Jenis
Jenis
–
–
Jenis Graf dan Graf Bipartisi
Jenis Graf dan Graf Bipartisi
Edi Sutomo Edi Sutomo
email :
email : edisutomo1985@gmail.comedisutomo1985@gmail.com twitter
twitter : : @ed_1st@ed_1st
Abstrak
Abstrak mekalah ini membahas tentang pengklasifikasian grafmekalah ini membahas tentang pengklasifikasian graf serta termasuk mengupas tentang Graf Bipartisi. secara umum graf serta termasuk mengupas tentang Graf Bipartisi. secara umum graf dapat dikelompokan berdasar ada tidaknya
dapat dikelompokan berdasar ada tidaknya edgeedge yang paralel atau yang paralel atau loop, jumlah titiknya, ada atau tidaknya arah pada sisinya, ada atau loop, jumlah titiknya, ada atau tidaknya arah pada sisinya, ada atau tidak bobot pada sisinya, serta ada atau tidaknya korelasi dengan tidak bobot pada sisinya, serta ada atau tidaknya korelasi dengan graf yan
graf yang lain. g lain. Selain beSelain berdasarkan ada rdasarkan ada atau tidaknya atau tidaknya sisi yangsisi yang paralel
paralel atauatau loop,loop, graf dapat pula di-kelompokan berdasarkan graf dapat pula di-kelompokan berdasarkan berdasarkan
berdasarkan arah arah sisinya sisinya dan dan bisa bisa juga juga ditinjau ditinjau dari dari jumlah jumlah titiktitik ((vertexvertex) yang menyusun suatu graf. Terdapat beberapa poin dari) yang menyusun suatu graf. Terdapat beberapa poin dari pembahasan
pembahasan graf graf bipartisi bipartisi suatu suatu grafgraf
yaituyaitu himpunan titiknyahimpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan dan setiap pasang dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan dan setiap pasang titik dititik di
(demikian pula dengan titik (demikian pula dengan titik – – titik di titik di
) tidak bertetangga.) tidak bertetangga. Kata Kunci:Kata Kunci:Jenis Graf, Graf BipartisiJenis Graf, Graf Bipartisi
1.
1. PendahuluanPendahuluan
Teori graf sebagai sub cabang dari matematika diskrit dengan objek kajian Teori graf sebagai sub cabang dari matematika diskrit dengan objek kajian segala sesuatu
segala sesuatu yang yang berbeda dberbeda dan an saling saling terpisah (lawan terpisah (lawan dari dari kontinu)kontinu) dipergunakan
dipergunakan untuk untuk menampilkan menampilkan obyek-obyobyek-obyek ek diskrit ddiskrit dan han hubungannya.ubungannya. Representasi visual
Representasi visual dari gdari graf adalah raf adalah dengan dengan menyatakan menyatakan obyek obyek sebagaisebagai noktah,
noktah, bulatan atau bulatan atau titik, sedangtitik, sedangkan hkan hubungan ubungan antara obyek antara obyek dinyatakandinyatakan dengan garis (Munir, 2003).
dengan garis (Munir, 2003).
Secara kontekstual graf digunakan untuk menggambarkan berbagai Secara kontekstual graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada sebagai visualisasi obyek-obyek agar lebih mudah macam struktur yang ada sebagai visualisasi obyek-obyek agar lebih mudah dimengerti. Tiap-tiap diagram memuat sekumpulan obyek (kotak, titik, dan dimengerti. Tiap-tiap diagram memuat sekumpulan obyek (kotak, titik, dan lain-lain) beserta garis
lain-lain) beserta garis-garis yang menghubung-garis yang menghubungkan obyek-obyek tersebut. Gariskan obyek-obyek tersebut. Garis bisa
bisa berarah berarah ataupun ataupun tidak tidak berarah. berarah. Garis Garis yang yang berarah berarah biasanya biasanya digunakandigunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan antar objek-objek. untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan antar objek-objek. Urut-urutan objek akan mempunyai arti yang lain jika arah garis diubah. Urut-urutan objek akan mempunyai arti yang lain jika arah garis diubah. Sebagai contoh adalah garis komando yang menghubungkan titik-titik struktur Sebagai contoh adalah garis komando yang menghubungkan titik-titik struktur sebuah organisasi. Sebaliknya, garis yang tidak berarah digunakan untuk sebuah organisasi. Sebaliknya, garis yang tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antar objek-objek yang tidak mementingkan urutan. menyatakan hubungan antar objek-objek yang tidak mementingkan urutan.
2. Dasar
–
dasar GrafTelah diketahui bersama, secara umum terdapat 3 (tiga) komponen graf, yaitu; (1) titik (vertices) atau noktah yang merepresentasikan objek pada suatu graf, (2) sisi (edge) yaitu garis yang menunjukan menunjukan keterhubungan antar titik titik tersebut, dan (3) loop atau sebuah sisi yang menghubungkan titik pada dirinya sendiri.
Gambar 1. Graf yang memuat loop Definisi 1
Suatu graf G terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik-titik tidak kosong
dan himpunan garis-garis
yang dipasangkan degan aturan tertentu dan dinotasikan dengan
Contoh 1:
Diberikan
dengan
dan
maka penggambaran graf yang dimaksud adalahGambar 2. Graf
.Dua titik dikatakan berhubungan (adjacent ) jika ada garis yang menghubungkan keduanya. Titik yang tidak mempunyai garis yang berhubungan dengannya disebut Titik Terasing ( Isolating Point ) Graf yang
Jika semua garisnya berarah maka graf-nya disebut Graf Berarah ( Directed Graph, atau sering disingkat digraph). Jika semua garisnya tidak berarah, maka graf-nya disebut Graf Tak Berarah (undirected graph). Dalam kajian ini, jika hanya disebutkan graf saja, maka yang dimaksud adalah graf tak berarah.
Definisi 2
Sisi
dikatakan menghubungkan titik
dan
. Jika
adalah sisi pada graf
, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent),
dan
serta
dan
disebut terkait langsung (incident). Untuk selanjutnya, sisi
ditulis dengan
.Definisi 2 dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 3. Sisi e = (u, v).
Karena
sisi di
, maka
dan
disebut terhubung langsung (adjacent ), sedangkan
dan
serta
dan
disebut terkait langsung (incident ). Definisi 3Banyaknya unsur di
disebut “order ” dari
dan dilambangkan dengan
, dan banyaknya unsur di
disebut “ size” dari
dan dilambangkan dengan
.Definisi 3 bisa digambarkan melalui salah satu graf berikut,
Gambar 4. Graf
dengan order 4 dan size 4.Gambar 4 menunjukan bahwa graf
tersebut diperoleh dari
dan
. Definisi 4
Graf
disebut subgraf dari graf
jika himpunan titik di
adalah subset dari himpunan titik di
dan himpunan sisi di
adalah subset dari himpunan sisi di
, atau ditulis dengan
dan
. Jika
adalah subgraf
, maka dapat ditulis
.Deskripsi dari definisi 4 bisa dilihat pada gambar berikur,
Gambar 5.
subgraf
. Definisi 5Misal
adalah graf dengan
dan
, maka
merupakan subgraf dari
dengan himpunan titik
dan sisinya adalah semua sisi di
yang tidak terkait langsung dengan
Penggambaran dari definisi 5 adalah,
Gambar 6. Penghapusan vertex pada graf
.Melalui gambar
bagian
jumlah vertex maupun edge nya makin lama makin berkurang jumlahnya.Definisi 6
Jika terdapat graf
dan
,maka
adalah subgraf
yang himpunan titiknya adalah
dan himpunan sisinya adalah
. Definisi 6 digambarkan melalui contoh berikut,
Gambar 7. Penghapusan sisi dari Graf
Gambar 7
merupakan penurunan dari gambar
dengan menghilang sisi
dan gambar
merupakan penurunan dari gambar
dengan menghilangkan sisi
.3. Beberapa Jenis Graf
Secara umum graf dapat dikelompokan berdasar ada tidaknya edge yang paralel atau loop, jumlah titiknya, ada atau tidaknya arah pada sisinya, ada atau tidak bobot pada sisinya, serta ada atau tidaknya korelasi dengan graf yang lain.
Berikut ini adalah jenis graf berdasarkan ada tidaknya sisi yang paralel atau loop.
i. Graf Sederhana ( simple graph) , g raf ini merupakan graf tak berarah yang tidak mengandung sisi ganda ataupun loop. Contoh gambar graf sederhana adalah,
Gambar 8. contoh graf sederhana.
ii. Graf tak sederhana (unsimple graph)¸graf tak sederhana merupakan
inverse dari graf sederhana, sehingga setiap graf yang memiliki sisi ganda dan atau loop masuk dalam kategori graf tak sederhana. Secara umum, graf tak sederhana dibagi dalam dua kategori, yaitu:
5
a. graf ganda (multigraph), yaitu graf yang mengandung lebih dari satu sisi untuk dua titik yang sama. Salah satu representasi graf ganda ditunjukan oleh gambar 9 dibawah ini,
gambar 9. graf ganda
b. graf semu ( pseudograph), graf ini merupakan graf yang memiliki loop, termasuk juga graf yang memiliki loop dan sisi ganda. Salah satu representasi dari graf semu ditunjukan oleh gambar 10 dibawah ini,
Gambar 10. Graf semu
Selain berdasarkan ada atau tidaknya sisi yang paralel atau loop, graf dapat pula di-kelompokan berdasarkan berdasarkan arah sisinya. Graf ini
dikelompokan dalam dua kategori, yaitu:
a. graf berarah (directed graph atau digraph) yaitu graf yang setiap sisinya memiliki arah, pada graf berarah kondisi
, b. graf tak berarah (undirected graph) merupakan graf yang setiap sisinyatak memiliki arah.
Bila ditinjau dari jumlah titik (vertex) yang menyusun suatu graf, secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis, yaitu:
5 6 7 5 6 7
a. graf berhingga (limited graph), yaitu graf yang jumlah titiknya
berhingga. Gambar 1 sampai gambar 10 diatas merupakan representasi dari graf berhingga.
b. graf tak berhingga (unlimited graph), merupakan graf yang jumlah titiknya
tak berhingga. Gambar dibawah ini merepresentasikan graf tak berhingga,Gambar 11. Graf tak berhingga.
4. Beberapa Graf Sederhana yang Khusus
Selain pengelompokan graf seperti diatas, terdapat juga graf sederhana yang khusus. Beberapa graph sederhana khusus yang sering dijumpai dan banyak didiskusikan adalah,
a. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graph lengkap merupakan graph sederhana yang setiap titiknya terhubung ke setiap titik yang lain. Graph lengkap dengan
buah titik dinotasikan dengan
. Setiap titik
berderajat
. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari
buah titik adalah . Contoh graf lengkap direpresentasikan oleh gambar berikut,
Gambar 11. Graf Lengkap.
b. Graf Kosong
Graf kosong pada
titik yang dinotasikan dengan
merupakan graf yang himpunan sisi – sisinya merupakan himpunan kosong. Dengankata lain graf yang tidak memiliki sisi sehingga setiap titik tidak saling terhubung. Contoh graf kosong direpresentasikan oleh gambar berikut;
Gambar 12. Graf Kosong c. Graf Komplemen
Apabila terdapat graf
, maka komplemen dari
yang dinotasikan oleh ̅
merupakan graf yang titiknya adalah titik dari graf
, namun sisinya bukanlah sisi dari graf
atau ditulis dengan ̅
komplemen
. Perhatikan gambar dibawah ini,
̅
Gambar 13. Graf
dan komplemennya d. Graf Lingkaran (cycles)Graph lingakaran merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graph lingkaran dengan
buah titik dilambangkan dengan
. Jika titik – titik pada
adalah
maka sisi-sisinya adalah
dan
Gambar 14. Graf lingkaran
7. e. Graf Teratur ( Reguler Graph)Syarat dari graf teratur adalah setiap titiknya memiliki derajat yang sama. Apabila derajat setiap titik adalah
maka dikatakan sebagai graf teratur berderajat
. Jumlah sisi pada graph teraturberderajat
dengan
buah titik adalah . Graf kosong merupakan graf reguler dengan
. Gambar berikut merupakan contoh dari graf teratur,Gambar 15. Graf teratur.
5. Graf Bipartisi(
Bipartisie Graph
)Suatu graf
yang himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian misal
dan
sedemikian sehingga setiap sisi di dalam
menghubungkan sebuah titik di
ke sebuah titik di
merupakan graf Bipartisi dan dinotasikan dengan
. Dengan kata lain, setiap pasang titik di
(demikian pula dengan titik – titik di
) tidak bertetangga. Gambar 16 merupakan contoh graf Bipartisi,
Gambar 16. Graf Bipartisi.
Apabila setiap titik di
terkoneksi dengan semua simpul di
, maka
disebut sebagai graph Bipartisi lengkap (complete Bipartisie graph), dinotasikan dengan
. Jumlah sisi pada graf Bipartisi lengkap adalah
.Teorema 1
Graf
jika dan hanya jika tidak terdapat sikel ganjil (odd cycles) BuktiHarus ditunjukan bahwa terdapat sikel ganjil bukanlah graf bipartit. Misalkan
merupakan titik dari sikel ganjil pada
. Jika
merupakan graf bipartisi, maka
akan menjadi bagian dari
atau
, maka
karena merupakan tetangga dari
dan
karena merupakan tetangga dari
dan seterusnya hingga diperoleh
. Akan tetapi apabia
dan
saling bertetangga hal ini menimbulkan kontradiksi dan merupakan dirinya sendiri, sehingga partisi yang dilakukan tidak valid untuk graf
.Selanjutnya, kita tetapkan sebuah partisi dari dari
dengan aturan : 1.
2.
Selanjutnya perlu ditunjukan bahwa
memang partisi dari
. Andaikan
dan
adalah dua titik di
, sehingga
. Misalkan
menjadi lintasan terpendek
,
menjadi lintasan terpendek
dan
menjadi titik temu pertama dari
dan
. Jelas bahwa sejak
dan
adalah lintasan – lintasan terpendek, maka bagian
juga merupakan lintasan terpendek
. Faktanya mereka memiliki panjang yang sama. Andaikan
dan
berturut – turut adalah bagian
dan
dari
dan
. Karena
dan
memiliki panjang yang sama menyebabkan
dan
juga memiliki kesamaan yang sama. maka tidak ada dua titik di
yang bertetangga. Begitu juga di
, tidak terdapat dua titik yang saling bertetangga. Maka
memang sebuah partisi di
. Gambar dibawahGambar 17. Graf yang bisa dipartisi.
Graf
diatas tidak memiliki cycle ganjil sehingga bisa dibipartisi menjadi graf bipartisi tanpa menghilangkan satupun titik ataupun sisi yang dimilikinya sebelum dibipartisi. Sebuah graf terhubung memiliki bipartisi yang unik. Berikut adalah gambar graf bipartisi dari graf
pada gambar 17 diatas.Gambar 18. Gambar bipartisi graf
dari (bentuk lain dari gambar 17). Terlihat bahwa graf tersebut bukanlah graf bipartisi komplit sehingga graf tersebut tidak dapat dijadikan biclique subgraf dari graf itu sendiri. Jika suatu graf tidak dapat dibipartisi dengan tetap mempertahankan semua titik dan sisinya maka graf tersebut bukanlah graf bipartisi tapi hanya akan memiliki subgraf bipartisi saja.Graf G pada gambar 19 memiliki cycle dengan panjang ganjil maka graf tersebut tidak dapat dipartisi tanpa menghilangkan satupun titik ataupun sisi didalamnya. Dengan kata lain graf tersebut bukanlah graf bipartisi. Untuk graf yang ada disampingnya tersebut merupakan sebuah subgraf bipartisi komplit (biclique) dengan
dan
. Sebuah subgraf biclique dapat disebut subgraf biclique maksimal jika kita tidak mungkin menambahkan sisi lagi ke himpunan sisi〈 〉
, yang berarti subgraf tersebut mengandung tepat semua sisi yang berawal di
dan berakhir di
.Definisi 7
Sebuah bipartisi
disebut biclique jika untuk setiap
dan
terdapat sebuah sisi antara
dan
, yaitu {
}
.5.1 Subgraf Bipartisi
Sebuah graf
terdiri dari himpunan titik
dan himpunan sisi
dengan
. Diasumsikan
merupakan sebuah graf tak berarah dan tanpa lup, yaitu tidak terdapat
dan setiap
adalah pasangan sisi tak berurut. Sebuah graf 〈
〉
yang dilambangkan dengan kurung siku adalah sebuah subgraf dari graf
jika dan hanya jika
dan
.Himpunan sisi
dari biclique
dapat ditentukan dengan dua himpunan titik
dan
, maka kita dapat mengabaikan himpunan sisi dan menunjukkan sebuah biclique
sebagai
. Diberikan
adalah sebuah graf tak berarah,
dan
adalah dua subset dari
. Jika
dan semua sisi-sisi antara
dan
membentuk sebuah biclique subgraf dari
, maka
dan
dikatakan membentuk sebuah biclique subgraf dari
.Berdasarkan definisi tersebut, untuk setiap subset
dari
,
dan
membentuk sebuah biclique subgraf dari
.Definisi 8
Sebuah graf
〈 〉
adalah maksimal biclique subgraf jika
adalah biclique subgraf dari
sedemikian sehingga
dan
adalah
〈 〉
dari
dengan
dan
sedemikian sehingga
dan
6. Penutup
Secara umum graf dapat dikelompokan berdasar ada tidaknya edge yang paralel atau loop, jumlah titiknya, ada atau tidaknya arah pada sisinya, ada ata u tidak bobot pada sisinya, serta ada atau tidaknya korelasi dengan graf yang lain. Selain berdasarkan ada atau tidaknya sisi yang paralel atau loop, graf dapat pula di-kelompokan berdasarkan berdasarkan arah sisinya dan bisa juga ditinjau dari jumlah titik (vertex) yang menyusun suatu graf.
Terdapat beberapa titik tekan dari graf bipartisi suatu graf
yaitu himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan dan setiap pasang titik di
(demikian pula dengan titik – titik di
) tidak bertetangga.7. Referensi
Harris, John M, Hirst, Jeffry L, Mossinghoff, Michael J. 2008. Combinatorics and Gra[h Theory (Second Edition). Springer Science+Business Media, LLC
Godsil C and Gordon Royle. 2000. Algebraic Graph Theory. Graduate Texts in Mathematics 207. Springer.
Asratian A. S, Tristan M. J. Denley and Roland Haggkvist. 1998. “Bipartite Graphs and Their Application”, Cambridge Tracts inMathematics 131.
