PRAKTIKUM 1 MODELING DAN ANALISIS KESALAHAN

Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma yang dapat dihitung dengan cepat dan mudah.Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik adalah pendekatan analisis matematis. Agar rasional tidak menyimpang jauh dari rasional analitik, hanya saja penggunaan grafik dan teknik komputasi yang mudah menjadi pertimbangan ketika menggunakan metode numerik. Kesalahan dalam solusi numerik harus terkait dengan seberapa dekat polinomial mendekati fungsi sebenarnya.

Karena algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik merupakan algoritma aproksimasi, maka akan muncul istilah iterasi dalam algoritma tersebut yaitu pengulangan proses perhitungan. Hubungan error dan settlement merupakan nilai aktual (correct value) x merupakan nilai perkiraan yang dihasilkan dari metode numerik. Gnuplot pada praktikum Metode Numerik nantinya akan digunakan untuk mengecek apakah program yang kita buat sudah memberikan hasil yang sesuai dengan yang diharapkan.

Plotting di gnuplot bisa menggunakan data yang kita simpan di file atau dengan menggunakan fungsi gnuplot seperti di atas. Penskalaan adalah proses penskalaan untuk mendapatkan nilai x yang akurat dalam persamaan linier sehingga Anda mendapatkan jawaban untuk nilai x di persimpangan sumbu x.

PERCOBAAN

LAPORAN RESMI

P RAKTIKUM 3

PENYELESEIAN PERASAMAAN NONLINIER P ART 2

TUJUAN PEMBELAJARAN Memahami dan mampu menerapkan

DASAR TEORI

TEORI PERSAMAAN NON LINEAR
PENYELESAIAN MENCARI NILAI AKAR DARI PERSAMAAN NON LINEAR 1. METODE TERTUTUP

Oleh karena itu, metode numerik tidak diperlukan untuk penyelesaiannya, karena dapat dilakukan dengan metode analitik.Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan yang mengandung unsur bilangan asli, seperti Kelihatannya sederhana, tetapi menyelesaikan persamaan nonlinear adalah metode iteratif untuk mencari akar.

METODE TABEL

Sederhananya, penyelesaian persamaan nonlinier dapat dilakukan dengan menggunakan metode tabel atau pembagian luas Dimana untuk x[a,b] atau x antara a dan b dibagi menjadi N bagian dan pada setiap bagian dihitung nilai f(x) untuk mendapatkan tabel. Dari tabel tersebut, jika f(xk)0 ada atau mendekati nol, dapat dikatakan bahwa xk adalah solusi dari persamaan f(xk)0. Jika tidak ada f(xk) sama dengan nol, maka carilah nilai f(xk) dan f(xk1) yang berlawanan tanda, jika tidak ditemukan, maka dikatakan tidak memiliki akar untuk x = [a,b], dan jika ditemukan, ada 2 cara untuk menentukan akar persamaan.

Jika tidak, xk1 ialah penyelesaiannya atau boleh dikatakan penyelesaiannya adalah antara xk dan xk1.

Gambar 3.2: Grafik Penetuan akar Persamaan

Algoritma Metode Tabel : (1) Defisikan fungsi f(x)

Metode Biseksi

Ide asli dari metode ini adalah metode tabel, dimana luas dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode halving ini membagi area menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian mana yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang kali hingga diperoleh akar persamaan. 22 Untuk menggunakan metode halving, tentukan terlebih dahulu batas bawah (a) dan batas atas (b), kemudian hitung nilai tengahnya. Setelah diketahui di mana terdapat akar, batas bawah dan atas diperbarui sesuai dengan rentang bagian yang memiliki akar.

Metode Regula Falsi

METODE TERBUKA
Metode Iterasi
Metode secant

Misalnya, untuk menyelesaikan persamaan x – ex = 0, persamaannya menjadi: x = ex atau g(x) = ex.g(x) inilah basis iterasi untuk metode iterasi sederhana ini. Metode iterasi sederhana dapat dijelaskan secara grafis sebagai berikut. Metode Newton Raphson adalah metode aproksimasi yang menggunakan titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan kemiringan atau gradien pada titik tersebut. Jalur akses n+1 ditulis sebagai Metode garis potong merupakan penyempurnaan dari metode aturan kesalahan dan metode Newton Raphson, dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit sebagai garis lurus yang melalui satu titik.

Gambar 3.11: Gambar penggunaan metode Iterasi Sederhana dengan Ms. Excel Algoritma Metode Iterasi Sederhana:

TUGAS PENDAHULUAN

P RAKTIKUM 4

PERSAMAAN LINIER

S IMULTAN _1

OBE pada baris ke-i + k dengan basis baris ke-i dapat ditulis sebagai :. dimana c adalah konstanta pengali yang diambil dari perbandingan nilai elemen ai,i dan ai+k,i. Isikan elemen matriks pada kolom ke-n (kolom terakhir dari matriks yang diperluas) dari matriks vektor b sebagai berikut :. asumsi: indeks array selalu dimulai dari 0). Isikan elemen matriks pada kolom ke-n (kolom terakhir dari matriks yang diperluas) dari matriks vektor b sebagai berikut.

Metode eliminasi Gaussian ini sebenarnya merupakan metode eliminasi yang sering digunakan dalam perhitungan manual, hanya saja teknik tersebut menggunakan model penulisan persamaan bukan menggunakan matriks yang diperluas. Teknik yang digunakan pada metode eliminasi Gauss-Jordan sama dengan metode eliminasi Gaussian yaitu menggunakan OBE (elementary row operation).

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut

Untuk kolom ke-i di mana: 0 <= i < n-1, lakukan BOTH (operasi baris elementer) pada baris DI BAWAH diagonal seperti berikut. Untuk baris ke-j, di mana : 0 <= j < n, lakukan operasi untuk menjadikan semua elemen pada diagonal bernilai 1 sebagai berikut. Untuk kolom ke-i di mana: 0 <= i < n, lakukan BOTH (operasi baris dasar) pada baris di atas diagonal sebagai berikut.

Produk ini membutuhkan tiga jenis bahan, yaitu papan kayu, cincin kayu, dan paku penguat. Berapa banyak meja, kursi, dan lemari yang dapat dibuat jika terdapat 108 papan kayu, 204 cincin kayu, dan 376 paku. Terapkan algoritme dan diagram alir yang diberikan dan dikerjakan dalam laporan awal, lalu selesaikan laporan akhir sesuai dengan laporan akhir yang ditentukan.

Jalankan program, kemudian tampilkan, tuliskan matriks yang ditambahkan dan hasil akhir penyelesaian persamaan linear simultan prosedur no.1. Tukarkan baris-baris matriks persamaan linear simultan: baris II dengan baris III dalam matriks asli yang diketahui. Jalankan program kemudian tampilkan, tuliskan matriks yang diperbesar dan hasil akhir penyelesaian persamaan linier secara simultan dari matriks yang telah diubah barisnya.

P RAKTIKUM 5

S IMULTAN 2

TUJUAN PEMBELAJARAN o Memahami dan mampu menerapkan

Atau dengan kata lain, proses iterasi berhenti jika selisih antara nilai xi(i=1 sampai n) dan nilai xi pada iterasi sebelumnya lebih kecil dari nilai toleransi error yang ditentukan. Masalah ini adalah "masalah pemintalan" yang harus ditanggapi dengan serius, karena kompiler yang salah akan menyebabkan iterasi menyimpang dan tidak mendapatkan hasil yang benar.

Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut

Hitung akar dari x dengan melakukan substitusi balik sebagai berikut:- Untuk indeks i di mana: 0 <= i < n. Terapkan algoritme dan bagan alir yang diberikan dan dikerjakan dalam laporan pendahuluan dan kemudian lengkapi lembar laporan akhir sebagaimana ditentukan dalam laporan akhir jadwal 2.

TUJUAN PEMBELAJARAN

Untuk menghitung luas daerah yang diarsir L perlu menggunakan analisis numerik, karena pola direpresentasikan dalam citra dengan faktor skala tertentu. Dalam metode ini, luas dibatasi oleh y = f(x) dan sumbu x dibagi menjadi N bagian dalam rentang yang akan dihitung x =  a,b. Kemudian tinggi dari setiap langkah ke-3 I, yaitu f(xi).Li, dihitung. Dalam metode integral Reimann, setiap subarea dinyatakan sebagai persegi panjang dengan tinggi f(xi) dan lebar xi.

Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan dari metode integrasi trapesium, hanya saja luas pemisahnya bukan trapesium, melainkan berbentuk dua buah trapesium dengan pemberat di tengahnya, seperti terlihat pada gambar berikut. Contoh algoritma Simpson excel 1/3 f(x)=e-xsin2x+1. 2) Tentukan nilai batas bawah a, batas atas b dan banyaknya pembagi N (3) Hitung. Mengimplementasikan algoritma yang diberikan dan dikerjakan pada laporan awal, kemudian menyelesaikan laporan akhir sesuai dengan laporan akhir yang ditentukan.

Tabel 6.1 perhitungan integral dengan metode Reimann

TUJUAN PEMBELAJARAN Memahami dan mampu menerapkan

Untuk dua kasus terakhir, perhitungan nilai turunan dapat dilakukan secara numerik (diferensiasi numerik atau turunan numerik). Sebenarnya, turunannya adalah batas dari hasil bagi selisih: yaitu mengurangkan dua nilai besar (f(x+h) - f(x) ) dan membaginya dengan angka kecil (h). Selanjutnya, jika fungsi f didekati dengan polinomial interpolasi p, perbedaan nilai fungsi mungkin kecil, tetapi turunannya mungkin sangat berbeda dari nilai turunan sebenarnya.

Hal ini masuk akal karena turunan numeriknya "halus", dan ini berbeda dengan integrasi numerik, yang kurang terpengaruh oleh ketidaktepatan nilai fungsi, karena integrasi pada dasarnya adalah proses pemulusan [KRE88].

Algoritma Selisih Maju adalah sebagai berikut

Metode perbedaan median adalah metode menangkap perubahan dari dua titik di sekitar titik yang diukur. Perhatikan bahwa beda maju ada di titik x-h:. Implementasikan algoritma yang diberikan dan dikerjakan pada laporan sebelumnya, kemudian lengkapi lembar laporan akhir seperti yang ditentukan pada formulir laporan akhir 3. Hitung juga nilai error dari selisih nilai eksak fungsi turunan dengan nilai fungsi turunan selisih mundur, pada akhir iterasi, dapatkan rata-rata error.

P RAKTIKUM 8

PENYELESAIAN K ASUS

PERCOBAAN

LAPORAN RESMI

BIASA 1

65 Penyelesaian persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan diferensial dan juga memenuhi kondisi awal yang diberikan pada persamaan tersebut. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial analitik, adalah umum untuk mencari solusi umum yang mengandung konstanta arbitrer dan kemudian mengevaluasi konstanta tersebut sehingga hasilnya sesuai dengan kondisi awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial analitik terbatas pada persamaan bentuk tertentu dan biasanya hanya untuk penyelesaian persamaan linier dengan koefisien konstan.

Untuk mendapatkan solusi tunggal diperlukan informasi tambahan, misalnya nilai y (x) dan atau turunannya pada nilai x tertentu. Jika semua n syarat diberi nilai x yang sama (misalnya x0), maka soal tersebut disebut soal nilai awal. Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat, jarak (interval) antar titik yang berurutan menjadi lebih kecil.

Berdasarkan nilai y0 pada titik x0 dan kemiringan fungsi pada titik-titik tersebut, nilai y1 pada titik x1 yang merupakan x dari x0 dapat dihitung. Kemudian titik (x1,y1) yang diperoleh digunakan untuk menghitung nilai y2 pada titik x2 yaitu x dari x1.

Gambar 9.1. Penyelesaian persamaan y dxdy 

BIASA 2

Metode Taylor adalah metode aproksimasi yang menggunakan deret Taylor sebagai bentuk perbaikan nilai untuk nilai fungsi secara keseluruhan dalam penyelesaian persamaan diferensial.

Algoritma dari Metode Taylor

Tuliskan daftar program yang dibuat dalam tugas persiapan dan kemudian selesaikan laporan akhir seperti yang ditunjukkan dalam formulir laporan akhir. Jalankan program dengan memasukkan berbagai nilai awal dan catat semua hasil yang diuji.

BIASA 3

Metode Runge Kutta 2

Algoritma Metode Runge Kutta 2

Metode Runge Kutta 4

Algoritma dari Metode Runge Kutta 4

P RAKTIKUM 12

PERSAMAAN D IFFERENSIAL

T INGKAT T INGGI

Algoritma Metode Runge Kutta 4

Dasar Teori : Interpolasi linier

Algoritma Interpolasi Linier

Interpolasi Kuadratik

83 Interpolasi kuadrat digunakan untuk mencari titik tengah 3 titik P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

Algoritma Interpolasi Kuadratik

Interpolasi Polinomial

Algoritma Interpolasi Polynomial : (1) Menentukan jumlah titik N yang diketahui

Interpolasi Lagrange

Algoritma Interpolasi Lagrange

Petunjuk

Tugas Pendahuluan

Regresi Eksponensial

92 (3) Hitung nilai a dan b menggunakan rumus dari regresi linier di atas. 5) Hitung fungsi eksponensial pada interval x dan langkah dx tertentu (6) Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi eksponensial.

Regresi Polinomial

TUGAS PENDAHULUAN (1) Judul: Regresi Polinomial

Laporan Akhir

P RAKTIKUM 16

LAPORAN RESMI

D AFTAR P USTAKA