Ukuran Penyebaran dan Pemusatan Data dalam Statistika

(1)

1

Program Studi Administrasi Asuransi dan Aktuaria

Ukuran Penyebaran

TIM DOSEN STATISTIKA

(2)

15 15 15 15 15 --- berapa MEAN ? 14 5 1 30 25 --- berapa MEAN ? 5 8 14 16 32 --- berapa MEAN ?

2

(3)

 Ukuran pemusatan memberikan gambaran yang kurang lengkap mengenai kumpulan data, karena dua distribusi data atau lebih yang nilai unsur-unsurnya bervasiasi, dapat memiliki nilai pusat yang sama dengan variasi yang berbeda. Sebagai gambaran marilah kita perhatikan 3 kumpulan data berikut :

15 15 15 15 15 --- rata-rata hitung 15 14 5 1 30 25 --- rata-rata hitung 15 5 8 14 16 32 --- rata-rata hitung 15

 Dari 3 kumpulan data di atas, semuanya memiliki rata-rata hitung yang sama. Meskipun demikian, kumpulan data kedua memiliki variasi data yang lebih beragam. Ini menunjukkan bahwa dua buah atau lebih kumpulan data bisa memiliki ukuran pemusatan yang sama tetapi memiliki ukuran penyebaran yang berbeda.

3

(4)

Ukuran Penyebaran

Adalah suatu nilai tunggal yang meringkas perbedaan dalam suatu kumpulan data dan bisa memberikan gambaran seberapa jauh nilai-nilai pengamatan menyimpang atau berbeda dari nilai pusatnya. Ukuran penyebaran dapat dilihat dari tingkat keruncingan kurva atau Kurtosis.

A B C

Kurva A menunjukkan data memiliki nilai ukuran penyebaran (variasi) kecil, berarti keragaman datanya rendah, dan nilai terkonsentrasi di sekitar nilai pusatnya atau

pengamatan homogen. Kurva B menunjukkan jika data memiliki nilai ukuran penyebaran (variasi) besar berarti keragaman datanya tinggi, dan nilai tidak terkonsentrasi disekitar nilai pusatnya (tersebar) atau data heterogen. Sedangkan kurva C menunjukkan data yang terdistribusi secara normal.

(5)

Bentuk Hasil dari Ukuran Penyebaran

• Ukuran Variasi Absolut berarti membandingkan suatu ukuran variasi dengan ukuran variasi lain dalam populasi yang sama dan dinyatakan dalam satuan ukuran yang sama.

• Ukuran Variasi Relatif berarti membandingkan beberapa ukuran variasi dari beberapa popolasi dengan unit pengukuran berbeda.

Jenis-jenis ukuran PenyebaranData Kuantitatif Data Kualitatif

Range Index of Qualitative Variation (IQV)

Simpangan absolut rata-rata atau mean absolute deviation atau avergage

deviation atau mean deviation (MAD) Variance (Ragam)

Standar Deviasi

Interquartile Range (Jangkauan antar kuartil)

(6)

Ukuran Penyebaran Untuk Data Kualitatif : THE INDEX OF QUALITATIVE VARIATION ( IQV )

• Merupakan ukuran variasi untuk data kualitatif. Nilai IQV diperoleh dengan membagi jumlah keseluruhan perbedaan yang diamati

dengan jumlah maksimum kemungkinan perbedaan.

Nilai IQV

0 50 100 Data cenderung Data tidak homogen Data cenderung homogen dan heterogen heterogen

(7)

Formula :

:

Atau

. 100 .

. .

.

. 

 Maximum number of possible difference s s difference observed

of number Total

IQV

 100

 B

IQV A

(8)

Dimana

Keterangan

l = jumlah kategori

n = jumlah data observasi

   

l l B n

Max 2

2

 1



(9)

Contoh :

Tabel III.9

Pendidikan perempuan peserta KB di Puskesmas AAA (n=50)

Kategori Frekuensi Persentase

SD 11 22%

SMP 12 24%

SMA 24 48%

PT 3 6%

Jumlah 50 100%

Sumber : Data Fiktif, 2003

(10)

Total number (A) = 11 (12 + 24 + 3) + 12 (24 +3) + 24 (3)

= 429 + 324 + 72 = 825

Maximum (B) =

Jadi pendidikan perempuan peserta KB di Puskesmas AAA cukup heterogen

    937 , 5

8

3 2500 4

. 2

1 4

50 2

1

²

2

     

l l n

88 5 100

, 937

100  825  



 B

IQV A

(11)

Ukuran Penyebaran Untuk Data Kuantitatif A. Jangkauan/Rentang/Range

• Merupakan selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum dalam suatu kumpulan (gugus) data.

Jangkauan dikenal sebagai ukuran penyebaran yang paling sederhana dan rendah akurasinya. Karena itu jarang digunakan karena hanya melibatkan dua nilai dalam satu kumpulan data dan tergantung nilai

ekstrim.

(12)

Contoh :

• Usia tertinggi perempuan peserta KB di puskesmas AAA adalah 40 tahun

• Usia terendah perempuan peserta KB di puskesmas AAA adalah 16 tahun

• Range usia perempuan peserta KB di puskesmas AAA adalah = 40 – 16 = 24

• Jadi rentang usia perempuan peserta KB di puskesmas

AAA adalah 24 tahun

(13)

B. Simpangan Absolut Rata-Rata (Mean Absolute Deviation)/MAD Simpangan Rata-rata / SR

• MAD diperoleh dengan cara penjumlahan mutlak penyimpangan setiap nilai pengamatan terhadap rata-rata dan dibagi banyaknya pengamatan.

Nilai ini mencerminkan rata-rata selisih mutlak nilai data terhadap nilai rata-rata. Simpangan absolut rata-rata dapat menggambarkan variasi seluruh nilai pengamatan dan tidak terlalu

dipengaruhi oleh nilai ekstrim, namun jarang

digunakan pada analisis data lanjutan.

(14)

Rumus :

Populasi Sampel

a.Data tidak dikelompokkan

Keterangan

μ = Rata-rata hitung (mean) untuk populasi

= Rata-rata hitung (mean) untuk sampel x_i = Data observasi

N = jumlah data populasi n jumlah data sampel

N

n

x MAD

N i



i







¹



N

x x

MAD

N i



i







¹

x

(15)

Contoh: data tidak dikelompokkan (Ungrouped data)

Data usia perempuan peserta KB di puskesmas AAA (baris pertama)

25 28 35 35 28



x

=30,2

 

84 , 5 3

2 , 2 8

, 4 8

, 4 2

, 2 2

, 5

5

2 , 30 28

2 , 30 35

2 , 30 28

2 , 30 25

 



 

















 

MAD

(16)

B. Data dikelompokkan

Populasi Sampel

Keterangan

= Rata-rata hitung (mean) untuk sampel x_i = Nilai tengah kelas

f_i = frekuensi absolut

N n x f

MAD

K i

i



i







 ¹



N

x x

f MAD

K i

i



i









¹

x

(17)

Contoh: data dikelompokkan (Grouped data)

Tabel III.10

Usia Perempuan Peserta KBdi Puskesmas AAA (n=50)

Batas nyata x_i f_i x_if_i |x_i – | f_i .|x_i – |

15,5 ≤ x < 19,5 17,5 9 157,5 10 90

19,5 ≤ x < 23,5 21,5 9 193,5 6 54

23,5 ≤ x < 27,5 25,5 8 204,0 2 16

27,5 ≤ x < 31,5 29,5 7 206,5 2 14

31,5 ≤ x < 35,5 33,5 9 301,5 6 54

35,5 ≤ x < 39,5 37,5 5 187,5 10 50

39,5 ≤ x < 43,5 41,5 3 124,5 14 42

∑ Σ 50 1375 320

= 27,5

x x

x 6 , 4

50

320 



MAD

(18)

C. Variance dan Standar Deviasi

• Variance (ragam) adalah jumlah kuadrat dari selisih nilai observasi dengan nilai rata-rata hitung dan dibagi banyaknya observasi.

Sedangkan Standar deviasi adalah akar dari variance (ragam). Dalam statistika deskriptif dan inferensia, standar deviasi banyak

digunakan karena interpretasinya lebih mudah dan memiliki satuan pengukuran yang sama

dengan data aslinya.

(19)

Rumus Variance (ragam):

1). Data tidak dikelompokkan

Populasi Sampel

atau atau

 

N x

N i



i





 ¹

2 2





 

N N x x

N i

i



i







 ¹

2 2

 2

 

1

2 2









n

x x

S

N i

i

 

1

2 2

2





 



n

N x x

S

N i

i i

(20)

Keterangan

σ² = variance (ragam) untuk populasi

S² = variance (ragam) untuk sampel

μ = rata-rata hitung (mean) untuk populasi

= rata-rata hitung (mean) untuk sampel x_i = data observasi

x

(21)

Contoh: data tidak dikelompokkan (Ungrouped data)

Data usia perempuan peserta KB di puskesmas AAA (baris pertama) 25 28 35 35 28

 =30,2

• Cara dengan rumus pertama Jika data populasi

Jika data sampel

x

 

56 , 5 16

8 . 82 5

84 , 4 04 , 23 04

, 23 84

, 4 04 , 27

5

2 , 30 28

2 , 30 35

2 , 30 28

2 , 30 25

2

2 2



 



 

















 



 

70 , 4 20

8 . 82 4

84 , 4 04 , 23 04

, 23 84

, 4 04 , 27

4

2 , 30 28

2 , 30 35

2 , 30 28

2 , 30 25

2

2 2



 



 

















  S S

(22)

Cara dengan rumus kedua Jika data populasi

Jika data sampel

     

 

56 , 5 16

8 . 82 5

20 , 4560 4643

5

5 22801 4643

5

5 / 28 35

35 28

25 28

35 35

28 25

2

2 2 2

2 2



 

 

 







 



     

 

₂₀_,₇₀

4 8 . 82 4

20 , 4560 4643

4

5 22801 4643

4

5 / 28 35

35 28

25 28

35 35

28 25

2

2 2 2

2 2



 

 

 







 

 S

(23)

2). Data dikelompokkan

Populasi Sampel

atau atau

 

N x f

_i

N i

i

2 2 1









 



 

N

N x x f

N f

i

i i i



i





 



 ¹

2 2

 2

 

1

2 2





 



n

x x

f S

n i

i i

 

1

2 2

2



 





 



n

n x x f

f S

N i

i i i

i

(24)

Keterangan

σ² = variance (ragam) untuk populasi S² = variance (ragam) untuk sampel

= Rata-rata hitung (mean) untuk sampel x_i = Nilai tengah kelas

f_i = frekuensi absolut

N = jumlah data populasi n = jumlah data sampel

x

(25)

Contoh: data dikelompokkan (Grouped data) Cara dengan rumus pertamaTabel III.11

Usia Perempuan Peserta KBdi Puskesmas AAA (n=50)

Batas nyata x_i f_i f_i. x_i (x_i – ) (x_i – )² ^fi . (x_i – )²

15,5 ≤ x < 19,5 17,5 9 157,5 -10 100 900

19,5 ≤ x < 23,5 21,5 9 193,5 -6 36 324

23,5 ≤ x < 27,5 25,5 8 204,0 -2 4 32

27,5 ≤ x < 31,5 29,5 7 206,5 2 4 28

31,5 ≤ x < 35,5 33,5 9 301,5 6 36 324

35,5 ≤ x < 39,5 37,5 5 187,5 10 100 500 39,5 ≤ x < 43,5 41,5 3 124,5 14 196 588

∑ Σ 50 1375 2696

= 27,5

Jika data

populasi Jika data sampel

x x

x

92 , 50 53

2

 2696 

 55 , 02

49

2

 2696 

S

(26)

Cara dengan rumus kedua

Tabel III.12

Usia Perempuan Peserta KB di Puskesmas AAA (n=50)

x_i f_i f_i. x_i x_i² f_i . x_i²

17,5 9 157,5 306,25 2756,25

21,5 9 193,5 462,25 4160,25

25,5 8 204,0 650,25 5202,00

29,5 7 206,5 870,25 6091,75

33,5 9 301,5 1122,25 10100,25 37,5 5 187,5 1406,25 7031,25 41,5 3 124,5 1722,25 5166,75

Σ 50 1375 40508,50

= 27,5 Jika data populasi

Jika data sampel

x

 

₅₃_,₉₃

50 25 , 2696 50

50 , 37812 75

, 40508 50

50 1375

75 ,

40508 ²

2       



 

₅₅_,₀₃

49 25 , 2696 49

50 , 37812 75

, 40508 49

50 1375

75 ,

40508 ²

2       

S

(27)

Rumus Standar Deviasi (simpangan baku)

1). Data tidak dikelompokkan Populasi Sampel

Contoh :

Data usia perempuan peserta KB di puskesmas AAA (baris pertama) 25 28 35 35 28



=30

Jika data populasi ,2 Jika data sampel



2

  S  S

²

x

07 , 4 56

, 16 56

. 16

2 2





55 , 4 70

, 20 70

, 20

2 2



 S S

S

(28)

2). Data dikelompokkan

Populasi Sampel

Contoh :

Jika data

populasi Jika data sampel



2

  S  S

²

34 , 7 92

, 53 92

, 53

2 2





42 , 7 02

, 55 02

, 55

2 2



 S S

S

(29)

Jangkauan antar Kuartil (Interquartile Range)

• Merupakan selisih antara kuartil 3 dengan kuartil 1 IQR = Q₃- Q₁

• Memperhitungkan sebaran antara nilai minimum dan nilai maksimum

• Kekar terhadap adanya nilai-nilai yang ekstrim (pencilan)

Statistik 5 serangkai dari data I (metode belah dua)

3

2 4

1 8

Statistik 5 serangkai dari data III (metode belah dua)

3

2 4

1 100

IQR = 4-2 = 2 IQR = 4-2 = 2

(30)

30