Nama: Moch Arifin Fahri NIM: 2022061015 Prodi: Informatika
1.Tentukan suatu persamaan non linier!
2. Selesaikan dengan metode grafik!
3. Selesaikan dengan metode tabulasi!
4. Selesaikan dengan Metode bagi dua!
Jawaban
1. berikut adalah beberapa contoh persamaan nonlinier:
- Persamaan Kuadratik:
\[ f(x) = x^2 - 4 \]
- Persamaan Eksponensial:
\[ f(x) = e^x - 3 \]
- Persamaan Trigonometri:
\[ f(x) = \sin(x) + \cos(x) \]
- Persamaan Logaritmik:
\[ f(x) = \log(x + 1) - 2 \]
- Persamaan Polinomial Nonlinier:
\[ f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1 \]
- Persamaan Transenden:
\[ f(x) = x \sin(x) - 1 \]
Itu adalah beberapa contoh persamaan nonlinier. Setiap persamaan di atas memiliki karakteristik yang berbeda dan memerlukan pendekatan numerik yang sesuai untuk
menemukan solusi atau akarnya.
2. Mari kita selesaikan contoh pertama \( f(x) = x^2 - 4 \) dengan metode grafik. Langkah- langkahnya adalah sebagai berikut:
- Plot fungsi \( f(x) = x^2 - 4 \) di grafik.
- Identifikasi titik-titik di mana fungsi \( f(x) \) memotong sumbu-x (akar-akarnya).
- Aproksimasi solusi dengan akurasi yang diperlukan.
Berikut adalah langkah-langkahnya secara lebih rinci:
1. Buatlah grafik fungsi \( f(x) = x^2 - 4 \).
2. Temukan titik-titik di mana garis fungsi memotong sumbu-x. Titik-titik ini adalah solusi atau akar persamaan.
3. Jika diperlukan, tingkatkan akurasi dengan memperkecil interval dan membuat grafik yang lebih terperinci.
Mari kita mulai dengan menggambar grafik fungsi \( f(x) = x^2 - 4 \).
Baik, berikut ini adalah contoh penggunaan Matplotlib di Python untuk menggambar grafik dari fungsi \( f(x) = x^2 - 4 \) dan mencari solusinya:
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Fungsi yang akan kita plot def f(x):
return x**2 - 4
# Membuat array x dari -5 hingga 5 x = np.linspace(-5, 5, 400)
# Menghitung nilai y untuk setiap nilai x y = f(x)
# Plot fungsi
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='$f(x) = x^2 - 4$') plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5) plt.title('Grafik $f(x) = x^2 - 4$')
plt.xlabel('x') plt.ylabel('f(x)') plt.grid(True) plt.legend() plt.show()
```
Dengan menjalankan kode di atas, Anda akan mendapatkan plot dari fungsi \( f(x) = x^2 - 4 \). Kemudian Anda dapat melihat di mana kurva memotong sumbu-x untuk
menemukan solusi atau akar dari persamaan tersebut. Jika Anda memerlukan bantuan lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya!
3. Metode tabulasi melibatkan membuat tabel nilai-nilai \( x \) dan \( f(x) \) dari fungsi yang diberikan, kemudian mencari di mana \( f(x) \) bernilai nol atau mendekati nol. Ini adalah metode yang cukup sederhana tetapi memakan waktu jika kita ingin presisi yang tinggi.
Mari kita gunakan metode tabulasi untuk menyelesaikan contoh \( f(x) = x^2 - 4 \):
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Buat tabel dengan kolom untuk nilai \( x \) dan \( f(x) \).
2. Pilih rentang nilai \( x \) yang relevan.
3. Hitung \( f(x) \) untuk setiap nilai \( x \).
4. Temukan nilai-nilai \( x \) di mana \( f(x) \) mendekati nol.
5. Jika diperlukan, interpolasi untuk meningkatkan presisi.
Mari kita buat tabel untuk rentang nilai \( x \) dari -5 hingga 5:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline -5 & 21 \\
-4 & 12 \\
-3 & 5 \\
-2 & 0 \\
-1 & 3 \\
0 & -4 \\
1 & -3 \\
2 & 0 \\
3 & 5 \\
4 & 12 \\
5 & 21 \\
\hline
\end{array}
\]
Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa \( f(x) \) mendekati nol saat \( x = -2 \) dan \( x = 2 \). Oleh karena itu, solusi dari persamaan \( f(x) = x^2 - 4 = 0 \) adalah \( x = -2 \) dan \( x = 2 \).
4. Metode bagi dua, atau metode pencarian akar bisection, adalah metode iteratif yang digunakan untuk menemukan akar dari suatu fungsi di dalam suatu interval tertentu.
Metode ini memanfaatkan teorema nilai perantara (intermediate value theorem) yang menyatakan bahwa jika suatu fungsi kontinu \( f(x) \) memiliki nilai yang berbeda pada dua titik dalam suatu interval, maka di dalam interval tersebut terdapat setidaknya satu titik di mana \( f(x) \) sama dengan nol.
Langkah-langkah metode bagi dua adalah sebagai berikut:
1. Tentukan interval awal \([a, b]\) di mana kita percaya terdapat akar dari fungsi \( f(x) \), di mana \( f(a) \) dan \( f(b) \) memiliki tanda yang berlawanan.
2. Hitung titik tengah \( c \) dari interval tersebut: \( c = \frac{{a + b}}{2} \).
3. Periksa nilai dari \( f(c) \):
- Jika \( f(c) \) mendekati nol (atau sesuai dengan toleransi yang ditentukan), maka \( c \) adalah akar yang diinginkan.
- Jika \( f(c) \) memiliki tanda yang sama dengan \( f(a) \), maka akar berada di dalam interval \([c, b]\).
- Jika \( f(c) \) memiliki tanda yang sama dengan \( f(b) \), maka akar berada di dalam interval \([a, c]\).
4. Ulangi langkah-langkah 2 dan 3 hingga mendapatkan akar dengan toleransi yang diinginkan.
Mari kita gunakan metode bagi dua untuk menyelesaikan contoh \( f(x) = x^2 - 4 \) dalam interval \([1, 3]\). Berikut adalah implementasinya dalam Python:
```python def f(x):
return x**2 - 4
def bisection_method(f, a, b, tol):
if f(a) * f(b) >= 0:
print("Interval ini tidak valid.") return None
while (b - a) / 2 > tol:
c = (a + b) / 2 if f(c) == 0:
return c elif f(c) * f(a) < 0:
b = c else:
a = c
return (a + b) / 2
# Tentukan interval awal dan toleransi a = 1
b = 3
toleransi = 1e-6
# Hitung akar menggunakan metode bagi dua akar = bisection_method(f, a, b, toleransi)
print("Akar dari persamaan f(x) = x^2 - 4 di dalam interval [1, 3] adalah:", akar)
```
Dengan menjalankan kode di atas, kita akan mendapatkan nilai akar yang mendekati solusi sebenarnya dari persamaan tersebut. Jika Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya!
