Soal Ujian Bidang Matematika

Pontianak, 10 Maret 2021

Soal Ujian Bidang:

UNIVERSITAS TANJUNGPURA 2021

MATEMATIKA

Bidang : Matematika Jenis Soal : Isian Singkat Jumlah Soal : 20

Waktu Ujian : 150 Menit

1. Tuliskan hanya jawaban akhir saja pada kotak yangtelah disediakan. Jawaban yang dikehendaki adalah jawaban benar yang terbaik.

2. Setiap soal bernilai 5 angka dan tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah.

3. Waktu tes adalah 120 menit. Selama waktu itu, Anda bolehmenyelesaikan soal yang manapun sesuka Anda.

4. Gunakan pena atau pulpen. Pensil hanya boleh digunakan untuk gambar atau sketsa.

5. Bekerjalah dengan cepat, tetapi cermat dan teliti. Anda sama sekali tidak diperkenankan menggunakan penghapus cair.

6. Di akhir tes, kumpulkan berkas soal ini secara utuh.

PETUNJUK

UNIVERSITAS TANJUNGPURA

KN MIPA UNTAN 2021 1 1. Misalkan 𝐴 matriks berukuran 3 × 3 sedemikian sehingga

Adj(𝐴) = [

−3 5 2

0 1 1

2 −8 −5

]

Tentukanlah 𝐴.

2. Jika matriks 𝐴 = [ 3 7

−1 −2] maka 𝐴⁵⁴+ 𝐴³¹+ 𝐴¹⁰ = ⋯

3. Suatu titik terletak pada ujung vektor 𝒑 = (2, 𝑘) dan titik lain terletak di ujung vektor 𝒒 = (−3,2). Tentukanlah nilai k sedemikian rupa sehingga 𝒑 dan 𝒒 ortogonal

4. Diberikan 𝑆 = {𝑓 ∈ 𝐶[0,3]| ∫ 𝑓(𝑥)₀³ 𝑑𝑥 = −𝑎}. Nilai 𝑎 yang memenuhi sedemikian sehingga 𝑆 merupakan subruang vektor dari 𝐶[0,3] adalah …

Hint: 𝐶[0,3] = himpunan ruang fungsi kontinu pada [0,3]

5. Diberikan persamaan 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃ + 𝑥₄ = 12, dengan 𝑥_𝑖 bilangan cacah. Banyaknya kemungkinan solusi adalah….

6. Berapa jumlah mahasiswa yang harus mengikuti mata kuliah matematika sehingga diyakinkan terdapat 6 orang akan mendapatkan nilai akhir yang sama jika ada 5 nilai, yaitu 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, dan 𝐸.

7. Misalkan 𝑛 adalah bilangan lima angka dan 𝑚 adalah bilangan empat angka yang didapat dengan menghapus angka yang ada di tengah dari bilangan 𝑛. Tentukan semua nilai 𝑛 yang memenuhi bahwa ^𝑛

𝑚 adalah bilangan bulat.

NOMOR PESERTA : Prodi :

NAMA PESERTA : NIM :

KN MIPA UNTAN 2021 2 8. Sebuah toko menjual 4 varian es krim rasa strawberi, coklat,

vanila dan susu. Untuk sampel akan dipilih paling banyak 3 rasa strawberi, paling banyak 3 rasa coklat, paling banyak 2 rasa vanilla dan paling banyak 2 rasa susu. Banyaknya cara untuk memilih sampel berukuran 5 adalah…

9. Tentukan nilai maksimum dari |𝑧³− 𝑧 + 2| dengan |𝑧| ≤ 1 dan 𝑧 suatu bilangan kompleks.

10. Berapakah nilai dari Re(𝑧) + 4 Im(𝑧) jika 𝑧 = (3 − 3𝑖)²⁰²⁰

11. Hitunglah

∫ 𝑧

(𝑧² − 1)²(𝑧²+ 1)𝑑𝑧

𝛾

dimana 𝛾: |𝑧 − 1| = √3 dan 𝑧 ∈ ℂ

12. Tentukan semua bilangan kompleks 𝑧 yang memenuhi persamaan 𝑧² = 𝑖

13. Misalkan disuatu pulau terdapat 3 (tiga) jenis manusia, baik, jahat dan normal. Orang baik selalu berkata jujur, orang jahat selalu berkata bohong dan orang normal kadang jujur, kadang bohong.

Detektif bertanya kepada 3(tiga) orang di pulau tersebut, sebutlah A, B dan C sebagai bagian dari investigasi suatu kasus kriminal.

Detektif mengetahui bahwa salah satunya adalah pelaku kriminal.

Detektif juga mengetahui bahwa pelaku kriminal adalah orang baik. Sebagai tambahan, detektif mendapatkan pernyataan:

A:” saya tidak bersalah”,

B:” Apa yang A katakan adalah benar”, C:” B bukan orang normal”.

Siapakah pelaku kriminal tersebut?

14. Jika R ring komutatif dengan karakteristik 4, bentuk sederhana dari ekspansi (𝑎 + 𝑏)⁵ adalah

Catatan: Karakteristik suatu ring 𝑅 adalah suatu bilangan bulat positif terkecil, misalnya 𝑛 (jika ada) sedemikian hingga untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑅 berlaku 𝑛𝑎 = 0

UNIVERSITAS TANJUNGPURA

KN MIPA UNTAN 2021 3 15. Diberikan 𝑍₁₂= {0, 1, 2, … , 11} suatu grup terhadap operasi

penjumlahan modulo 12. Sebutkan semua elemen berorde 3 pada 𝑍₁₂.

Catatan: Order dari suatu elemen 𝑎 adalah suatu bilangan bulat positif terkecil, misalnya 𝑛 (jika ada), sedemikian hingga 𝑎^𝑛 = 0.

16. Banyaknya pembagi nol di ℤ₂₀₂ terhadap perkalian adalah . . .

17. Diberikan fungsi 𝑓: [0,1] → ℝ yang didefinisikan dengan 𝑓(𝑥) = {

sin 𝑥

𝑥 , 0 < 𝑥 ≤ 1 𝑎, 𝑥 = 0

Nilai 𝑎 yang memenuhi sedemikian sehingga 𝑓 kontinu pada [0,1] adalah ⋯

18. Tentukan semua bilangan bulat positif 𝑛 sedemikian sehingga 𝑛²𝑥⁴+ 4𝑥 + 3 = 0

mempunyai akar real.

19. Diberikan barisan { ^𝑛

𝑛+1}, 𝜀 =¹

210⁻⁵. Nilai 𝐾(𝜀) yang memenuhi sedemikian sehingga barisan tersebut konvergen ke 1 adalah ⋯ Catatan: Barisan {𝑥_𝑛} dikatakan konvergen ke 𝑥 jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝐾(𝜀) ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ dengan 𝑛 ≥ 𝑛₀ berlaku |𝑥_𝑛− 𝑥| < 𝜀.

20. Diberikan 0 < 𝑥₀ < 1 dan 𝑥_𝑛+1 = 𝑥_𝑛− 𝑥_𝑛² untuk 𝑛 ≥ 0.

Tentukan nilai dari

𝑛→∞lim 2𝑛𝑥_𝑛.