TUGAS 7 GRAF mata kuliah metamatika diskrit

(1)

Nama : Ira Ika Damayanti NPM : 19310048

TUGAS 7 ON MIPA PT

1. Diberikan derajat Graf sederhana G atas 6 titik v1, v2,…v5. Bila G mempunyai 8 sisi dan derajat dari titik v1, v2,….v5 masing-masing adalah 1,3,3,3,dan 2 , maka derajat dari titik v6 adalah…

Penyelesaian :

Dketahui G(V,E) = G(6,8).

Perhatikan bahwajumlah derajat titik suatu graf sama dengan dua kali banyak sisinya.

Jadi,

∑

^v^∈^{V deg}^(v⁾⁼²^E

deg(v1)+deg(v2)+deg(v3)+deg(v4)+deg(v5)+deg(v6)=2×8 1+3+3+3+2+deg(v6)=16

2. Misalkan G adalah graf dengan barisan derajat : (4,3,2,1). Tentukan banyaknya sisi G.

Penyeelsaian :

Menurut lemma jabat tangan (handshaking lemma), jumlah derajat titik pada suatu graf sama dengan 2 kali banyak sisi. Diketahui bahwa jumlah derajat itik-titik graf itu adalah 4+3+2+1=10. Dengan demikian, banyak sisi di G adalah..

1

2×10=5

3. Misalkan G adalah suatu graf yang dipresentasikan seperti gmbar berikut :

Nyatakan matriks keterhubungan langsung dan matriks keterkaitan dari graf diatas.

Penyelesaian :

(2)

Misalkan A(G) menyatakan matriks keterhubungan langsung (adjacency matrix) dari graf G, Maka A(G) dapat dinyatakan sebagai berikut :

A(G) =

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44

=

0 1 0 1

1 0 1 2

0 1 0 1

1 2 1 0

Aij menyatakan banyaknya sisi yang menghubungkan titik I dan titik j, misalnya a24 berarti banyak sisi yang menghubungkan titik 2 dan 4, yaitu ada 2 sisi.

Selanjutnya, misalkan I(G) menyatakan matriks keterkaitan (incidency matrix) dari graf G, maka I(G) dapat dinyatakan sebagai berikut :

I(G) =

a11 a12 a13 a14 a15 a16 a21 a22 a23 a24 a25 a26 a31 a32 a33 a34 a35 a36 a41 a42 a43 a44 a45 a46

=

1 0 0 1 0 0

1 1 0 0 1 1

0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 1

Catatan : aij menyatakan banyaknya keterkaitan titik I pada sisi j. Misalkan a43 bernilai 1 menyetakana ada 1 sisi, yaitu sisi 3 yang terkait dengan titik 4.

4. Misalkan G graf sederhana dengan n titik dan untuk setiap titik v di G, berlaku d(v)≥1

2(n−1). Buktikan bahwa G terhubung.

penyelesaian:

Misalkan G adalah graf sederhana dengan n titik. Andaikan bahwa G tak terhubung, misalnya terdiri dari setidaknya 2 komponen. Masing-masing komponen graf setidaknya memiliki 1 titik dan berdasarkan hipotesis (minimal 1

2(n−1) titik), banyak titik pada masing-masing komponen adalah

1+1

2(n−1)=1

2(n+1). Jadi, jumlah titik pada graf G adalah

(3)

1

2(n+1)+1

2(n+1)=n+1. Ini kontradiksi dengan asumsi awal bahwa

graf G memiliki n titik. Jadi, pengandaian diingkari. Terbukti bahwa graf G terhubung.