Ukuran Pemusatan, Letak dan Penyebaran Data

(1)

Ukuran Pemusatan, Letak dan Penyebaran Data

I. UKURAN PEMUSATAN DATA A. Memahami Rataan Hitung ( Mean) 1.Rataan Hitung dari data tunggal

n

x = ∑ xi

i=1

Contoh: Tentukan rataan hitung dari data:

9 8 4 12 6 9 5 3 Jawab: x = ∑ xi

= 1 ( 9+8+4+12+6+9+5+3 ) 8

= 7

2.Rataan hitung dari data berkelompok x =

keterangan : xi = titik tengah interval kelas ke i fi = frekuensi interval kelas ke i Contoh :

Diketahui distribusi frekuensi :

Nilai Frekuensi

41 -50 51 -60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

2 5 14 10 6 2 Tentukan rataan hitung dari table diatas.

Jawab:

(2)

Nilai Frekuensi ( fi )

Titik tengah ( xi )

Fi .xi 41 -50

51 -60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

2 5 14 10 6 2

45,5

…

91

…

… …

x = = …

B. Menentukan rataan hitung dengan rataan sementara 1. Dengan simpangan rata-rata

Langkah-langkah :

a. pilih rattan sementara (xs) dapat diambil dari salah satu titik tengah

b.Tentukan simpangan (di) dari tiap-tiap nilai (xi) terhadap rataan sementara yang dipilih, dengan

rumus di = xi - xs

c.Rataan sesungguhnya ( yang dicari ) dapat dihitung menggunakan rumus :

x = xs + fi . di ∑ fi Contoh :

Lengkapilah daftar distribusi frekuensi di bawah ini. Kemudian hitunglah rataan hitungnya dengan mengambil rataan sementara xs = 162

T badan (cm) f xi di = xi - xs fi . di

152 – 154 155 – 157 158 – 160 161 – 163

6 13 12 22

153

…

… 162

-9

…

… 0

…

… 0

(3)

164 – 166 167 – 169 170 – 172 173 - 175

10 11 4 2

…

∑f = 80 ∑ = …

X = xs + fi.di . ∑ fi

= 162 + …

= …

2. Dengan pengkodean (ui) Langkah-langkah :

a.pilih rattan sementara (xs) dapat diambil dari salah satu titik tengah

b.Tentukan kode (ui) dari tiap-tiap nilai (xi) terhadap rataan sementara yang dipilih, dengan rumus

ui = xi - xs

p

c. Rataan sesungguhnya ( yang dicari ) dapat dihitung menggunakan rumus :

x = xs + fi . ui . p ∑ fi

Keterangan : ui = 0, ± 1, ± 2, … P = panjang interval kelas Contoh :

Dengan menggunakan table distribusi frekuensi pada contoh di atas, hitunglah rataan hitung dengan cara pengkodean.

T badan (cm) f xi ui = di

p

fi . ui

152 – 154 155 – 157 158 – 160 161 – 163 164 – 166 167 – 169

6 13 12 22 10 11

153

…

… 162

…

-3…

…

… 0

…

… 0

…

(4)

170 – 172 173 - 175

4 2

…

… …

…

∑f = 80 ∑ = …

X = xs + fi.ui . p ∑ fi

= 162 + …

= …

C. Menentukan modus median dan kuartil.

1. Modus

Modus adalah nilai datum yang paling banyak munculatau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar.

Contoh :

Diketahui nilai ulangan matematika 10 siswa sbb:

5 6 6 6 7 8 8 8 9 10 Jawab:

Modus (Mo) = 6 dan 8

Modus dat kelompok ditentukan dengan rumus Mo = L + d1 . p

d1 + d2

Keterangan : Mo = Modus

L = Tb = tepi bawah kelas modus

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.

P = panjang interval kelas Contoh :

Tentukan modus dari data daftar distribusi frekuensi di bawah ini.

Nilai Frekuensi 50 – 54

55 – 59

6 9

(5)

60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84

12 15 20 10 8

∑ f = 80 Jawab :

Kelas Modus 70 -74 L = Tb = 69,5 di = 20 -15 = 5 d2 = 20 – 10 = 10 p = 5

Mo = 69,5 + 5 . 5 5+15

= 69,5 + 1,25

= 70,75

II. UKURAN LETAK DATA 2. Median, kuartil dan desil

Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan.

Quartil ada 3 yaitu : Q1 (kartilbawah), 2 ( Median ) , Q3 ( kuartil atas) Dapat diperoleh dengan rumus :

Qi = Li + i / 4 n - ( ∑ f )i . p Fi

Ket : Li = tepi bawah yang memuat kuartil bawah Qi (∑f ) = jumlah frekuensi sebelumquartil bawah Qi fi = frekuensi kelas yang memuat kuarti bawah Qi i = 1,2,3

Contoh :

Dari table distribusi frekuensi di bawah ini tentukan Q1, Median atau Q2 dan Q3.

(6)

Nilai frekuens i

F kumulatif 15 – 19

20 - 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49

3 6 10 15 8 5 3

3 9 19 34 42 47 50

∑ f = 50 Jawab :

Q1 terletak pada data ke ¼ . 50 = 12,5 yaitu pada kelas 25 – 29.

Q1 = 24,5 + (12,5 – 9)/10 . 5

= 24,5 + 1,75 = 26,75

Q2 terdapat pada data ke ½ . 50 = 25 yaitu pada kelas 30 -34.

Q2 = 29,5 + (15 – 19)/15 . 5

= 29,5 + …

=…

Q3 = … + …

= …

Desil adalah suatu nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak ( setelah data diurutkan). Cara menentukan Desil:

a. Untuk data tunggal, dapat ditentukan dengan :

Di = i(n + 1)/10

b. Untuk data kelompok, dapat ditentukan dengan :

Di = Li + (i/10 n – fk)/fi . p Li = tepi bawah kelas

Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di

Fi = frekuensi kelas Di

Contoh :

Tentukan D2 dan D7 dari data berikut 3 4 10 5 7 6 5 6 7 4 7 7 10 6

(7)

Jawab :

Data diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar : 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 10

D2 teletak pada urutan nilai ke 2(12+1)/10 = 2,6 D2 = x2 + 0,6 ( x3-x2 )

= 4 + 0,6 (4 -4)

= 4 + 0 = 4

D7 terletak pada urutan nilai ke 7(12+1)/10 =9,1 D7 = x9 + 0,1 (x10 – x9)

= 7 + 0,1 (7-7)

= 7 + 0 = 7

Contoh untik data kelompok.

Tentukan Desil ke 7 dari data dibawah ini Nilai Frekuensi 50 – 54

55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84

6 9 12 15 20 10 8

∑ f = 80 Jawab:

Nilai Frekuensi F kumulatif 50 – 54

55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84

6 9 12 15 20 10 8

6 15 27 42 62 72 80 D terletak pada data ke 7/10 x 80 = 56.

(8)

Kelas D7 pada interval 70 – 74 Fk = 42

F7 = 20

D7 = 69,5 + 56 – 42 . 5 20

= 69,5 + 3,5

= 73

III. UKURAN PENYEBARAN DATA

D. Menentukan Simpangan Rata-rata, Ragam, Simpangan Baku.

1. Simpangan Rata-rata ( Deviasi Rata-rata ) a. Untuk data tunggal

SR = ∑| xi – x | n

b. Untuk data kelompok SR = ∑ Fi | xi – x | ∑fi

Ket : xi = ukuran data ke i x = rataan hitung

|…| = nilai mutlak 2. Ragam / Varian

1. Ragam data tunggal S² = ∑ ( x i – x )² n

2. Ragam data kelompok S² = ∑ f i ( xi – x )² ∑fi

3. Simpangan Baku ( Deviasi Standart)

Simpangan baku adalah akar pangkat dua dari nilai ragam yang memilikisatuan yang sama dengan data.

S = √ S²

1. Untuk data tunggal

(9)

S = √∑ ( x i – x )² n

2. Untuk data kelompok S = √∑ f i ( xi – x )² ∑fi