metode numerik tkm4104

METODE NUMERIK TKM4104

Kuliah ke-4

SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 2

METODE NEWTON-RAPHSON

 Paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa.

 Tidak perlu mencari 2 harga f(x) yang mempunyai tanda berbeda.

 Konvergensi yang dihasilkan cepat.

 Perlu menghitung turunan fungsi f’(x).

METODE NEWTON-RAPHSON

Kelemahan :

 Tidak selalu menemukan akar (divergen).

 Kemungkinan mencari f’(x) sukar.

 Penetapan harga awal sulit.

METODE NEWTON-RAPHSON

Pendekatan Penurunan Rumus Metode Newton- Raphson :

 Geometri

 Bantuan deret Taylor

Geometri

 Uraikan f(x_r+1) disekitar x_r ke dalam deret Taylor

 Dipotong suku Orde-2

BANTUAN DERET TAYLOR

 Syarat mencari akar  f(x_r+1) = 0

atau

BANTUAN DERET TAYLOR

ALGORITMA METODE NEWTON-RAPHSON

CONTOH

Hitunglah akar f(x) = e^x – 5x² dengan metode

Newton-Raphson. Gunakan ε = 0.00001. Tebakan awal akar x₀ = 1

Penyelesaian:

f(x) = e^x – 5x² f’(x) = e^x – 10x



CONTOH

Hampiran akar x = 0.605267

METODE SECANT

 Tidak perlu mencari 2 fungsi dengan tanda berbeda.

 Kombinasi Metode Newton dan Metode Posisi Palsu.

 Tanpa mencari turunan fungsi f’(x)

METODE SECANT

METODE SECANT

1. x₀ dan x₁ dipilih 2. x₂ = x₁ + 

3. Segitiga ABC  segitiga DEA

= 

x - x

) (x )

(x

0 1

1

0 f

f

-  (x₁)

 f -

 

 









) (

)

(

_{1 0}

0 1

x x

x x

f f



 









) ( )

( _{1 0}

0 1

x x

x x

f

 = - f(x₁) f

maka : x₂ = x₁ - f(x₁)

METODE SECANT

 Algoritma Metode Secant = Algoritma Metode Newton

 Penggantian nilai dilakukan menurut urutan yang ketat, dengan nilai baru x_n+1 menggantikan x_n dan nilai x_n menggantikan x_n-1. Sehingga kadang dua nilai tersebut dapat pada posisi yang sama  kemungkinan divergen.

RINGKASAN

JENIS KELEBIHAN KEKURANGAN Metode

pengurun g

 Bisection

 Regula Falsi

- Selalu Konvergen

-Laju konvergen lambat

Metode terbuka

 Newton- Raphson

 Secant

-Laju konvergen cepat

- Cukup satu terkaan awal

- Turunan harus dicari secara

analitis

- Bisa divergen

KERJAKAN

Hitunglah akar f(x) = e^x – 5x² dengan metode Secant. Gunakan ε = 0.00001. Tebakan awal akar x₀ = 0,5 dan x₁ = 1 !!!