STATISTIKA: UKURAN PENYEBARAN DATA. Tujuan Pembelajaran

(1)

matematika

STATISTIKA: UKURAN PENYEBARAN DATA

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami defi nisi ukuran penyebaran data dan jenis-jenisnya.

2. Dapat menentukan jangkauan data. 3. Dapat menentukan simpangan kuartil data. 4. Dapat menentukan simpangan rata-rata data.

5. Dapat menentukan simpangan baku dan variansi data.

A. Pendahuluan

Dua kelompok data yang memiliki rata-rata yang sama, median yang sama, bahkan modus yang sama, belum tentu nilai setiap datanya sama. Perhatikan ilustrasi berikut.

XI

K

e

l

a

s

KTSP

&

K-13

(2)

2

Dua kelompok pemain basket di atas memiliki rata-rata, median, dan modus yang sama, yaitu masing-masing 173,8 cm, 175 cm, dan 175 cm. Akan tetapi, tinggi badan kelompok kedua lebih bervariasi dibandingkan kelompok pertama. Ukuran data kuantitatif yang menunjukkan seberapa besar variasi suatu data dinamakan dengan

ukuran penyebaran data.

Salah satu jenis ukuran penyebaran data adalah jangkauan. Jangkauan didefi nisikan sebagai selisih antara data terbesar dan data terkecil. Jika kita bandingkan jangkauan kelompok pertama dan kelompok kedua, maka jangkauan kelompok pertama (7 cm) lebih kecil dibandingkan dengan jangkauan kelompok kedua (27 cm). Hal ini menunjukkan bahwa jangkauan dapat digunakan untuk mengetahui tingkat variasi data. Semakin besar jangkauannya, semakin tinggi variasi datanya. Ukuran-ukuran penyebaran data yang akan dibahas pada sesi ini adalah jangkauan, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, dan variansi.

B. Jangkauan (Range)

Jangkauan didefi nisikan sebagai selisih antara data terbesar dan data terkecil dari suatu

kumpulan data kuantitatif. Secara matematis, jangkauan dirumuskan sebagai berikut. J x= maks−xmin

Keterangan:

J = jangkauan data; x_maks= data terbesar; dan x_min = data terkecil.

Contoh Soal 1

Tentukan jangkauan dari data berikut. 12, 45, 23, 43, 67, 84, 11, 90

Pembahasan:

Diketahui: x_maks = 90 x_min = 11

Dengan demikian, jangkauan dari data tersebut adalah sebagai berikut. J = 90 − 11 = 79

Jadi, jangkauan dari data tersebut adalah 79.

(3)

3

terbesar dan data terkecil. Oleh karena itu, jangkauan tidak dapat diandalkan untuk mengetahui tingkat sebaran data.

C. Simpangan Kuartil

Simpangan kuartil adalah jenis lain dari ukuran penyebaran data yang dinotasikan

dengan Q_d. Simpangan kuartil dapat dihitung dengan cara menghilangkan nilai-nilai yang terletak di bawah kuartil pertama dan di atas kuartil ketiga. Secara matematis, simpangan kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Qd= Q Q

1

2

(

3− 1

)

Keterangan:

Q_d = simpangan kuartil; Q₃ = kuartil ketiga; dan Q₁ = kuartil pertama.

Contoh Soal 2

Perhatikan data hasil kuis dua siswa berikut ini.

Kuis 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nilai Siswa A 1 20 20 20 20 20 30 30 30 30 50

Nilai Siswa B 2 4 5 6 7 8 12 18 24 30 51

Data dua siswa di atas sama-sama memiliki jangkauan 49. Coba analisis sebaran data dengan melihat simpangan kuartil dari masing-masing data tersebut.

Pembahasan:

Oleh karena banyaknya data ada 11, maka: • Kuartil pertama adalah data ke-1

4

(

11 1+

)

atau data ke-3. Untuk siswa A, nilai kuartil pertamanya adalah 20, sedangkan untuk siswa B, nilai kuartil pertamanya adalah 5. • Kuartil ketiga adalah data ke-3

4

(

11 1+

)

atau data ke-9. Untuk siswa A, nilai kuartil ketiganya adalah 30, sedangkan untuk siswa B, nilai kuartil ketiganya adalah 24.

(4)

4

Kuis 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nilai Siswa A 1 20 20 20 20 20 30 30 30 30 50

Nilai Siswa B 2 4 5 6 7 8 12 18 24 30 51

Dengan demikian, nilai simpangan kuartil untuk siswa A adalah sebagai berikut. Q_dA=1

(

−

)

=

2 30 20 5

Sementara itu, nilai simpangan kuartil untuk siswa B adalah sebagai berikut. Q_dB=1

(

−

)

=

2 24 5 9 5,

Oleh karena nilai simpangan kuartil siswa B lebih besar daripada siswa A, maka nilai siswa B lebih bervariasi daripada siswa A. Dengan kata lain, nilai siswa A lebih stabil daripada siswa B.

Contoh Soal 3

Bandingkan besaran variasi data berat badan dari dua kelompok data berikut ini dengan menggunakan simpangan kuartil.

Kelompok 1

Berat Badan Frekuensi

30−35 4 36−41 10 42−47 15 48−53 13 54−59 12 60−65 12 66−71 2

(5)

5

Kelompok 2

30−35 6 36−41 8 42−47 12 48−53 34 54−59 4 60−65 2 66−71 2 Pembahasan:

Mencari nilai simpangan kuartil kelompok 1:

Oleh karena banyaknya data kelompok 1 ada 68 orang, maka:

Kuartil pertama terletak pada kelas yang mengandung data urutan ke-1

4⋅68 17= , yaitu kelas ke-3.

30−35 4 36−41 10 42−47 15 48−53 13 54−59 12 60−65 12 66−71 2

Dari data tersebut, diketahui: T I f f b kum Q = − = = − = = = 42 0 5 41 5 36 30 6 14 15 1 , ,

(6)

6

Dengan demikian, diperoleh:

Q T n f f I Q Q b kum Q 1 1 4 1 1 4 1 1 41 5 68 14 15 6 41 5 = + −   _ = + −   _ = , . , ++ = 1 2 42 7 1 , , Q

Kuartil ketiga adalah kelas yang mengandung data urutan ke-3

30−35 4 36−41 10 42−47 15 48−53 13 54−59 12 60−65 12 66−71 2 f_kum= 4 + 10 + 15 + 13 = 42 T_b = 54 − 0,5 = 53,5

Q T n f f I Q Q b kum Q 3 3 4 3 3 4 3 3 53 5 68 42 12 6 53 5 = + −   _ = + −   _ = , . , ++ = 4 5 58 3 , Q

(7)

7

Oleh karena nilai Q₁ = 42,7 dan Q₃ = 58, maka besar simpangan kuartilnya adalah sebagai berikut. Q Q Q Q Q d d d 1 3 1 1 1 2 58 42 7 2 7 65 = − = − = , ,

Mencari simpangan kuartil kelompok 2:

Oleh karena banyak data kelompok 2 ada 68 orang, maka:

Kuartil pertama adalah kelas yang mengandung data urutan ke-1

30−35 6 36−41 8 42−47 12 = f _Q1 48−53 34 54−59 4 60−65 2 66−71 2 f_kum= 6 + 8 = 14 T_b= 42 − 0,5 = 41,5

Q T n f f I Q Q b kum Q 1 1 4 1 1 4 1 1 41 5 68 14 12 6 43 = + −   _ = + −   _ = , .

(8)

8

Kuartil ketiga adalah kelas yang mengandung data urutan ke-3

30−35 6 36−41 8 42−47 12 48−53 34 = f_Q3 54−59 4 60−65 2 66−71 2 f_kum= 6 + 8 + 12 = 26 T_b= 48 − 0,5 = 47,5

Q T n f f I Q Q b kum Q 3 3 4 3 3 4 3 3 47 5 68 26 34 6 51 9 = + −   _ = + −   _ ≈ , . ,

Oleh karena nilai Q₁ = 43 dan Q₃ = 51,9, maka besar simpangan kuartilnya adalah sebagai berikut. Q Q Q Q Q d d d 2 3 1 2 2 2 51 9 43 2 4 45 = − = − = , ,

Oleh karena nilai simpangan kuartil kelompok 1 lebih besar daripada kelompok 2, maka dapat diketahui bahwa data kelompok 1 lebih bervariasi dibandingkan data kelompok 2.

(9)

9 D. Simpangan Rata-Rata

Range dan simpangan kuartil yang hanya ditentukan oleh dua data saja belum cukup untuk menggambarkan sebaran data secara keseluruhan. Salah satu ukuran penyebaran data yang melibatkan semua data adalah simpangan rata-rata yang dinotasikan dengan SR. Simpangan rata menyatakan penyimpangan setiap nilai pada sampel dari rata-ratanya.

1. Data Tunggal

Simpangan rata-rata untuk data tunggal dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut.

Langkah 1. Tentukan banyak data (n). Langkah 2. Tentukan rata-rata dari data x

( )

.

Langkah 3. Tentukan simpangan rata-rata dengan rumus berikut.

SR x x n i i n = − =

∑

1 Keterangan: SR = simpangan rata-rata; x_i = nilai data ke-i;

x = rata-rata data; dan n = banyaknya data.

Contoh Soal 4

Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut. 3, 6, 4, 7, 8, 2, 6, 7, 8, 9

Pembahasan:

Langkah 1. Tentukan banyak data (n). Banyaknya data ada 10, sehingga n = 10. Langkah 2. Tentukan rata-rata dari data x

( )

. Rata-rata data:

x= + + + + + + + + + =3 6 4 7 8 2 6 7 8 9 = 10

60 10 6

(10)

10

Langkah 3. Tentukan simpangan rata-rata dengan rumus berikut. Simpangan rata-rata: SR x x n SR S i i n = − = − + − + − + − + − + − + − + − + − + − =

∑

1 3 6 6 6 4 6 7 6 8 6 2 6 6 6 7 6 8 6 9 6 10 RR SR = = + + + + + + + + + 3 0 2 1 2 4 0 1 2 3 10 1 8,

Untuk lebih singkatnya, dapat dituliskan dalam bentuk tabel berikut.

Data 3 6 4 7 8 2 6 7 8 9

x 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

xi− = selisihx 3 0 2 1 2 4 0 1 2 3

SR=3 0 2 1 2 4 0 1 2 3+ + + + + + + + + =

10 1 8,

Jadi, simpangan rata-rata dari data tersebut adalah 1,8.

2. Data dalam Bentuk Tabel Frekuensi

Simpangan rata-rata untuk data dalam bentuk tabel frekuensi dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut.

Langkah 1. Tentukan rata-rata dari data x

( )

.

Langkah 2. Tentukan simpangan rata-rata dengan rumus berikut.

SR f x x f i i i k i i k = − = =

∑

1 1 Keterangan: SR = simpangan rata-rata; f_i = frekuensi kelas ke-i;

(11)

11

k = banyaknya kelas; x_i = nilai data ke-i; dan

x = rata-rata data.

Contoh Soal 5

Tentukan simpangan rata-rata dari tabel nilai matematika berikut.

Nilai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 1 2 5 6 15 17 20 11 3 1

Pembahasan:

Langkah 1. Tentukan rata-rata dari data x

( )

. Rata-rata data: x f x f i i i n i i n = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

∑

1 1 1 1 2 2 3 5 4 6 5 15 6 17 7 20 8 11 9 3 ++ ⋅ + + + + + + + + + = = 10 1 1 2 5 6 15 17 20 11 3 1 486 81 6

Langkah 2. Tentukan simpangan rata-ratanya. Agar lebih singkat, gunakan tabel seperti berikut.

x_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f_i 1 2 5 6 15 17 20 11 3 1

∑

fi 81

x 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

x_i−x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

(12)

12

Dengan demikian, simpangan rata-ratanya adalah sebagai berikut.

SR f x x f i i i k i i k = − = = = =

∑

1 1 110 1 358 81 ,

Jadi, simpangan rata-rata dari tabel nilai matematika tersebut adalah 1,358.

3. Data dalam Bentuk Interval

Simpangan rata-rata untuk data dalam bentuk interval dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut.

Langkah 1. Tentukan nilai tengah x_i dari tiap kelas.

Langkah 2. Tentukan rata-rata dari data berinterval tersebut. Langkah 3. Tentukan simpangan rata-rata dengan rumus berikut.

SR f x x f i i i k i i k = − = =

∑

1 1 Keterangan: SR = simpangan rata-rata; f_i = frekuensi kelas ke-i; k = banyaknya kelas;

x_i = nilai tengah kelas ke-i; dan x = rata-rata data.

(13)

13 Contoh Soal 6

Tabel-tabel berikut ini menunjukkan sebaran usia para pekerja di perusahaan A dan B. Data sebaran usia pekerja di perusahaan A:

Usia Frekuensi

20−29 20

30−39 34

40−49 16

50−59 10

Data sebaran usia pekerja di perusahaan B:

Usia Frekuensi

20−29 15

30−39 51

40−49 9

50−59 5

Tentukan simpangan rata-rata usia pekerja dari kedua tabel tersebut.

Pembahasan:

Simpangan rata-rata dapat ditentukan dengan bantuan tabel seperti berikut. Perusahaan A: Usia f_i x_i f_ix_i x xi−x f xi i−x 20−29 20 24,5 490 36,5 12 240 30−39 34 34,5 1173 36,5 2 68 40−49 16 44,5 712 36,5 8 128 50−59 10 54,5 545 36,5 18 180 Jumlah

∑

f_i = 80

∑

f x_{i i} = 2 920.

∑

f x_i _i− =x 616 Rata-rata data: x f x f i i i n i i n =

∑

= =

∑

=1 =1 2 920 80 36 5 . _,

(14)

14

Dengan demikian, simpangan rata-ratanya dapat ditentukan sebagai berikut.

SR f x x f i i i k i i k = − = = = =

∑

1 1 616 80 7 7,

Jadi, simpangan rata-rata dari perusahaan A adalah 7,7. Perusahaan B: Usia f_i x_i f_ix_i x xi−x f xi i −x 20−29 15 24,5 367,5 35 10,5 157,5 30−39 51 34,5 1759,5 35 0,5 25,5 40−49 9 44,5 400,5 35 9,5 85,5 50−59 5 54,5 272,5 35 19,5 97,5 Jumlah

∑

f_i = 80

∑

f x_i i = 2 800.

∑

f xi i− =x 366 Rata-rata data: x f x f i i i n i i n =

∑

= =

∑

=1 =1 2 800 80 35 .

Dengan demikian, simpangan rata-ratanya dapat ditentukan sebagai berikut.

SR f x x f i i i k i i k = − = = = =

∑

1 1 366 80 4 575,

Jadi, simpangan rata-rata dari perusahaan B adalah 4,575.

Oleh karena simpangan rata-rata perusahaan B lebih kecil dari perusahaan A, maka dapat diketahui bahwa perusahaan B memiliki sebaran data yang lebih kecil dari perusahaan A. Dengan kata lain, perusahaan A memiliki usia pekerja yang lebih beragam daripada perusahaan B.

(15)

15 E. Simpangan Baku dan Variansi

Dengan menggunakan simpangan rata-rata, hasil pengamatan penyebaran sebenarnya sudah memperhitungkan seluruh nilai yang ada pada data. Namun demikian, karena dalam penghitungan menggunakan nilai absolut, maka kita tidak dapat mengetahui arah penyebaran datanya. Perhatikan kasus berikut.

Kasus 1: 3, 3, 11, 11 dengan rata-rata 7

Jika dihitung simpangan rata-ratanya,akan didapatkan SR = 4. Kasus 2: 2, 4, 9, 13 dengan rata-rata 7

Jika dihitung simpangan rata-ratanya, akan didapatkan SR = 4.

Kedua kasus tersebut memiliki simpangan rata-rata yang sama, akan tetapi tampak bahwa data pada kasus 2 lebih menyebar. Kelemahan dari simpangan rata-rata ini dapat diatasi dengan menggunakan simpangan baku. Simpangan baku (standard deviation) merupakan ukuran penyebaran data yang paling teliti. Ukuran ini pertama kali dikenalkan oleh Karl Pearson. Simpangan baku juga merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan untuk menentukan batas normal dan tidak normal pada suatu data. Simpangan baku adalah akar dari variansi.

1. Data Tunggal

Variansi atau ragam data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

σ2 2 1 =

∑

=

(

−

)

x x n i i n

Dengan demikian, rumus simpangan bakunya adalah sebagai berikut.

σ =

∑

=

(

−

)

x x n i i n ₂ 1 Keterangan: σ2_{= variansi;} σ = simpangan baku; x_i = nilai data ke-i;

x = rata-rata data; dan n = banyaknya data.

(16)

16

Jika kita kerjakan dua kasus tersebut dengan menggunakan simpangan baku, maka diperoleh:

Kasus 1: 3, 3, 11, 11 dengan rata-rata 7 Variansi: σ2 2 2 2 2 3 7 3 7 11 7 11 7 4 16 16 16 16 4 16 =

(

−

)

+ −

(

)

+

(

−

)

+

(

−

)

= + + + = Simpangan baku: σ = 16 4 =

Kasus 2: 2, 4, 9, 13 dengan rata-rata 7 Variansi: σ2 2 2 2 2 2 7 4 7 9 7 13 7 4 25 9 4 36 4 18 5 =

(

−

)

+

(

−

)

+

(

−

)

+

(

−

)

= + + + = , Simpangan baku: σ = 18 5 4 3, ≈ ,

Simpangan baku untuk kasus 2 lebih besar daripada kasus 1. Ini berarti, data pada kasus 2 lebih tersebar nilainya daripada kasus 1.

Contoh Soal 7

Berikut ini merupakan hasil penimbangan anak umur 5 tahun di suatu kelurahan. 10 kg, 8 kg, 5 kg, 6 kg, 7 kg, 4 kg, 9 kg

Tentukan banyaknya anak yang memiliki berat tidak normal.

Pembahasan:

Kita akan menggunakan simpangan baku untuk menentukan normal atau tidak normalnya berat anak.

Langkah 1. Tentukan dahulu rata-rata datanya. Rata-rata data: x = + + + + + + = = 10 8 5 6 7 4 9 7 49 7 7

(17)

17

Langkah 2. Tentukan variansi datanya.

σ2 2 2 2 2 2 2 2 10 7 8 7 5 7 6 7 7 7 4 7 9 7 7 9 1 =

(

−

)

+

(

−

)

+ −

(

)

+

(

−

)

+ −

(

)

+

(

−

)

+

(

−

)

= + + 44 1 0 9 4 7 28 7 4 + + + + = =

Langkah 3. Tentukan simpangan bakunya.

σ = 4 2 =

Untuk mengetahui normal atau tidak normalnya data, gunakan interval x_ −σ,x+σ_. Dengan demikian, data normal adalah data yang masuk pada interval 7 2 7 2

[

− , +

]

atau

[ ]

5 9, . Jadi, ada dua data yang tidak normal yaitu 4 dan 10.

2. Data dalam Bentuk Tabel Frekuensi

Untuk data tunggal yang dinyatakan dalam bentuk tabel frekuensi, variansi atau ragam dirumuskan sebagai berikut.

σ2 2 1 =

∑

=

(

−

)

f x x n i i i k

σ =

∑

=

(

−

)

f x x n i i i k ₂ 1 Keterangan: σ2_{= variansi;} σ = simpangan baku; x_i = nilai data ke-i;

x = rata-rata data; k = banyaknya kelas; dan n = banyaknya data.

(18)

18 Contoh Soal 8

Tentukan simpangan baku dari data penghasilan 40 orang buruh berikut. Tentukan pula batasan normal datanya.

Gaji Frekuensi 1.000.000 12 1.250.000 8 1.500.000 5 1.750.000 6 2.000.000 8 2.250.000 1 Pembahasan:

Langkah 1. Tentukan rata-rata datanya.

Rata-rata data dapat ditentukan dengan bantuan tabel seperti berikut.

Gaji (x_i) Frekuensi (f_i) f_ix_i 1.000.000 12 12.000.000 1.250.000 8 10.000.000 1.500.000 5 7.500.000 1.750.000 6 10.500.000 2.000.000 8 16.000.000 2.250.000 1 2.250.000 Jumlah 40 58.250.000 Rata-rata data: x f x f i i i n i i n = = = = =

∑

1 1 58 250 000 40 1 456 250 . . . .

(19)

19

Langkah 2. Tentukan variansi datanya.

Variansi data dapat ditentukan dengan bantuan tabel seperti berikut.

x_i f_i x x_i−x

(

x_i−x

)

2 f x_i

(

_i−x

)

2 1.000.000 12 1.456.250 −456.250 208.164.062.500 2.497.968.750.000 1.250.000 8 1.456.250 −206.250 42.539.062.500 340.312.500.000 1.500.000 5 1.456.250 43.750 1.914.062.500 9.570.312.500 1.750.000 6 1.456.250 293.750 86.289.062.500 517.734.375.000 2.000.000 8 1.456.250 543.750 295.664.062.500 2.365.312.500.000 2.250.000 1 1.456.250 793.750 630.039.062.500 630.039.062.500 Jumlah 40 6.360.937.500.000 Variansi data: σ2 2 1 6 360 937 500 000 159 023 437 500 40 = −

(

)

= = =

∑

f x x n i i i k . . . . . . .

σ = 159 023 437 500 398 777. . . = .

Dengan demikian, batasan normal datanya adalah _x−σ,x+σ_{ =}

[

1 057 473 1 855 027. . , . .

]

.

3. Data dalam Bentuk Interval

Variansi atau ragam dari data berinterval dapat dirumuskan sebagai berikut.

σ2 2 1 =

∑

=

(

−

)

f x x n i i i k

(20)

20

σ =

∑

=

(

−

)

f x x n i i i k ₂ 1 Keterangan: σ2_{= variansi;} σ = simpangan baku; x_i = nilai tengah kelas ke-i;

x = rata-rata data; k = banyaknya kelas; dan n = banyaknya data.

Contoh Soal 9

Hitunglah simpangan baku dari data berikut.

30−34 3 35−39 4 40−44 8 45−49 7 50−54 5 55−59 4 60−64 4 Pembahasan:

Langkah 1. Tentukan rata-rata datanya.

(21)

21

Berat Badan Frekuensi x_i f_i

30−34 3 32 96 35−39 4 37 148 40−44 8 42 336 45−49 7 47 329 50−54 5 52 260 55−59 4 57 228 60−64 4 62 248 Jumlah 35 1645 Rata-rata data: x f x f i i i n i i n = = = = =

∑

1 1 1645 35 47

Langkah ke 2. Tentukan variansi datanya.

Variansi data dapat ditentukan dengan bantuan tabel seperti berikut. Berat Badan Frekuensi x_i f_i x xi−x

(

xi−x

)

2 f xi

(

i−x

)

2 30−34 3 32 96 47 −15 225 675 35−39 4 37 148 47 −10 100 400 40−44 8 42 336 47 −5 25 200 45−49 7 47 329 47 0 0 0 50−54 5 52 260 47 5 25 125 55−59 4 57 228 47 10 100 400 60−64 4 62 248 47 15 225 900 Jumlah 35 2700

(22)

22

Variansi data: σ2 2 1 2700 35 77 1 = −

(

)

= ≈ =

∑

f x x n i i i k ,

σ = σ = ≈ 2 77 1 8 8 , ,