Persamaan Momentum dalam Mekanika Fluida

(1)

Mekanika Fluida & Hidrolika

Persamaan Momentum

(2)

Persamaan Momentum

adalah persamaan dasar ke-3 dalam mekanika fluida

Ingatkah anda persamaan dasar yang pertama & ke-2?

1. Persamaan Kontinuitas

2. Persamaan Energi

3. Persamaan Momentum

(3)

Persamaan Momentum

●

Setiap benda yang bergerak mempunyai momentum

●

Fluida yang bergerak mempunyai momentum & berpotensi menimbulkan gaya

●

Gaya ini adalah gaya dinamis yang merupakan tambahan pada gaya tekanan hidrostatis.

Contoh:

–

Gaya yang terjadi pada sambungan dan/atau belokan pipa

–

Gaya pancaran air melalui pipa dan/atau yang jatuh pada kincir air/turbin

–

Gaya angkat pesawat terbang akibat gerakan udara pada sayap

●

Gaya akibat gerakan fluida ini dapat dianalisis menggunakan

persamaan momentum

(4)

Persamaan Momentum

fungsi dari massa benda & kecepatannya

Momentum

Formulasi (tepatnya linear momentum, p):

^{p = m . v}

definisi :

Pengertian dasar: m: massa = ρ . Volume v: kecepatan

atau:

Momentum = m . v

↝Pengertian massa dalam hal fluida bergerak:

yaitu aliran massa/mass flow rate sepanjang garis aliran

ρ: rapat massa fluida Q: debit aliran

v: kecepatan rerata aliran m ≠ ρ . Volume,

tetapi:

m2 = ρ . A . v

(

m2 dibaca: m-dot); A . v = Q

m2 = ρ . Q ⇨

Sehingga:

Momentum aliran fluida = ρ . Q . v _dengan:

(5)

Persamaan Momentum

Linear momentum Hk. Newton ke-2:

Hk. Newton ke-2 untuk fluida:

Jumlah total gaya yang bekerja pada suatu benda adalah sebanding dengan massa dan percepatan yang bekerja pada benda tersebut (F= m.a)

F = m2 (v2 - v1)

Banyaknya perubahan momentum linier p pada sebuah partikel adalah sebanding dengan total gaya & bekerja searah dengan gaya tersebut

F = ρ . Q . (v2 - v1)

Gaya yang bekerja pada partikel fluida yang mengalir adalah sebanding

dengan laju perubahan momentum dan bekerja searah dengan gaya tersebut

A₁

A₂ v₁

v₂

(6)

Koefisien koreksi momentum

●

Persamaan momentum dianalisis berdasarkan aliran seragam

●

Pada kenyataanya, aliran dapat saja tidak seragam sehingga diperlukan faktor koreksi (β)

●

Persamaan momentum menjadi:

Aliran laminer: β = 1,33

Aliran turbulen: β = 1,01 – 1,04 β: koefisien koreksi momentum

F = ρ . Q . (β

2

V

2

– β

1

V

1

)

(7)

Penggunaan persamaan momentum

Persamaan momentum digunakan untuk analisis gaya-gaya yang ditimbulkan oleh:

●

Perubahan kecepatan

↪ akibat aliran melaui curat yang dipasang/disambung pada pipa

↪ akibat perubahan ukuran penampang

●

Perubahan arah aliran

↪ akibat belokan pipa

●

Pancaran air

↪ pancaran air pada plat datar

↪ pancaran air pada plat lengkung

(8)

Contoh sambungan, belokan & perubahan penampang pada jaringan perpipaan

Source: C.M Highsmith, 2015

Source: Arup.com

(9)

Contoh penggunaan energi pancaran air pada plat tetap & plat lengkung:

Kincir air, turbin

Source: M. Boura, 2017

Source: K.M. Alastal, 2012

(10)

Gaya akibat perubahan kecepatan

Rx

V₁ V₂

; Aliran menuju udara luar: p2 = 0

Gaya ini dapat digunakan untuk menentukan gaya tarik yang bekerja pada sambungan pipa ⇨ perencanaan baut & las pada sambungan tsb.

p

1

A

1

– p

2

A

2

– R

x

= ρ Q (V

2

- V

1

)

R

x

= p

1

A

1

– ρ Q (V

2

- V

1

)

(11)

Contoh soal

Hitung gaya tarik pada sambungan antara pipa berdiameter 6,5 cm dan curat yang melewatkan semburan air dengan kecepatan 30 m/dt dan diameter 2 cm.

Percepatan gravitasi = 9,81 m/dt²

Lihat contoh 1, halaman 167, Hidraulika I, Triatmodjo

● Air mengalir dari pipa (penampang 1) menuju curat (penampang 2)

● Gaya tarik sambungan yang ditanyakan adalah R dengan rumus penyelesaian:

R = p1.A1 – ρ.Q (V2 - V1)

● Menghitung Q (debit aliran): menggunakan karakteristik curat (Dcurat diketahui), karena volume air dari pipa ~ curat adalah tetap

● Menghitung V1 (kecepatan aliran pada pipa): berdasarkan persamaan kontinuitas (A1.V1

= A2.V2), dengan V2= kecepatan semburan air (diketahui)

● Menghitung p (tekanan) menggunakan persamaan Bernoulli dengan V1 hasil perhitungan dan z1 = z2 (elevasi pipa & curat sama, lihat gambar di buku teks)

p1: tekanan pada pipa

p2: tekanan pada curat, yaitu = 0 karena air disemburkan ke udara luar

↪ R dapat dihitung

Keterangan untuk penyelesaian soal:

(12)

Gaya akibat perubahan arah aliran

Arah y:

Arah x:

Perubahan arah aliran misalnya terjadi pada belokan pipa Contoh: pipa air, pipa pesat/penstock

V₁ p₁, A₁

V₂

p₂, A₂

W

&

(13)

Pipa pesat/penstock:

pipa penyalur air dari waduk menuju turbin PLTA

● Panjang pipa pesat dapat mencapai ratusan meter

● Jalur pipa pesat harus mengikuti topografi setempat sehingga:

➢ Memerlukan belokan

➢ Memerlukan sambungan

➢ Memerlukan konstruksi penyokong/pondasi

(14)

Contoh pipa pesat/penstock

New Jersey Pumped Storage Facility, USA

Source: Peripitus 2003

Tarraleah hydroelectric power station, Tasmania, Australia

Source: AlpinePainting

(15)

Contoh soal

Suatu belokan pipa dengan sudut 45⁰ berada pada suatu bidang horisontal.

Luas tampang lintang hulu (tampang 1) = 1m², dan hilir (tampang 2) = 0,5m². Perubahan tampang berangsur-angsur. Pipa tersebut mengalirkan air.

Kecepatan aliran di hulu = 10 m/dt, tekanannya = 2 kgf/cm². Berat jenis air = 1000 kgf/m³. Hitung besar dan arah gaya yang ditimbulkan oleh aliran air tersebut.

Koefisien koreksi energi & momentum dianggap = 1.

Keterangan untuk penyelesaian soal:

● Besar & arah gaya yang ditanyakan adalah R resultan: R^x & R^z (pipa terletak pada bidang horisontal, tidak ada komponen Ry) dan sudut α

Rx = p1.A1 – p2.A2 cos θ – ρ.Q (V2 cos θ – V1) Rz = W + p2.A2 sin θ + ρ.Q.V2 sin θ

● Parameter yang sudah diketahui: p1, A1, V1 , V2 & sudut belokan: θ

● Menghitung V2 menggunakan persamaan kontinuitas (A1.V1 = A2.V2)

● Menghitung Q (persamaan kontinuitas)

● Menghitung p2 menggunakan persamaan Bernoulli dengan z1 = z2 (bidang horisontal)

● R berdasarkan Rx & Rz dan sudut α dapat dihitung

W dapat diabaikan karena air mengalir di bidang horisontal sehingga W tetap di

(16)

Penggunaan persamaan momentum

Gaya akibat pancaran air

Pancaran air ini mengakibatkan:

⇒ air mengalir di atas plat/tidak dipantulkan kembali (V = 0)

⇒ air terpancar menuju segala arah

R

V

Pancaran air pada plat tetap, tegak lurus arah pancaran

A: luas penampang pancaran air V: kecepatan pancaran air

R = ‒ F

R = ‒ ρ Q (V1 ‒ V2)

→ V1 = V; V2 = 0

R = ‒ ρ Q (0 – V) R = ‒ ρ A V (0 – V) R = ρ A V ²

(17)

Penggunaan persamaan momentum

V, A

Pancaran air pada plat tetap bersudut dengan arah pancaran

(18)

Contoh soal

Suatu curat memancarkan air yang menghantam plat vertikal.

Debit aliran Q = 0,025 m³/dt dan diameter ujung curat 3 cm.

Hitung gaya horisontal yang diperlukan untuk menahan plat.

Apabila pancaran air menghantam plat dengan membentuk sudut 30⁰ terhadap plat, berapakah gaya penahan tegak lurus plat?

Keterangan untuk penyelesaian soal:

● Gaya yang ditanyakan adalah F yang merupakan perlawanan dari gaya R, besarnya ≥ R (untuk menahan gaya R), hanya arah gaya yang berbeda

F = ρ.Q (V2 – V1)

Bila pelat membentuk sudut α dengan arah aliran: F = ρ.Q (V2 – V1) sin α

● Parameter yang sudah diketahui: Q, V2 (V2 =0, pelat tetap), Dcurat & sudut kemiringan plat α

● Menghitung V1 menggunakan rumus Q = A1.V1

● F dapat dihitung

(19)

Penggunaan persamaan momentum

v A

Pancaran air pada plat bergerak, tegak lurus arah pancaran

Bila plat bergerak searah pancaran dengan kecepatan v, maka pancaran air tsb menghantam plat dengan kecepatan relatif = (V - v)

v: kecepatan plat

(20)

P enggunaan persamaan momentum

Pancaran air pada plat bergerak yang dipasang di sekeliling roda

V

v

Beberapa plat datar yang dipasang sedemikian di sekeliling roda yang memungkinkan pancaran air menghantam plat-plat tsb secara tangensial sehingga roda bergerak dengan kecepatan tangensial: v

Dianggap jumlah plat sedemikian sehingga seluruh pancaran air

mengenai plat, maka gaya R adalah:

v: kecepatan tangensial roda

(21)

Penggunaan persamaan momentum

Gaya a kibat pancaran air

V

v

Kerja yang dilakukan dalam fungsi waktu:

Energi kinetik pancaran air:

Efisiensi kerja:

Gaya akibat pancaran air pada plat bergerak yang dipasang di sekeliling roda

(22)

Gaya akibat pancaran air pada plat lengkung tetap

Pancaran air menghantam plat melalui titik 1 bersudut α dan keluar melalui titik 2 bersudut β.

Bila α = β = 0:

A α

β

V V

F

1 2

Sehingga:

Gaya pada plat lengkung =

2x gaya pada plat datar Gaya pada plat datar: R = ρ A V ²

R = ‒ F = ‒ ρ A V (‒ V cos β ‒ V cos α) R = ρ A V (V cos α + V cos β)

R = 2 ρ A V ²

(23)

Penggunaan persamaan momentum

Gaya akibat pancaran air pada plat lengkung bergerak

V_r

V v _β

β

F

Pancaran air dengan kecepatan V, menyebabkan pelat bergerak dengan

kecepatan v searah dengan arah pancaran (sumbu-x) ⇨ kecepatan relatif: Vr

Kerja yang dilakukan dalam fungsi waktu:

R = – F = – ρ A (V – v) [‒(V ‒ v) cos β ‒ (V ‒ v)]

R = ρ A (V – v)

²

(1 + cos β)

K = ρ A (V – v)

²

(1 + cos β) v

(24)

Gaya a kibat pancaran air pada plat lengkung bergerak – Kerja & Efisiensi

Vr

V_r

V v _β

β

F

Bila β=0 (plat lengkung ½ lingkaran):

Kmax bila v = ⅓^V

Energi kinetik: Ek = ½ ρ A V ³ Kerja: K = ρ A (V – v)² (1 + cos β) v

(25)

Contoh penggunaan energi pancaran air pada plat lengkung:

Pelton wheel

(salah satu tipe turbin)

Pelton wheel

Walchensee Hydroelectric Power Station, Germany

(26)

Contoh penggunaan energi pancaran air pada plat lengkung:

T urbin PLTA

Source: Voith Siemens Hydro Power Generation, 2003

Three Gorges Dam Turbine

Source: US-ACE, 2012

(27)

Latihan soal mandiri

Lengkapi/selesaikan contoh 1 ~ 3 di atas Contoh 4 & 5 (halaman 176 & 178)



Soal² latihan no. 1 ~ 10, halaman 181 – 182

Hidraulika I, Triatmodjo

Saran penyelesaian soal:

1. Gambarkan/buat sketsa persoalan yang diketahui

2. Tetapkan formulasi yang diperlukan untuk menjawab pertanyaan 3. Buat ‘jembatan’ formulasi menuju tahap 2 di atas

1) Tandai parameter² yang diketahui (lihat tahap 1) 2) Hitung parameter² yang belum diketahui

3) Selesaikan perhitungan