Dokumen Metode Numerik

Metode Numerik

Ellyaoisa Rebecca 2110922045

Kelas B

Tugas 9

Persamaan apa saja (boleh selain polinomial), cari solusi eksak, kerjakan dengan metode trapezoidal dengan nilai

n=1, 2, 3, 4. Tentukan batas dan komentari

Penyelesaian integrasi berikut dalam batasan x=0 sampai x=1,6

Solusi eksak dengan metode integrasi :

Solusi dengan menggunakan Trapezoidal Rule :

׬₀^1,6𝑋⁵− 5𝑋⁴+ 7𝑋³− 3𝑋²+ 2dx 2,88324266667

𝐼 = (𝑏 − 𝑎)𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏) 2 𝑏 = 0 𝑎 = 0

𝑓 𝑥 = 𝑋⁵− 5𝑋⁴+ 7𝑋³− 3𝑋²+ 2 𝑓 𝑎 = 2

𝑓 𝑏 = 0,70976

𝐼 = 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏

2 = 1,6 − 0 2 + 0,70976

2 = 2,16781 𝐸𝑟𝑟 = 2,883 − 2,168

2,883 × 100% = 24,813%

𝑓 𝑥 = 𝑋⁵− 5𝑋⁴+ 7𝑋³− 3𝑋²+ 2

Penyelesaian integrasi dalam Batasan x=0 dan x=1,6 dengan multiple trapezoidal rule dimana n=2, n=3, dan n=4 𝑓 𝑥 = 𝑋⁵− 5𝑋⁴+ 7𝑋³− 3𝑋²+ 2

ℎ = 𝑏 − 𝑎

𝑛 = 1,6 − 0

2 = 0,8 𝑥0 = 𝑎 = 0

𝑥1 = 𝑥0 + ℎ = 0 + 0,8 = 0,8 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 0,8 + 0,8 = 1,6 𝑥0 = 0 𝑓 𝑥0 = 2

𝑥1 = 0,8 𝑓 𝑥1 = 1,94368 𝑥2 = 1,6 𝑓 𝑥2 = 0,70796 𝐼 = 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑥0 + 2 σ_𝑖=1^𝑛−1𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 𝑥𝑛

2𝑛

𝐼 = 1,6 − 0 𝑓 𝑥0 + 2 σ_𝑖=1²⁻¹𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 𝑥2 2 × 2

𝐼 = 1,6 𝑓 𝑥0 + 2𝑓(𝑥1) + 𝑓 𝑥2 4

𝐼 = 1,6 2 + 2(1,94368) + 0,70796

4 = 2,638128

𝐸𝑟𝑟 = 2,883 − 2,638

2,883 × 100% = 8,719%

Untuk n=2 ℎ =𝑏 − 𝑎

𝑛 = 1,6 − 0

3 = 0,5333333 Untuk n=3

𝑥0 = 𝑎 = 0

𝑥1 = 𝑥0 + ℎ = 0 + 0,533 = 0,533 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 0,533 + 0,533 = 1,066 𝑥3 = 𝑥2 + ℎ = 1,066 + 0,533 = 1,599

𝑥0 = 0 𝑓 𝑥0 = 2

𝑥1 = 0,533 𝑓 𝑥1 = 1,84715 𝑥2 = 1,066 𝑓 𝑥2 = 1,99043 𝑥3 = 1,599 𝑓 𝑥3 = 0,71474

𝐼 = 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑥0 + 2 σ_𝑖=1^𝑛−1𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 𝑥𝑛 2𝑛

𝐼 = 1,6 − 0 𝑓 𝑥0 + 2 σ_𝑖=1³⁻¹𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 𝑥3 2 × 3

𝐼 = 1,6 𝑓 𝑥0 + 2(𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 ) + 𝑓 𝑥3 6

𝐼 = 1,6 2 + 2(1,84715 + 1,99043) + 0,71474

= 2,77064

ℎ = 𝑏 − 𝑎

𝑛 =1,6 − 0

4 = 0,4 Untuk n=4

𝑥0 = 𝑎 = 0

𝑥1 = 𝑥0 + ℎ = 0 + 0,4 = 0,4 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 0,4 + 0,4 = 0,8 𝑥3 = 𝑥2 + ℎ = 0,8 + 0,4 = 1,2 𝑥4 = 𝑥3 + ℎ = 1,2 + 0,4 = 1,6

𝑥0 = 0 𝑓 𝑥0 = 2

𝑥1 = 0,4 𝑓 𝑥1 = 1,85024 𝑥2 = 0,8 𝑓 𝑥2 = 1,94368 𝑥3 = 1,2 𝑓 𝑥3 = 1,89632

𝐼 = 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑥0 + 2 σ_𝑖=1^𝑛−1𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 𝑥𝑛 2𝑛

𝐼 = 1,6 − 0 𝑓 𝑥0 + 2 σ_𝑖=1⁴⁻¹𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓 𝑥4 2 × 4

𝐼 = 1,6 𝑓 𝑥0 + 2(𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + 𝑓 𝑥3 ) + 𝑓 𝑥4 8

𝐼 = 1,6 2 + 2(1,85024 + 1,94368 + 1,8963) + 0,70796

8 = 2,81805

𝑥4 = 1,6 𝑓 𝑥4 = 0,70976

𝐸𝑟𝑟 = 2,883 − 2,818

2,883 × 100% = 2,260%

Komentar

Dalam menentukan nilai eksak suatu persamaan integral dan diferensial kita sering mengalami kesulitan dalam mencari penyelesaiannya dan juga membutuhkan waktu yang lebih banyak. Banyak diantara persamaan tersebut bahkan tidak dapat diselesaikan. Setelah ditemukannya suatu metode penyelesaiannya, yaitu metode trapezoidal. Metodenya adalah dengan membagi ke dalam beberapa daerah luasan/integrasinya, kemudian dijumlahkan luasan yang dibagi-bagi tersebut, itulah hasilnya.

Kekurangannya metode ini adalah menghasilkan perbedaan nilai dengan nilai eksak, bergantung dari

seberapa banyak kita membagi daerahnya.