit terbentuk dari gabungan elemen yang perilakunya diharapkan mewakili perilaku struktur kontinu. Perilaku masing-masing elemen digambarkan dengan fungsi pendekatan yang mewakili peralihan dan tegangan yang akhirnya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matrik.
B.1. Istilah dalam Metode Elemen Hingga
Beberapa istilah-istilah yang digunakan dalam analisis struktur yang digunakan dalam metode elemen hingga yang dijelaskan oleh Katili (2008) adalah sebagai berikut.
1. Beban
Beban adalah semua gaya yang menimbulkan tegangan dan regangan dalam suatu struktur. Beban nodal (BN) adalah beban terpusat yang langsung bekerja pada nodal. Beban nodal ekuivalen (BNE) adalah beban terpusat atau beban merata yang bekerja di antara nodal dan ditransmisikan menjadi beban nodal.
2. Gaya Nodal Struktur
8
3. Gaya Nodal Elemen
Gaya nodal elemen adalah gaya yang muncul pada nodal elemen dengan peran untuk menjaga keseimbangan elemen bila elemen dilepas dari struktur sebagai free-body. Gaya nodal elemen ini akan menghilang bila elemen-elemen dirangkai menjadi satu kesatuan dengan struktur dan bergabung menjadi gaya nodal struktur.
4. Peralihan Nodal
Peralihan nodal adalah terjadinya perpindahan derajat kebebasan nodal pada elemen struktur yang dapat berupa rotasi atau translasi dalam arah horisontal maupun vertikal akibat pembebanan.
5. Nodal Struktur
Nodal struktur adalah titik pertemuan elemen-elemen yang merupakan acuan dalam merangkai elemen-elemen pembentuk struktur. Pada nodal struktur gaya nodal struktur dan derajat kebebasan struktur didefinisikan untuk kemudian dibentuk relasi persamaan kekakuan struktur.
6. Nodal Elemen
Nodal elemen adalah titik-titik pada elemen dimana gaya nodal elemen dan derajat kebebasan elemen didefinisikan untuk kemudian dibentuk suatu persamaan kekakuan elemen.
7. Elemen Struktur
9
Tujuan utama analisis dengan metode elemen hingga adalah untuk memperoleh nilai pendekatan (bukan eksak) tegangan dan peralihan pada suatu struktur. Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang seringkali dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut:
1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat, dan lain sebagainya).
2. Pada titik-titik pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi.
3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilai-nilai titik nodalnya.
4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus memenuhi syarat hubungan regangan peralihannya dan hubungan tegangan-regangannya. 5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen
dengan menggunakan prinsip usaha atau energi.
6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal.
7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal.
10
9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan.
Beberapa kelebihan dalam penggunaan metode elemen hingga menurut Susatio (2004),antara lain adalah:
1. Benda dengan bentuk yang tidak teratur dapat dengan mudah dianalisis. 2. Tidak terdapat kesulitan dalam menganalisis beban pada suatu struktur. 3. Pemodelan dari suatu benda dengan komposisi materi yang berlainan
dapat dilakukan karena tinjauan yang dilakukan secara individu untuk setiap elemen.
4. Dapat menangani berbagai macam syarat batas dalam jumlah yang tak terbatas.
5. Variasi dalam ukuran elemen memungkinkan untuk memperoleh detail analisis yang diinginkan.
B.2. Penurunan Matrik Kekakuan Batang
Gambar 1 merupakan gambar suatu elemen rangka dengan penampang melintang yang konstan, elastik dan linier. Sistem koordinat yang dipakai dalam Gambar 1 ada 2 macam, yaitu sistem koordinat lokal ( , ) yang berlaku hanya untuk elemen tersebut dan sistem elemen global (x , y) yang berlaku untuk semua elemen yang ada (struktur).
11
nodal adalah displacement lokal ke arah axial (searah elemen rangka) berturut-turut adalah d1x, d2xmasing-masing untuk node 1 dan node 2.
Gambar 1. Elemen Rangka di bawah Pengaruh Gaya Luar F pada Node 1 dan 2
Berikut ini adalah beberapa asumsi yang digunakan untuk menurunkan persamaan matrik kekakuan elemen.
1. Truss hanya menerima gaya pada arahaxial(searah elemen) dan tidak menerima gaya pada arah lateral (tegak lurus elemen). Oleh karena itu, F1ydan F2y, masing-masing sama dengan nol.
2. Semua perpindahan ke arah selain arah panjang elemen diabaikan. 3. Elemen mengikuti hukum linierx= Ex(pada arahaxial).
Persamaan Hooke menyatakan bahwa perpindahan (du) adalah akibat dari pengaruh gaya luar (F).
12
= . ...(pers. 2)
= ...(pers. 3)
Dimana:
k = koefisien kekakuan pegas E = modulus elastisitas
A = Luas penampang melintang L = panjang elemen
Persamaan 2 juga berlaku untuk: Node 1:
= . ( )...(pers. 4)
Node 2:
= . ( )...(pers. 5)
Dalam bentuk matrik persamaan 4 dan 5 dapat dituliskan sebagai:
= . 11 11 ...(pers. 6)
Matrik kekakuan lokal adalah:
[ ] = . 11 11 ...(pers. 7)
B.3. Transformasi pada Sistem Koordinat
13
antara koordinat global dengan sumbu global x, y, z berturut-turut adalah
Ɵ x,Ɵ y, danƟ z. diambil pada arah longitudinal dari elemen rangka, dalam
arah node 1 ke node 2.
Gambar 2. Elemen dalam Ruang
Akan ditentukan matrik transformasi T* yang akan menghubungkan antara sistem koordinat global dengan sistem koordinat lokal:
= ...(pers. 8)
Persamaan awal yang digunakan adalah:
= ...(pers. 9)
Dalam 3 dimensi, persamaan ditulis sebagai berikut:
+ + = + + ...(pers. 10)
Dimana:
, , : vektor satuan dalam arah sumbu lokal berturut-turut pada arah
14
i , j , k: vektor satuan dalam arah sumbu global berturut-turut pada arah x , y , z
Perkalian secara skalar (dot product) persamaan dengan i akan dihasilkan persamaan:
+ 0 + 0 = ( . ) + ( . ) + ( . )...(pers. 11)
Dari definisidot product :
. = = cos =
. = = cos =
. = = cos = ...(pers. 12)
Dimana:
L = [(x2–x1)2+ (y2–y1)2+ (z2–z1)2)]1/2
Substitusi harga-harga dari persamaan 11 ke persamaan 12 diperoleh: 1= Cxdx1+ Cydy1+ Czdz1
2= Cxdx2+ Cydy2+ Czdz2
Kedua persamaan di atas dalam bentuk matriks ditulis:
=
0 0 0
0 0 0
[ ]
...(pers. 13)
Dimana [T*] adalah matrik transformasi.
Pada bagian ini akan diturunkan persamaan yang menghubungkan matrik kekakuan dalam koordinat global [K] dengan matriks kekakuan dalam
15
Gambar 3. Transformasi Sistem Koordinat Global ke Sistem Koordinat Lokal
Koordinat titik A yang berada dalam Sistem Koordinat Lokal. Untuk keperluan ini akan diturunkan terlebih dahulu persamaan Matrik Transformasi yang akan memindahkan sistem koordinat tersebut.
Pengembangan dari matrik transformasi yang diperoleh, akan dikembangkan untuk kasus dalam ruang tiga dimensi. Dalam sistem koordinat global, koordinat A(x,y) dan dalam sistem koordinat lokal, koordinat A(OC,AC).
= = + = + = + ...(pers. 14)
= = = ...(pers. 15)
Kedua persamaan 14 dan persamaan 15 ditulis dalam bentuk matrik menjadi sebagai berikut:
= (pers. 16)
Jika cosƟ = γ dan sinƟ = µ, maka matrik transformasi koordinat global ke
16
[ ] = . ...(pers. 17)
Satu titik (x1,y1) pada koordinat global dinyatakan dalam koordinat lokal
yang membentuk sudutƟ dengan sumbu koordinat global adalah:
= ...(pers. 18)
Demikian juga titik (x2,y2) dalam koordinat global, jika dalam koordinat
lokal menjadi:
= ...(pers. 19)
Sebuah elemen dibatasi oleh 2 buah node (x1,y1) dan (x2,y2) pada koordinat
global, maka elemen tersebut dalam koordinat lokal menjadi:
= 0
[T2] adalah matrik transformasi elemen dengan 2 node dari koordinat global ke koordinat lokal.
x,y tanpa garis di atasnya (bar) menandakan sistem koordinat global, sedangkan , (memakai garis atas atau bar) menandakan sistem koordinat lokal.
Matrik transformasi koordinat lokal ke koordinat global adalah:
[ ] = .(pers. 21)
Matrik transformasi koordinat global ke koordinat lokal adalah:
17
Seperti halnya dengan persamaan 20, maka matrik transformasi koordinat lokal ke global adalah:
Persamaan 23 dapat ditulis dalam kaitannya dengan displacement nodal sebagai:
= [ ] . ...(pers. 25)
Dalam bentuk simbol ditulis sebagai:
{q}xy= [T2]{ }( ) . . ...(pers. 26)
18
= [ ] . . . ...(pers. 27)
Dalam bentuk simbol ditulis:
{Q}xy= [T2] {Q}(xy) . . . ...(pers. 28)
(lokal ke global) yang diketahui adalah vektor kolom pada ruas kanan. Dalam sistem koordinat lokal berlaku
{ }( )= [ ]( ){ }( ) . . . ...(pers. 29)
Dalam sistem koordinat global berlaku
{ }( )= [ ]( ){ }( ) . . . ...(pers. 30)
Substitusi {q}xydari persamaan 29 ke persamaan 30 diperoleh
{ }( )= [ ]( )[ ] { }( ) . ...(pers. 31)
Dari persamaan 26.
{q}xy= [T2]{ }( )maka;{ }( )= [T2]-1{q}xy...(pers. 32)
Karena matrik [T2] bersifat orthogonal, maka; [T2]-1= [T2]T
Persamaan terakhir menjadi{ }( )= [T2]T{q}xy
Substitusikan kembali hasil di atas dengan persamaan 29, sehingga menjadi sebagai berikut:
{ }( )= [ ]( )[T ] {q} ...(pers. 33)
Dari persamaan.
{ }( )= [T ] {Q} ...(pers. 34)
19
Persamaan 35 ini mentransformasikan matrik kekakuan dalam koordinat lokal ke koordinat global. Sehingga dapat diturunkan persamaan matrik kekakuan dalam koordinat global sebagai berikut:
20
B.4. Kompatibilitas, Keseimbangan, Penentuan dari Matrik Kekakuan
Diketahui konstruksi seperti Gambar 4.
Gambar 4. Penomoran untuk Nodal dan Batang Tabel 1. Penomoran Simpul pada Elemen
Elemen Simpul 1 (awal) Simpul 2 (akhir)
a 1 2
b 2 3
c 1 3
d 4 5
e 5 6
f 4 6
g 2 5
h 2 6
21
Untuk elemen a (dibatasi oleh node 1 dan node 2),
= , = , =
= panjang elemen a = ( ) + ( ) + ( ) Sub matrik Kaadalah
[ ] =
Matrik kekakuan elemen a adalah:
[ ] = .
Untuk elemen a (dibatasi oleh node 2 dan node 3),
= , = , =
= panjang elemen b = ( ) + ( ) + ( ) Sub matrik Kbadalah
[ ] =
Matrik kekakuan elemen b adalah:
[ ] = .
Untuk elemen c (dibatasi oleh node 1 dan node 3),
= , = , =
22
Sub matrik Kcadalah
[ ] =
Matrik kekakuan elemen c adalah:
[ ] = .
Untuk elemen d (dibatasi oleh node 4 dan node 5),
= , = , =
= panjang elemen d = ( ) + ( ) + ( ) Sub matrik Kdadalah
[ ] =
Matrik kekakuan elemen d adalah:
[ ] = .
Untuk elemen e (dibatasi oleh node 5 dan node 6),
= , = , =
= panjang elemen e = ( ) + ( ) + ( )
Sub matrik Keadalah
[ ] =
Matrik kekakuan elemen e adalah:
23
Untuk elemen f (dibatasi oleh node 4 dan node 6),
= , = , =
= panjang elemen f = ( ) + ( ) + ( )
Sub matrik Kfadalah
=
Matrik kekakuan elemen f adalah:
= .
Untuk elemen g (dibatasi oleh node 2 dan node 5),
= , = , =
= panjang elemen g = ( ) + ( ) + ( )
Sub matrik Kgadalah
=
Matrik kekakuan elemen g adalah:
= .
Untuk elemen h (dibatasi oleh node 2 dan node 6),
= , = , =
24
Sub matrik Khadalah
[ ] =
Matrik kekakuan elemen h adalah:
[ ] = .
Untuk elemen i (dibatasi oleh node 3 dan node 5),
= , = , =
= panjang elemen i = ( ) + ( ) + ( ) Sub matrik Kiadalah
[ ] =
Matrik kekakuan elemen i adalah:
[ ] = .
Untuk sistem koordinat:
{ } = =
{ } = =
{ } = =
{ } = =
25
= =
= =
{ } = =
{ } = =
Sebagai syarat kompatibilitas, maka ditetapkan:
= =
= = = =
= = =
= =
= = = =
= = =
Dan dalam titik simpul harus memenuhi syarat keseimbangan. Pada titik simpul 1 berlaku:
{ } =
Tanda dan arah gaya:
Gambar 5. Tanda dan Arah Gaya { } = { } + { }
+
26
{ } = { } + { } + { } +
{ } = { } + { } + { }
{ } = { } +
{ } = { } + { } + + { }
{ } = { } + { } +
Dengan demikian didapat:
{ } = { } + { } + { } + { }
{ } = { } + { } + { } + { }
+ { } + { } +
+
{ } = { } + { } + { } + { }
+ { } + { }
{ } = { } + { } + +
{ } = { } + { } + { } + { }
+ + + { } + { }
{ } = { } + { } + { } + { }
+ +
27
B.5. Syarat Batas (boundary condition), Perpindahan Titik dan Gaya Batang
Titik 1, 3, 4, dan 6 merupakan tumpuan sendi, maka tidak terjadi perpindahan
= 0
0 0
0
Gaya yang terjadi pada titik 2 dan 5
{ } = = 0
0 dan { } = = 00
Sehingga bentuk matrik struktur menjadi seperti yang ditunjukkan pada Pers. 38 di halaman 30.
Untuk mencari gaya batang, menggunakan rumus:
{ } = [ ]
Dimana:
[ ] = .
Untuk gaya batang a:
28
Dimana:
= .
Dengan memasukkan nilai dari , , dan maka matrik menjadi:
= .
29
... (Pers. 37) { } = [ ]
Dimana:
30
31
C. Dasar-dasar Pemrograman dengan MATLAB
C.1. Pendahuluan
Menurut Sianipar (2013), MATLAB (Matrix Laboratory) adalah suatu paket perangkat lunak yang mampu untuk melakukan komputasi, menganalisis data, mengembangkan algoritma, melakukan simulasi dan pemodelan, dan menghasilkan tampilan grafik dan antarmuka grafikal. Matlab merupakan bahasa pemrograman yang hadir dengan fungsi dan karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain seperti Delphi, Basic, maupun C++.
Matlab hadir dengan membawa warna yang berbeda. Hal ini karena Matlab membawa keistimewaan dalam fungsi-fungsi matematika, fisika, statistik, dan visualisasi. Matlab dikembangkan oleh MathWorks, yang pada awalnya dibuat untuk memberikan kemudahan mengakses data matrik pada proyek LINPACK dan EISPACK.
C.2. Lingkungan Kerja Matlab
C.2.I. Beberapa Bagian dari Window Matlab
• Current Directory
32
• Command History
Window ini berfungsi untuk menyimpan perintah-perintah apa saja yang sebelumnya dilakukan oleh pengguna terhadap Matlab.
• Command Window
Window ini adalah window utama dari Matlab. Disini adalah tempat untuk menjalankan fungsi, mendeklarasikan variabel, menjalankan proses-proses, serta melihat isi variabel.
• Workspace
Workspace berfungsi untuk menampilkan seluruh variabel-variabel yang sedang aktif pada saat pemakaian Matlab. Apabila variabel berupa data matriks berukuran besar maka user dapat melihat isi dari seluruh data dengan melakukan double click pada variabel tersebut. Matlab secara otomatis akan menampilkan window “array editor”
yang berisikan data pada setiap variabel yang dipilihuser. • Getting Help
Matlab menyediakan fungsihelp yang tidak berisikan tutorial lengkap mengenai Matlab dan segala keunggulannya. Userdapat menjalankan fungsi ini dengan menekan tombol padatoolbaratau menulis perintah
33
C.2.II. InteruptingdanTerminatingdalam Matlab
Untuk menghentikan proses yang berjalan pada Matlab dapat dilakukan dengan menekan tombol Ctrl+C. Sedangkan untuk keluar dari Matlab dapat dilakukan dengan menuliskan perintah exitatau quitpadacommand window atau dengan menekan menuexit pada bagian menufile dari menu bar.
Gambar 6. Tampilan Layar dari Matlab
C.2.III. Variabel pada Matlab
Matlab hanya memiliki 2 jenis tipe data yaitu Numeric dan String. Dalam matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung menuliskan variabel baru tanpa harus mendeklarasikannya terlebih dahulu padacommand window.
34
secara otomatis akan me-replace variabel lama tersebut dengan variabel baru yang dibuatuser.
Dapat diasumsikan bahwa di dalam Matlab setiap data akan disimpan dalam bentuk matriks. Dalam membuat suatu data matriks pada Matlab,
setiap isi data harus dimulai dari kurung siku ‘[‘ dan diakhiri dengan
kurung siku tutup ‘]’. Untuk membuat variabel dengan data yang terdiri dari beberapa baris, gunakan tanda ‘titik koma’ (;) untuk memisahkan
data tiap barisnya.
Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat kita gunakan untuk menghasilkan bentuk-bentuk matriks yang diinginkan.
Fungsi-fungsi tersebut antara lain: - Zeros
Untuk membuat matrik yang semua datanya bernilai 0 - Ones
Matrik yang semua datanya bernilai 1 - Rand
Matrik dengan data random dengan menggunakan distribusiuniform - Randn
Matrik dengan data random dengan menggunakan distribusi normal - Eye
35
Beberapa fungsi matematika lainnya yang dapat kita gunakan untuk operasi matematika antara lain sebagai berikut:
- Abs(x)
Fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x - Sign(x)
Fungsi untuk menghasilkan nilai -1 jika x<0, 0 jika x=0, dan 1 jika x>1
- Exp(x)
Fungsi untuk menghasilkan nilai eksponensial natural - Log(x)
Fungsi untuk menghasilkan nilai logaritma natural - Log10(x)
Fungsi untuk menghasilkan nilai logaritma dengan absis 10 - Sqrt(x)
Fungsi untuk menghasilkan akar dari nilai x - Rem(x,y)
Fungsi untuk menghasilkan nilai modulus (sisa pembagian) x terhadap y
C.2.IV. M File
36
Gambar 7. Contoh Gambar M-File
Di dalam M-File, kita dapat menyimpan semua perintah dan menjalankan dengan mengetikkan nama M-File yang kita buat pada command window. Di dalam M-File, kita dapat menuliskan fungsi-fungsi yang berisikan berbagai operasi sehingga menghasilkan data yang diinginkan.
C.2.V. Langkah-langkah Penyelesaian Metode Elemen Hingga dengan Matlab
1. Tentukan matrik kekakuan lokal dari struktur = [K]lokal
2. Transformasikan matrik untuk global ke sistem sumbu lokal = [T] 3. Konversi matrik untuk sumbu lokal ke sistem sumbu global
4. Bentuk matrik kekakuan sumbu global setiap elemen = [K]global
5. Bentuk matrik kekakuan sistem sumbu global dengan superposisi = [K]sis
37
8. Hitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu global [P]global
9. Hitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu lokal [P]lokal = [T] (P)global
10. Hitung gaya-gaya dalam struktur per elemen
D. Program SAP2000
SAP2000 merupakan program yang menghadirkan state of the art dalam teknologi tiga dimensi finite element method bagi struktur teknik. SAP2000 mampu menggeser tugas menghitung yang rumit ke konsep perilaku struktur, pembagian beban dan analisa output sehingga konsep perancangan jauh lebih baik. SAP2000 dapat mengambil tugas analisis struktur karena jika kita sudah melakukan input data dengan benar, maka proses analisis akan langsung diambil alih oleh SAP2000 dan prosesnya pun tergolong sangat cepat.
Secara garis besar, perhitungan analisis struktur rangka dengan SAP2000 akan melalui beberapa tahap, yaitu:
1. Menentukan geometri model struktur
2. Mendefinisikan data-data, seperti jenis dan kekuatan bahan, dimensi penampang elemen struktur, macam beban, dan kombinasi pembebanan 3. Menempatkan data-data yang telah didefinisakan ke model struktur,
seperti data beban dan data penampang 4. Memeriksa input data
III. METODOLOGI PENELITIAN
A. Umum
Metodologi penelitian merupakan suatu cara peneliti bekerja untuk memperoleh data yang dibutuhkan yang selanjutnya akan digunakan untuk dianalisa sehingga memperoleh kesimpulan yang ingin dicapai dalam penelitian. Metodologi penelitian ini bertujuan untuk mempermudah pelaksanaan dalam melakukan penelitian guna memperoleh pemecahan masalah dengan maksud dan tujuan yang telah ditetapkan secara sistematis.
B. Bahan dan Alat 1. Bahan
Bahan–bahan yang digunakan dalam penelitian ini adalah :
a. Materi mengenai contoh perhitungan rangka ruang (space truss) dengan menggunakan metode elemen hingga.
b. Bahasa pemrograman Matlab.
c. Panduan analisis struktur dengan SAP2000.
2. Alat
39
Dalam penelitian ini saya menggunakan laptop Acer 4741, dengan Processor Intel Core i3, RAM 1 GB, System tipe 32-bit operating system.
b. MousedanKeyboard c. Perangkat lunak
Perangkat lunak atausoftware yang dipakai dalam analisis perhitungan gaya internal aksial pada rangka ruang, meliputi:
1. Program Matlab 2. Program SAP2000
C. Metode Penelitian
Dalam pelaksanaan penelitian ini menggunakan dua metode yaitu metode analisis dengan Program Matlab dan metode analisis dengan Program SAP2000.
1. Metode Analisis dengan Matlab
Metode analisis dengan script programming yang dipakai dalam analisis ini adalah dengan menggunakan Matlab (Matrix Laboratory), dengan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Menentukan matriks kekakuan lokal dari struktur = [K]lokal
2. Mentransformasikan matriks untuk global ke sistem sumbu lokal = [T] 3. Mengkonversi matriks untuk sumbu lokal ke sistem sumbu global 4. Membentuk matriks kekakuan sumbu global setiap elemen= [K]global 5. Membentuk matriks kekakuan sistem sumbu global dengan
40
6. Membentuk matriks vektor beban dengan superposisi [Q]sis & [P]sis 7. Membentuk persamaan keseimbangan [K](d) + (f) = (P)
8. Mengitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu global [P]global
9. Menghitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu lokal [P]lokal = [T] (P)global
10. Menghitung gaya-gaya dalam struktur per elemen
File-file Matlab yang dibentuk pada waktu pemrograman antara lain adalah:
1. File fungsi extract (extract.m), file ini berfungsi untuk mengekstrak matriks dengan indeks informasi baris dan kolom
2. Filefungsiassembly(assembly.m),file ini berfungsi untuk merangkai berdasarkan informasi baris dan kolom pada bahasa mesin (assembly) sehingga dapat mempercepat proses analisis matriks
3. Filefungsi sdata (sdata.m),fileini berfungsi untuk membaca masukan data berupa jenis portal, koordinat, batang elastisitas, luas penampang, dan inersia penampang
4. Filefungsi ldata (ldata.m), fileini berfungsi untuk membaca masukan data berupa beban terpusat dan beban batang, serta kekangan dari perletakan.
41
6. Filefungsianalysis_result(analysis_result.m),fileini berfungsi untuk menganalisis matriks kekakuan sumbu lokal dan kekakuan sumbu global, serta matriks vektor beban dan dengan syarat batas dihitung reaksi perletakan dari struktur serta perpindahan nodal serta gaya-gaya dalam pada setiap elemen.
7. File fungsi print_result (print_result.m), file ini berfungsi utnuk menampilkan hasil berupa reaksi perletakan, perpindahan nodal, dan gaya batang pada monitor dalam bentuktext.
2. Metode Analisis dengan SAP2000
Secara garis besar, perhitungan analisis struktur rangka dengan SAP2000 akan melalui beberapa tahap, yaitu:
1. Menentukan geometri model struktur
2. Mendefinisikan data-data, seperti jenis dan kekuatan bahan, dimensi penampang elemen struktur, macam beban, dan pembebanan
3. Menempatkan data-data yang telah didefinisikan ke model struktur, seperti data beban dan data penampang
D. Model Rangka R
Model rangka rua terletak di depan Teknik Universit berupa menara a alas 4 meter, panj dengan volume a
a Ruang (Space Truss)
Gambar 8. Menara Air
ruang yang dipakai pada penelitian ini adalah pan Laboratorium Jalan Raya Jurusan Teknik
sitas Lampung. Bentuk dari konstruksi yang air dengan tinggi 14 meter, panjang alas 4 m panjang dan lebar di ketinggian 14 meter sebe
air yang dibebankan sebesar 5 m3.
42
43
E. Diagram Alir Penelitian
Diagram alir analisis perhitungan gaya internal rangka bidang dengan menggunakan metode elemen hingga adalah sebagai berikut:
Gambar 9. Diagram Alir Penelitian Menentukan model rangka ruang
Menentukan tinggi menara (H), panjang menara (P), lebar menara (L), diameter tangki (d), tinggi tangki (t), profil baja, luas
profil (A), Ebaja
Menghitung gaya aksial,displacement,joint reaction
Mulai
44
Pengolahan data untuk mendapatkan gaya internal pada rangka bidang ini menggunakan bantuan Program Matlab, dengan diagram alir yang dapat dilihat dibawah ini:
Gambar 10. Diagram Alir Penelitian dengan Matlab Fungsiassembly
Fungsiextract Fungsi truss3d
Fungsi sdata
Fungsi t3d_stiff
Fungsianalysis_result
Fungsiprint_result Mulai
45
Pengolahan data untuk mendapatkan gaya internal pada rangka bidang ini juga menggunakan Program SAP2000 yang digunakan sebagai pembanding dari hasil yang diperoleh dengan menggunakan Matlab, dengan diagram alir yang dapat dilihat dibawah ini:
Gambar 11. Diagram Alir Penelitian dengan SAP2000 Menentukan geometri model struktur
Mendefinisikan data-data
(jenis dan modulus elastisitas, dimensi penampang elemen struktur, macam beban, dan pembebanan)
Menempatkan data-data yang telah didefinisikan ke model struktur, seperti data
beban dan data penampang Mulai
Selesai
Memeriksa input data
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
1.
Dengan dibuatnya program MATLAB untuk menganalisis rangka ruang,perhitungan perpindahan titik, reaksi tumpuan serta gaya batang elemen lebih mudah dan efisien.
2. Perhitungan dengan program ini dapat dilakukan dengan sangat cepat, dibandingkan dengan perhitungan manual.
3. Selisih hasil perhitungan dengan menggunakan program MATLAB dan program SAP2000 kurang dari 5% yang diakibatkan adanya pembulatan koma.
81
B. Saran
1. Dengan adanya program ini diharapkan nantinya akan ada lagi pengembangan dan penambahan program MATLAB untuk berbagai tipe struktur.
2. Diperlukannya ketelitian dalam membuat bahasa pemrograman MATLAB agar fungsi yang ada dapat dijalankan.
DAFTAR PUSTAKA
Alkaff, M. Firdaus. 2004. MATLAB 6 untuk Teknik Sipil. Maxikom. Palembang.
Anonim. 2002. SNI 03-1729-2002. Tata Cara Perencanaan Struktur Baja untuk Bangunan Gedung.
Bargess, M. F., C. Lesmana, dan R. Y. Tallar. 2009. Analisis struktur bendung dengan metode elemen hingga.Jurnal Teknik Sipil. Volume 5 Nomor 1.
Katili, I. 2008.Metode Elemen Hingga untuk Skeletal. PT. RajaGrafindo Persada. Jakarta.
Purba, Sadvent M. Dan J. Tarigan. 2012. Analisa Perbandingan Perhitungan Elemen Hingga dengan Menggunakan Elemen Segitiga (Constant Strain Triangle) dan Elemen Segiempat (Bilinear Quadrilateral). Universitas Sumatera Utara. Medan.
Sianipar, R.H. 2013. Pemrograman MATLAB dalam Contoh dan Penerapan. INFORMATIKA. Bandung.
Sitorus, DP. 2013. Relevansi Metode Ritter dan Metode Elemen Hingga dengan Program Matlab pada Rangka Batang. Jurnal Teknik Sipil USU.
Susatio, Yerri. 2004.Dasar-dasar Metode Elemen Hingga. ANDI. Yogyakarta.
