• Tidak ada hasil yang ditemukan

Makalah Ukuran Pemusatan Data

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Makalah Ukuran Pemusatan Data"

Copied!
17
0
0

Teks penuh

(1)

UKURAN PEMUSATAN

MAKALAH

UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH

Dasar-dasar Biostatistik Deskriptif

Yang dibina oleh

Bapak Dr. Saichudin, M.Kes

Ibu dr. Anindya, S.Ked

Oleh :

Derada Imanadani

130612607847/2013

Dwi Rakhmatun Laili

130612607849/2013

Lia Kurniawati

130612607898/2013

M. Dwi Hidayatullah

130612607888/2013

Salsabila A Putri

130612607/2013

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS ILMU KEOLAHRAGAAN

JURUSAN ILMU KESEHATAN MASYARAKAT

(2)

SEPTEMBER 2013

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada awal zaman Masehi, bangsa-bangsa mengumpulkan data statistic untuk mendapatkan informasi deskriptif mengenai banyak hal, misalnya pajak, perang, hasil pertanian, dan bahkan pertandingan atletik. Pada masa kini, dengan berkembangnya teori peluang, kita dapat menggunakan berbagai metode statistic yang memungkinkan kita meneropong jauh di luar data yang kita kumpulkan dan masuk ke dalam wilayah pengambilan keputusan melalui generalisasi dan peramalan.

Sering kali kita menghadapi masalah menyajikan sejumlah besar data statistic dalam bentuk yang ringkas dan kompak. Ukuran-ukuran tersebut tidak dapat mengidentifikasi semua ciri yang penting. Sejumlah informasi dapat diperoleh kembali bila data asal yang banyak tersebut diringkaskan dan disajikan delam bentuk tabel, diagram, dan grafik yang layak.

(3)

BAB II

LANDASAN TEORI

A. PENGERTIAN UKURAN PEMUSATAN DATA

Ukuran pemusatan adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua (populasi ) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing-masing-masing anggota populasi. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.

B. MACAM-MACAM UKURAN PEMUSATAN DATA

1. Mean

Mean (Rata-rata) adalah jumlah dari seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya data.

 Mean Data Tunggal

Dapat dicari dengan menggunakan rumus :

 RUMUS BIASA x

x = simbol rata-rata (mean) n = banyaknya observasi

x i = nilai observasi ke-i sampai ke- n contoh :

Data berat badan (kg) dari 10 orang ibu hamil adalah sebagai berikut 65,61,54,53,62,40,54,63, dan 60. Mean dari data tersebut adalah :

x

x

 RUMUS ‘GUESS MEAN”

x x

d= beda x dengan x (mean dugaan atau guess mean dengan nilai observasi ke-i) contoh

(4)

dengan menggunakan data yang sama seperti pada contoh diatas . Dalam mencari mean dengan rumus guess mean harus dibuat tabel data sebagai berikut.

Contoh soal mencari nilai mean dengan rumus guess mean

Berat Badan (kg) Guess Mean d (selisih xi dan x )

65 61 54 53 53 62 40 54 63 60 ∑ 61 4 0 -7 -8 -8 1 -20 -7 2 -1 -45

Pada contoh soal di atas digunakan guess mean pada nilai observasi berat badan 61 kg. Nilai Mean adalah :

x x

= 61+1/10(-45) =56,5 kg

 Mean Data Berkelompok

Cara menghitung nilai mean untuk data berkelompok dapat menggunakan rumus metode biasa (cara panjang) dan metode sederhana (cara pendek) :

1. Cara Panjang x

x

Fmp =frekuensi x mid point (nilai tengah) n = jumlah observasi

2. Cara Pendek

Mencari nilai mean data berkelompok dengan cara pendek. Cara ini terbagi dalam dua rumus, yaitu rumus guess mean dan guess mean dengan working unit.

2. Median

Median adalah ukuran nilai tengah dari sejumlah nilai-nilai pengamatan yang diatur dan disusun berdasarkan urutan data.

(5)

Urutkan data, tentukan titik tengahnya ( jika data ganjil maka median tepat pada satu data, jika data genap maka median terletak antara dua data dan untuk menentukannya jumlahkan kedua data tersebut dan bagi dua)

Contoh:

Diketahui data sbb: 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11 ( n= 14)

Titik tengah terletak antara data ke7 dan data ke 8 (angka 6 dan 7) maka: Me =

Data : 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9,11, 12 ( n = 15) median terletak pada data ke 8 sehingga Me = 7

 Median data berkelompok:

b = batas bawah kelas median

p = panjang kelas median n = banyaknya data

F = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas median f = frekuensi kelas median

Contoh tabel distribusi ( n = 40)

Nilai Fi 31 – 40 2 41 – 50 4 51 – 60 10 61 – 70 15 71 – 80 6 81 – 90 3

(6)

Karena n = 40 maka kelas median terletak antara data ke 20 dan data ke 21 atau terletak pada kelas dengan interval 61 – 70, sehingga diperoleh komponen-komponen:

b = 60.5; p = 10; n = 40; F = 16 dan f = 15 3. Modus

Modusmerupakan nilai yang memiliki frekuensi terbesar dari suatu himpunan data dan juga merupakan ukuran yang digunakan untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling sering muncul.

a. Modus data tunggal

Untuk data kualitatif (data dengan tingkat pengukuran sekurang-kurangnya nominal) modus sering dipakai sebagai pengganti rata-rata. Sedangkan untuk data kuantitatif, modus diperoleh dengan jalan menentukan frekuensi terbesar di antara serangkaian data. Serangkaian data mungkin memiliki satu modus (unimodal), dua modus (bimodal) atau lebih dari dua (multimodal).

- Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar (optional)

- Tentukan nilai yang paling banyak muncul

- Nilai modus mungkin lebih dari satu.

Contoh :

Berapa modus dari data berikut : 2,3,5,3,6,9,3,9,5,6,5,1,5 ?

Jawab :

☺ Modus dari data tersebut adalah 3 dan 5

b. Modus data berkelompok:

b = batas bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi terbesar) p = panjang kelas interval

b1= frekuensi kelas modus – frekuensi kelas interval sebelum kelas modus b2= frekuensi kelas modus – frekuensi kelas interval setelah kelas modus Contoh tabel distribusi sbb:

Nilai Fi

(7)

41 – 50 4 51 – 60 10 61 – 70 15 71 – 80 6 81 - 90 3 b = 60.5; p = 10; b1= 15 – 10 = 5 dan b2 = 15 – 6 = 9 maka mo = 60.5 + 10( = 61,6

C. HUBUNGAN MEAN, MEDIAN DAN MODUS

Nilai rata-rata, modus, dan median memiliki hubungan keterkaitan erat dari suatu distribusi frekuensi data. Ketiga nilai ini dapat membantu menafsirkan kesimetrisan data dan kemencengan data. Hubungan mean, median, dan modus adalah sebagai berikut :

 Pada distribusi simetris, ketiga nilai(mean, median, dan modus)

 Nilai median selalu terletak antara mean dan modus pada distribusi yang menceng

 Jika nilai mean lebih besar daripada nilai median dan modus, maka dikatakan distribusi menceng kanan.

 Bila nilai mean lebih kecil daripada nilai median dan modus, maka distribusi menceng ke kiri.

Adapun ukuran penyebaran data yang biasa dihitung adalah range (rentang), standar deviasi (simpangan baku), kurtosis (keruncingan), skewness (kemiringan).

1. Rentang data menunjukkan selisih antara nilai terbesar dengan nilai terkecil dalam suatu himpunan data.

2. Simpanganbaku adalah jumlah mutlak selisih setiap nilai pengamatan terhadap nilai rata-rata dibagi dengan banyaknya pengamatan.

3. Kurtosis merupakan ukuran untuk menentukan bentuk distribusi yang biasanya dibandingan dengan kurva distribusi normal. Bentuk kurtosis bisa berupa leptokurtik (berpuncak tinggi dan ekor landai), platikurtik (berpuncak rendah dan berekor pendek), dan mesokurtik (disebut juga distribusi normal, berpuncak tidak begitu tinggi dan tidak terlalu landai).

4. Skewnessadalah ukuran untuk menentukan kemiringan dari suatu kurva distribusi. Penafsiran skewness dapat dilakukan secara visual, melalui koefisien kemencengan, atau koefisien moment ketiga.

D. NILAI PEMUSATAN DATA YANG SERING DIGUNAKAN

(8)

Mean atau rataan merupakan salah satu ukuran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang sekumpulan data. Rataan merupakan wakil dari sekumpulan data atau dianggap suatu nilai yang paling dekat dengan hasil pengukuran yang sebenarnya. Jenis rataan antara lain: a. Rataan hitung

Tunggal

Jika nilai n banyak data yang terdiri dari x1, x2, x3, … xn, rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut :

n = banyak data xᵢ = nilai data ke-i

∑n = jumlah data (jumlah data ke-1 sampai dengan data ke-n) Contoh Soal :

Nilai ulangan matematika 5 siswa kelas X Akuntansi adalah 8, 5, 7, 10, dan 5. Rata-rata hitung nilai siswa tersebut adalah ….

Pembahasan Soal : Diket : Data = 8, 5, 7,10, 5 n (banyak data) = 5 jumlah data = 8 + 5 + 7 + 10 + 5 = 35 Ditanya : rata-rata  Jawab : 35:5 = 7 Berbobot

Jika nilai n buah data adalah x1, x2, x3, … xn, dan masing-masing frekuensinya adalah f1, f2, f3, … fn , nilai rata-rata hitung sekumpulan data tersebut didefinisikan sebagai berikut :

= Jumlah hasil perkalian setiap data dan frekuensinya fi = Frekuensi data ke-i

x i = Data ke-i

fi = n = banyak data Contoh Soal :

(9)

Tabel penju alan 10 buah kios pakaia n pada mingg u perta ma bulan Dese mber 2008 rata-rata pakaia n yang terjual pada tabel di bawah adalah Ditan ya : Rumu s rata-rata Jawab : = = 84 Pembahasan : Pakaian terjual (xi) Banyak Kios (fi) fi . xi Pakaian terjual (xi) Banyak Kios (fi) 70 2 80 3 90 4 100 1

(10)

70 2 140 80 3 240 90 4 360 100 1 100  10 840 · Kelompok

Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menentukan Rata-rata hitung data berkelompok. 1.

Ket.

, xi = Titik tengah

= ½ . (batas bawah + batas atas) ci = Kode titik tengah

I = Interval kelas = Panjang kelas =

x0 = Titik tengah pada frekuensi terbesar

di = xi – x0

dengan rumus sigma

2. dengan rumus coding 3. dengan rata-rata duga

Contoh Soal :

Rata-rata pendapatan harian pedagang kaki lima pada tabel di samping adalah Rp … Tabel pendapatan 50 Pedagang kaki lima pada tanggal 1

Januari 2009

NO Pendapatan (dalam puluhan ribu rupiah)

fi

(11)

2 6 – 10 20

3 11 – 15 10

4 16 - 20 9

5 21 - 25 5

b. Rataan ukur

Misalkan diberikan sekumpulan data x1, x2, x3, …, xn. Rataan ukur yang disimbolkan dengan U didefinisikan dengan: Dengan, U = rataan ukur n = banyaknya data x1 = data ke-i c. Rataan harmonis

Misalkan diberikan sekumpulan data X1, X2, X3, …, Xn. Rataan harmonis yang disimbolkan dengan H didefinisikan dengan:

Dengan:

H = rataan harmonis n = banyaknya data x1 = data ke-i 2. Median

Median adalah salah satu ukuran pemusatan data, yaitu, jika segugus data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya, nilai pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila jumlah datanya ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila datanya genap. Rumus Median:

a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari nilai median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.

Contoh 1: Nilai Tengah

Dari lima kali kuiz statistika, seorang mahasiswa memperoleh nilai 82, 93, 86, 92, dan 79. Tentukan median populasi ini.

Jawab:

Setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh 79 82 86 92 93 Oleh karena itu mediannya adalah 86

(12)

Contoh 2:

Kadar nikotin yang berasal dari sebuah contoh acak enam batang rokok cap tertentu adalah 2.3 , 2.7 , 2.5 , 2.9 , 3.1 , dan 1.9 miligram. Tentukan mediannya.

Jawab:

Bila kadar nikotin itu diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar, maka diperoleh 1.9 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1

Maka mediannya adalah rata-rata dari 2.5 dan 2.7 yaitu b) Rumus Data yang Dikelompokkan

Ket.: = Kuartil ke-j j = 1, 2, 3

i = Interval kelas = Tepi bawah kelas

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas f = Frekuensi kelas

n = Banyak data 3. Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Jika kita tertarik pada data frekuensi, jumlah dari suatu nilai dari kumpulan data, maka kita menggunakan modus. Modus sangat baik bila digunakan untuk data yang memiliki sekala kategorik yaitu nominal atau ordinal.

Sedangkan data ordinal adalah data kategorik yang bisa diurutkan. Misalnya,

Kita menanyakan kepada 100 orang tentang kebiasaan untuk mencuci kaki sebelum tidur, Dengan pilihan jawaban:

a. Selalu b. Sering

c. Kadang-kadang d. Jarang

e. Tidak pernah

Apabila kita ingin melihat ukuran pemusatannya lebih baik menggunakan modus yaitu jawaban yang paling banyak dipilih, misalnya sering (2). Berarti sebagian besar orang dari 100 orang yang ditanyakan, menjawab sering mencuci kaki sebelum tidur.

Rumus Modus:

1. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan

(13)

Sumbangan dari warga Weleri pada hari Palang Merah Nasional tercatat sebagai berikut: Rp 9.000, Rp 10.000, Rp 5.000, Rp 9.000, Rp 9.000, Rp 7.000, Rp 8.000, Rp 6.000, Rp 10.000, Rp 11.000. Berapakah nilai Modusnya?

Jawab:

Modus yaitu nilai yang terjadi dengan frekuensi paling sering muncul, adalah Rp 9.000. 2. Data yang telah dikelompokkan

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus: Ket. : = Modus

L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas

b1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya b2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya. Contoh:

Nilai Titik tengah

xi Frekuensi fi 55 – 59 57 6 60 – 64 62 8 65 – 69 67 16 70 – 74 72 10 75 – 79 77 6 80 – 84 82 4

Dari Tabel diatas, tentukan nilai Modusnya. Jawab:

Dari Tabel diatas dapat ditetapkan:

· Kelas modusnya 65 – 69 (karena memiliki frekuensi terbesar, yaitu 16), tepi bawahnya L = 64,5 dan tepi atasnya U =69,5 sehingga panjang kelas,

i = U – L i = 69,5 – 64,5 i = 5

(14)

b1 = 16 – 8 b1 = 8

· Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya, b2 = 16 – 10

b2 = 6

Jadi modusnya adalah

= 64,5 + 5 ()

=67,35 (teliti sampai dua tempat desimal).

E. RUMUS 1. Rumus Modus

a. Rumus Modus Untuk Data Tunggal

Rumus statistika modus. untuk mencari modus dari data tunggal cukup dengan mencari nilai yang banyak keluar.

Contoh:

Ada sebuah data tunggal sebagai berikut 2,3,5,7,3,4,7,8,4,6,4,5,4 dari data tunggal di atas maka modusnya adalah 4 (keluar 4 kali)

b. Rumus Modus Untuk data Kelompok

keterangan Mo = modus

c = panjang kelas (interval kelas) Lo = batas bawah dari kelas modus, fo = frekuensi kelas modus,

f1 = frekuensi dari kelas sebelum kelas modus, f2 = frekuensi dari kelas setelah kelas modus contoh sederhana

Berapa modus dari data kelompok berikut dan bagaimana cara menghitung modusnya? Batas Kelas Frekuensi

19,5-24,5 100 24,5-30,5 120

(15)

30,5-35,5 70 35,5-40,5 150 40,5-45,5 90 45,5-50,5 80 50,5-55,5 30 Interval Kelas (c) = 5

Batas Bawah Kelas modus = 35,5 fo = 150

f1 = 70 f2 = 90

jadi modusnya = 35,5 + 5 (80/(80+60)) = 35,5 + 5 (80/140) = 35,5 + 2,86 = 38,36

2. Rumus Rata-rata/Rataan/Mean a. Rumus Rataan Data Tunggal

contoh sederhana : kita punya data tunggal 4,5,6 maka ratanya = (4+5+6)/3 =5,

b. Rumus Rata-rata/Rataan/Mead Data Kelompok

fi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian

xi = rata-rata kelas

3. Rumus Median /Nilai Tengah a. Rumus Median Data Tunggal

(16)

Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median Me = nilai median

n = banyaknya data

Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median f0 = frekuensi kelas yang memuat median

c = panjang intreval kelas Contoh Soal Kelas Frekuensi F Kumulatif 15-19 5 5 20-24 7 12 25-29 10 22 30-34 15 37 35-39 13 50 40-44 8 58 45-49 3 60

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa median adalah suku antaran suku ke 29 dan suku ke 30

dan kelas letak median ada di kelas 30-34. Jadi

Median = 29,5 +[(30-37)/15] 5 = 27,16

Jadi median dari data kelompok di atas adalah 27,16

F. PENGGUNAAN UKURAN PEMUSATAN

Ukuran pemusatan digunakan untuk memudahkan penyajian atau penjelasan data. Data yang terdiri dari banyak observasi dapat dinyatakan dengan satu nilai. Data berat badan dari ratusan orang bahkan ribuan orang dapat dinyatakan dengan satuan nilai saja yaitu nilai rata-rata. Kadar gula darah pasien di suatu rumah sakit yang jumlahnya ratusan dapat dikemukakan dengan satu nilai rata-rata hitung atau mean.

Ketika melakukan observasi kepada seseorang kepala puskesmas dan ditanyakan rata-rata jumlah kunjungan dalam satu hari, jika ia dapat menjawab segera tanpa melihat catatan jumlah kunjungan, maka ada dua kemungkinan dari jawaban itu. Pertama, ia akan mengemukakan rata-rata tengah, dan kedua, mungkin juga ia akan mengemukakan jumlah kunjungan yang sering terjadi. Nilai yang terakhir ini disebut dengan rata-rata terbanyak atau modus. Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dengar orang mengatakan bahwa rata-rata penduduk Indonesia beragama Islam, artinya paling banyak penduduk Indonesia beragama Islam.

(17)

BAB III PENUTUP KESIMPULAN

a. Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan.

b. Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu: · Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)

· Median · Modus

c. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data.

d. Median dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,…, xn adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan.

Referensi

Dokumen terkait

Merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat data.. Yang termasuk ukuran pemusatan

Apabila banyaknya data genap, maka median adalah rata – rata dari data yang berada di tengah – tengah kelompok data setelah

Dalam makala yang mengenai ukuran pemusatan dan pembebasan data ini, ada beberapa macam yang akan kami bahas yaitu: Pada ukuran pemusatan data terdiri dari Rata-Rata

Ukuran data Ukuran Pemusatan data Ukuran letak data Ukuran penyebaran data Mean Median Modus Median Kuartil Desil Persentil Jangkauan.. Jangkauan antar kuartil

Modus adalah ukuran pemusatan data yang nilainya dapat diperoleh dengan melihat data yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi terbesar.. Modus

Ukuran Pemusatan ukuran lokasi pusat Median Segugus data yg telah diurutkan  pengamatan yg berada di tengah-tengah jumlah data ganjil Contoh: 8, 8,9,10,11,12,12  rata-rata kedua

Median • Merupakan suatu nilai yang berada ditengah-tengah data, setelah data tersebut diurutkan 1 Median untuk Data Tidak Berkelompok • Adalah nilai yang letaknya di tengah data

Median  Apabila data numerik, yang terdiri atas n skor diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar, maka data itu disebut juga statistik urutan, sedangkan skor yang nomor urutnya