TS PENGGUNAAN METODE CROSS PADA STRUKTUR

1

! ! "^#)

1) Dosen Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Untar Email: jemyw@ft.untar.ac.id

2) Dosen Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Untar Email: fannywatii@ft.untar.ac.id

! " ! !

# $

Kata kunci: kekakuan, koefisien distribusi, faktor pemindah, momen primer, goyangan

! " # "

$ % &

% # " '

( %

$

Metode Cross ini awalnya diperkenalkan oleh Prof. Hardy Cross pada tahun 1930 yang merupakan suatu metode dalam penyelesaian analisis struktural balok kontinu dan kerangka kaku statis tak tentu. Pada hakekatnya metode ini merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persaman.persamaan serempak di dalam metode defleksi dengan pendekatan berturut.turut, dengan ketelitian cukup baik dengan syarat iterasi yang dilakukan mimimal lima cycle/putaran (Chu, 1985: 262).

# $

Dalam metode Cross (distribusi moment) terdapat beberapa pengertian sebagai berikut:

%Faktor pemindah/koefisien induksi (c )

Suatu faktor pemindah terhadap perataan momen pada satu titik untuk mendapatkan momen pada ujung titik lainnya.

. Faktor distribusi ( )

Perbandingan besaran momen yang terdistribusi pada batang.batang yang bertemu di satu titik

2 atau koefisien distribusi untuk besaran momen.momen yang diterima batang.batang yang

bertemu pada satu titik percabangan.

. Faktor kekakuan ( )

suatu faktor pengali yang didapat dari kekakuan balok untuk menentukan besarnya momen di satu titik yang diperlukan untuk berputar sudut dititik tersebut sebesar satu radial.

. Momen primer ( )

Besaran momen pada ujung balok akibat beban luar dan akibat pergoyangan.

& $ $

&

1. Hitung momen primer setiap balok akibat beban merata maupun terpusat.

2. Hitung momen primer pada kolom akibat pergoyangan.

3. Hitung nilai kekakuan lentur (faktor kekakuan) setiap balok dan kolom.

4. Hitung koefisien distribusi balok dan kolom pada setiap titik kumpul dengan faktor pemindah (carry over factor) untuk balok dan kolom.

5. Tahap I (akibat portal tidak bergoyang)

Buat tabel Cross dan lakukan distribusi momen akibat beban luar sehingga diperoleh momen.

momen ujung.

6. Tahap II. (akibat portal bergoyang)

Buat tabel Cross dan lakukan distribusi momen akibat pengaruh pergoyangan sehingga diperoleh momen.momen ujung.

7. Dari tahap I dan II dicari besar reaksi pendelnya, kemudian kedua reaksi pendel ini dijumlahkan dan disamakan dengan nol dan akan didapatkan suatu angka konstanta.

8. Momen akhir dari ujung.ujung balok dan kolom didapat dengan mengkombinasikan momen.

momen akibat tahap I dan II dengan memasukkan angka konstanta pada tahap II.

9. Dengan cara freebody kemudian dihitung besaran.besaran reaksi dan gaya.gaya dalam, terakhir digambar bidang Momen. Lintang dan Normal.

10. Untuk menghentikan pendistribusian momen, paling sedikit sudah melakukan 5 putaran dalam perataan momen dan momen yang didistribusikan sudah mencapai nilai yang kecil dibandingkan dengan nilai awal dari momen itu sendiri.

& #

Untuk mendapatkan besaran % & ' (momen primer), Carry over factor (COF) dan kekakuan balok (stiffness factor) akibat berbagai jenis beban pada balok dan kolom dengan kekakuan yang tidak merata, maka perlu dicari terlebih dahulu besar putaran sudut yang terjadi.

Untuk mendapatkan rumus deformasi/putaran sudut akibat berbagai beban digunakan metode unit load. Penurunan rumus tersebut sudah dibahas pada penulisan yang diajukan Wijaya. J (2013).

' '( () ! ') *(!+ , - ! , . ) /0 -(! ' )(,(! ( !(0 0 , ) * " * ' 0(!1

24EI θ PL

2 A =

96EI θ 5PL

2 B=

Gambar 1. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P ditengah bentang A

1/2 L 1/2 L L

P

2EI EI B

3 256EI

θ 7qL

3

A= (+)

EI 256 θ 9qL

3

B = (.)

EI 16

L θ_A= 3M^A (.)

8EI L θ_B= M^A (+)

8EI L

= M

θ_A ^B (.)

EI 16

L θ_B= 5M^B (+)

) + EI ( 64

L M

=17

θ_A ^A (.)

EI 64

L M

=7

θ_B ^A

) . EI ( 64

L M

=7

θ_A ^B (+)

EI 64

L M

=17

θ_B ^B

EI qL 256

= 7 θ

3

A (+)

EI qL 256 . 7

= θ

3

B (.)

Gambar 2. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban

Gambar 3. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen M_A di titik A

Gambar 4. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MB di titik B

EI 1/4 L

q

2EI 1/2L

A 1/4 L

L

EI B

Gambar 5. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MA di titik A

Gambar 6. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MB di titik B

Gambar 7. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban merata q sepanjang bentang q

1/2 L 1/2 L

L

A 2EI EI B

A B

1/2L

1/4L 1/4L

EI

θA θB

EI 2EI

MB

A B

1/2L

1/4L 1/4L

EI

θA 2EI θB

MAEI θA

1/2 L EI 1/2 L

2EI

MB

L

A ^θB B

1/2 L EI 1/2 L

2EI M_A

L

A ^{θA θB} B

4 EI

PL 128

= 5 θ

2

A (+)

EI PL 128 . 5

= θ

2

B (.)

& & 2 3

& &

FE PL

66 M_AB =−10

FE PL

66 M_BA = 7

& & # FE _AB qL²

176 M =−17

FE _BA qL²

176 M = 13

& & &. FE PL

96 .10

= M_AB

FE PL

96

=10 M_BA

& & 4. FE _AB qL²

96 . 7

= M

FE _BA qL²

96

= 7 M A B

q

1/2 L 1/2 L

L

2EI EI

Gambar 8. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P

Gambar 9. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban merata q

2EI EI EI

MA

A

MB

P

B

1/4 L 1/2 L 1/4 L

L

EI EI 1/4 L

q 2EI 1/2 L M_A

A

MB

1/4 L L

B

Gambar 7. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P ditengah bentang

2EI 1/2 L MA

A

M_B 1/2 L

C L P

EI B

Gambar 10. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P

Gambar 11. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban merata q

1/2L P

EI 1/4 L

2EI 1/2L

A 1/4 L

L

EI B

5

& & 5

FE _{A 2}

11L C 112EI .

= M

FE _{B 2}

11L C .80EI

= M

:

4 )**+, * - 6 . -/, * -

6 $

Kekakuan balok AB adalah 11L 80EI

Kekakuan balok BA adalah 11L 48EI

Kekakuan balok AB adalah 15L 68EI

ekakuan balok BA adalah 15L 68EI

5 +

Analisis free body dilakukan untuk menghitung reaksi perletakan akibat beban luar dan momen ujung pada setiap balok.

1. Nyatakan struktur dalam bentuk batang.batang yang bebas.

2. Hitung besarnya reaksi perletakan setiap ujung balok akibat beban luar dan momen ujung yang telah diperoleh.

3. Jumlahkan semua hasil perhitungan langkah 2 untuk memperoleh besarnya reaksi perletakan total.

7 #35 A

1/2 L 1/2 L

2EI EI B

EI 2EI 1/4 L

7 83 8 7 83 8

A

1/2 L 1/4 L EI B MB

RAB = ∆/L L

1/2 L 1/2 L EI

2EI

∆

A B

MA

Gambar 12. Struktur Kolom Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI dengan pergoyangan sebesar ∆

Gambar 13. Carry Over Factor untuk Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI

Gambar 14. Carry Over Factor untuk Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI 7 #3&

6 4. Dengan data.data pada langkah 2, hitung momen maksimum yang terjadi pada setiap balok.

5. Gambar bidang momen, lintang dan normal.

9 $ $

Edc : Edb = 15(8)

68EI : 11(6)

48EI = 0.5667 : 0.7273

E_dc = 0.4379 dan E_db = 0.5621

: , , ; ! 6

FEMCD = (60)(8) =.280kNm 96

. 7

= 96qL

. 7 ^{2 2} FEMDC = qL =+280kNm

96

7 ₂

Tabel 1. Perataan momen akibat beban luar

Titik A C D B

Batang AC CA CD DC DB BD

Koef. Dist 0 0.5621 0.4379 0.4379 0.5621 0

FEM 0 0 .280 +280 0 0

BALANCE 0 157.388 122.612 .122.612 .157.388 0

COF 104.9253 .50.4873 50.4873 .104.9253

BALANCE ... ... ... ... ... ...

COF ... ... ... ... ... ...

BALANCE 0 0.0300 0.0234 .0.0234 .0.0300 0

COF 0.02 .0.02

M. AKHIR 128.002 192.0031 .192.0031 192.0031 .192.0031 .128.002 P =100 kN

C

q=60 kN/m

2 m B D

A 2 m 4 m

3 m 3 m

2EI 2EI

2EI EI EI

EI EI

. -

Akibat portal tidak bergoyang (titik D dipegang oleh pendel horisontal)

; < ) , )!' *() Eca : Ecd =

11(6) 48EI :

15(8)

68EI = 0.7273 : 0.5667

E_ca = 0.7273/1.294 = 0.5621 dan E_cd = 0.5667/1.294 = 0.4379

7 )

(← kN 3342 . 53

= H

6

192.0031 +

128.002

= H

) (→ kN 3342 . 53

= H

6

0031 . 192 + 002 .

=128 H

B B A A

Reaksi pendel di D

∑ H = 0

HA . HB + 100 . HDo

= 0 53.3342 . 5.3342 + 100 . HDo

= 0 HDo

= 100 kN ( ) . -

Akibat portal bergoyang (pendel di titik D dilepas)

AC 2

L 11

C EI

=112

M (.)

CA 2

L 11

C EI

=80

M (.)

C X

=4950 EI

C 80

11 . (6) 1000X

= EI

L 11

C EI

=80 X 1000

= M

2 CA 2

1400X

= M

C X 4950 ) 6 ( 11

C

= 112 L 11

C EI

=112 M

AC

2 AC 2

HA

192.0031

128.002 A C

6 m 6 m

H_B 128.002

192.0031 D

B

M_CA

RAB = ∆/L L

1/2 L 1/2 L EI

2EI

∆

A C

MAC

1000 X C

2 m B D

A 2 m 4 m

3 m 3 m

2EI 2EI

2EI

EI EI

EI

EI ∆

∆

α(X) 1000 X

α(X)

8 Tabel 2. Perataan momen akibat goyangan

Titik A C D B

Batang AC CA CD DC DB BD

Koef. Dist 0 0.5621 0.4379 0.4379 0.5621 0

FEM .1400X .1000X 0 0 .1000X .1400X

BALANCE 0 562.1X 437.9X 437.9X 562.1X 0

COF 374.7333X 180.3118X 180.3118X 374.7333X

BALANCE ... ... ... ... ... ...

COF ... ... ... ... ... ...

BALANCE 0 .0.1071X .0.0835X .0.0835X .0.1071X 0

COF .0.0714X .0.0714X

M. AKHIR .1082.5242X .523.7863X 523.7863X 523.7863X .523.7863X .1082.5242X

Reaksi pendel di D akibat goyangan

) (← X 7184 . 267

= H

6

1082.5242X +

523.7863X

= H

) (← X 7184 . 267

= H

6

X 5242 . 1082 + X 7863 .

= 523 H

B B' A' A'

Reaksi pendel di D

∑ H = 0

H_A' + H_B' = H_D^' H_D^' = 535.4368X ( )

Syarat H_D^o + H_D' = 0 .100 + 535.4368X = 0 X = 0.186763 HA'

523.7863X

1082.5242X A

C

6 m 6 m

HB,

1082.5242X 523.7863X D

B

9 Tabel 3. Momen total akhir

TITIK A C D B

BATANG AC CA CD DC DB BD

Akibat Portal tak Bergoyang

128.002 192.0031 .192.0031 192.0031 .192.0031 .128.002

Akibat Portal bergoyang

.1082.5242X .202.1755

.523.7863X .97.8239

523.7863X 97.8239

523.7863X 97.8239

.523.7863X .97.8239

.1082.5242X .202.1755 Momen total

akhir .74.1735 94.1792 .94.1792 289.827 .289.827 .330.1775

0) - '/ ! 0

/;0

kN 544 . 215

= V

8

289.827 .

1792 . +94 ) 8 )(

60 2(

= 1 V

C C

kN 456 . 264

= V

8

1792 . 94 . 289.827 +

) 8 )(

60 2(

= 1 V

D D

;/;

kN 3343 . 3 6 =

74.1735 .

1792 .

=94

H_A ( ) =103.3341kN

6

827 . 289 + 1775 .

=330

H_B ( )

VA = VC = 215.544 kN ( ) VB = VD = 264.456 kN ( )

"' " , / 8 m

B C D

A x

q =60

VD

V_C VC

V_A VB

HB

94.1792 289.827

74.1735

330.1775

94.1792 289.827

HA

VD

6 m 6 m

N

215.544

264.456 103.3341

M

330.1775

289.827

292.9809 74.1735

94.1792

94.1792 289.827

L

3.3343

103.3341

264.456 215.544

10 1. Hasil perhitungan dengan metode Cross ini cukup akurat dengan syarat perhitungan perataan

momen harus dilakukan minimal lima kali dan diambil empat angka dibelakang desimal.

2. Dalam penyelesaian dengan metode Cross ini terlebih dahulu harus dicari besar faktor kekakuan, momen primer (baik akibat beban luar yang bekerja maupun akibat pengaruh pergoyangan), koefisien distribusi dan besaran carry over factor (koefisien induksi).

3. Untuk kondisi beban dan kekakuan yang lebih kompleks, bisa menggunakan bantuan program matematika dalam mencari faktor kekakuan, besaran momen primer (baik akibat beban luar yang bekerja maupun akibat pengaruh pergoyangan), koefisien distribusi dan besaran carry over factor (koefisien induksi).

4 Hasil perhitungan di atas sudah dibuktikan kebenarannya dengan perhitungan program komputer Grasp (Graphical Rapid Analysis of Structures Program).

' 0 ) !.; 6 =>> , ' , McGraw

Hill International Editions.

. / , ? // (1978), ( '

,London Chapman and Hall,.

;;) ; 6 =5& , Perhitungan dengan' , penerbit buku teknik H. STAM.

; ; ; 6 =8 , Ilmu Gaya, Bangunan.bangunan Statis Tak Tertentu, Penerbit Djambatan.

@ " 6 =>5 , ) , Mc Graw Hill International Book

Company,.

@ + ! " ! 6#A & , Penggunaan Metode Cross Pada Balok dengan Kekakuan Tidak Merata" Jurnal Kajian Teknologi Volume 9 Nomor 3, 167.178.

@ + ! " ! 6#A 4 , Penggunaan Metode Slope Deflection Pada Struktur

Statis Tak Tentu dengan Kekakuan yang Tidak Merata dalam Satu Balok" Jurnal Kajian Teknologi Volume 10 Nomor 2, 93.100.