د ﺮ ﻮد ﯽ ﻪ اری

(1)

مﻮﻠﻋ هﺪ ﺸﻧاد ﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ و رﺎﻣآ هوﺮﮔ

ناﻮﻨﻋ ﺎﺑ ﺸﻫوﮋﭘ حﺮﻃ

ﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔﺮﻠﻔﻟ -گﺎﺘﯿﻣ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ

حﺮﻃ یﺮﺠﻣ

ﯽ دﻮ ﺮ د

حﺮﻃ رﺎ ﻤﻫ

یرا ﻪ

١٣٩۵ ﺰﯿﯾﺎﭘ

(2)

ﺐﻟﺎﻄﻣ ﺖﺳﺮﻬﻓ

ب ﺐﻟﺎﻄﻣ ﺖﺳﺮﻬﻓ

٣ ﻪﻣﺪﻘﻣ ١

۴ ﻪﯿﻟوا ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ و ﻒﯾرﺎﻌﺗ ٢

۴subsection.٢٬١ ١١ . . . ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ ﺮﺑ ﺲﯿﺘﻠﯿﺘﺷا‐نﺎﻤﯾر لاﺮﮕﺘﻧا ٢ . ٢ ١١ . . . ﻪﺘﺴﺴﮔ یﺮﺴﮐ نﺎﺑﺎﺴﺣ ٣ . ٢ ١٢ . . . ﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد یﺮﺴﮐ تﻼﺿﺎﻔﺗ و ﺎﻫ ﻊﻤﺟ ١ . ٣ . ٢ ١۴ . . . ﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد یﺎﺗﻮﭘﺎﮐ یﺮﺴﮐ تﻼﺿﺎﻔﺗ ٢ . ٣ . ٢ ١۶ . . . اﻮﻨ ﯾ ﻼﻣﺎﮐ ﻊﺑاﻮﺗ ۴ . ٢

١٨ ﻼﺑﺎﻧ ﻪﺘﺴﺴﮔ یﺎﻣﺎﮔ ﻊﯾزﻮﺗ ٣

٢٠ ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ یﺎﻣﺎﮔ ﻊﯾزﻮﺗ ۴

٢٢ ﺎﺘﻟد نﻮﺳاﻮﭘ ﻊﯾزﻮﺗ ۵

٢۶ ﻼﺑﺎﻧ نﻮﺳاﻮﭘ ﻊﯾزﻮﺗ ۶

٢٨ ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ سﻼﭘﻻ ﻞﯾﺪﺒﺗ یاﺮﺑ سﻮﮑﻌﻣ لﻮﻣﺮﻓ ٧

٢٩ ﻼﺑﺎﻧ ﻪﺘﺴﺴﮔ سﻼﭘﻻ ﻞﯾﺪﺒﺗ یاﺮﺑ سﻮﮑﻌﻣ لﻮﻣﺮﻓ ٨

ب

(3)

٣٠ ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ ﺮﺑ ﻦﯾﺎﺘﺸﻧﺮﺑ ﻪﯿﻀﻗ ٩

٣٢ ﻼﺑﺎﻧ ﻪﺘﺴﺴﮔﺮﻠﻔﻟ ‐گﺎﺘﯿﻣ ﻊﯾزﻮﺗ ١٠

٣٧ ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔﺮﻠﻔﻟ ‐گﺎﺘﯿﻣ ﻊﯾزﻮﺗ ١١

۴۴ ﻊﺟاﺮﻣ

پ

(4)

ﻢ اﻦ ا اﻢ

١

(5)

هﺪﯿ ﭼ

ار ﻪﺘﺴﺴﮔ و ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﺎﻬﻨﺗ ﻪﻧ ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ یور ﺮﺑ یرﺎﻣآ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ رد .ﺪﻨﮐ ﻣ ﻤﮐ ﺰﯿﻧ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ ﺞﯾﺎﺘﻧ زا ﻧﻮﮔﺎﻧﻮﮔ یزﺎﺳرﺎ ﺷآ رد ﻪ ﻠﺑ دزﺎﺳ ﻣ ﻞ ﺸﻟاﺪﺤﺘﻣ یور ﺮﺑ نﺎﺑﺎﺴﺣ ﺳﺎﺳا راﺰﺑا زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ار ﻦﯾﺎﺘﺸﻧﺮﺑ ﻪﯿﻀﻗ ﺖﺴﺨﻧ ﺎﻣ ﺸﻫوﮋﭘ حﺮﻃ ﻦﯾا ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﻠﻔﻟ‐گﺎﺘﯿﻣ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ نآ زا یدﺮﺑرﺎﮐ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ و ﻢﯿﻫد ﻣ ﻢﯿﻤﻌﺗ ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ و ﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﻦﯾا یﺎﻫ ﮔﮋﯾو .دﺮﮐ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﻓﺮﻌﻣ ﺎﻬﻧآ سﻼﭘﻻ ﻞﯾﺪﺒﺗ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ار ﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد .دﺮﯿﮔ ﻣ راﺮﻗ ﺳرﺮﺑ درﻮﻣ ﺰﯿﻧ ﺮ ﯾد یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﺎﺑ ﺎﻬﻧآ طﺎﺒﺗرا ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﻠﻔﻟ ‐گﺎﺘﯿﻣ ﻊﯾزﻮﺗ ،ﻪﺘﺴﺴﮔ سﻼﭘﻻ ﻞﯾﺪﺒﺗ ، ﻧﺎﻣز سﺎﯿﻘﻣ :یﺪﯿﻠﮐ یﺎﻫ هژاو

٢

(6)

ﻪﻣﺪﻘﻣ ١

ﻪﺘﺴﺴﮔ عاﻮﻧا زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻢﯾﺎﺗ ﻒﯾﻻ یﺎﻫ هداد یﺪﻨﺑ لﺪﻣ رﺎﻣآ رد ﻖﯿﻘﺤﺗ یﺎﻫ ﻪﻨﯿﻣز زا ﯾ ﻪﺘﺴﺴﮔ یرﺎﯿﺴﺑ نﺎﻘﻘﺤﻣ ور ﻦﯾا زا .ﺪﺷﺎﺑ ﻣ ﺐﺳﺎﻨﻣ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ﻢﯾﺎﺗ ﻒﯾﻻ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ هﺪﺷ یزﺎﺳ

‐گﺎﺘﯿﻣ ﻊﯾزﻮﺗ یزﺎﺳ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺎﻣ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﻦﯾا رد .ﺪﻨﻫد ﻣ مﺎﺠﻧا ار ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ یزﺎﺳ .ﻢﯿﻫد ﻣ مﺎﺠﻧا ار ﺮﻠﻔﻟ ﻪﯾارا ^[٢۶^] ^١ ﺮﻠﻔﻟ‐گﺎﺘﯿﻣ ﻂﺳﻮﺗ رﺎﺑ ﻦﯿﺘﺴﺨﻧ یﺮﺘﻣارﺎﭘ ﮏﺗ ﺮﻠﻔﻟ‐گﺎﺘﯿﻣ ﻊﺑﺎﺗ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا هﺪﺷ ﺖﺑﺎﺛ اﺮﯿﺧا .دﻮﻤﻧ ﻒﯾﺮﻌﺗ ار نآ یﺮﺘﻣارﺎﭘ ود عﻮﻧ ^[۵^]^٢ لاورﺎﮔآ ﺎﻫﺪﻌﺑ و ﺪﺷ

ﻪﮐ داد نﺎﺸﻧ^[٢٧^]^٣یﻼﯿﭘ .دراد رﺎﻣآ رد ﯽﯾﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ ﻊﺑﺎﺗ ﻦﯾا F_α(x) = ۱−E_α(−x^α), x >۰, ۰< α≤۱

ﻪﺘﺴﺴﮔ عﻮﻧ^[٢١^]یﻼﯿﭘ و^۴رﺎﻣﻮﮐ ﺎﯾﺎﺟ ﺎﻫﺪﻌﺑ .ﺖﺳا ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ﻊﯾزﻮﺗ ﯾ ﻌﻤﺠﺗ ﻊﯾزﻮﺗ ﻊﺑﺎﺗ دﺪﻋ ﯾ ^{θ >} ^۰ نآ رد ﻪﮐ ^λθ ﺮﺘﻣارﺎﭘ ﺎﺑ نﻮﺳاﻮﭘ ی ﻪﺘﺨﯿﻣآ ﯾ ترﻮﺻ ﻪﺑ ،ار ﻊﯾزﻮﺗ ﻦﯾا ﻊﺑاﻮﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺎﻣ ،ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﻦﯾا رد .ﺪﻧا هدﺮﮐ ﻪﯾارا ،دراد ﺮﻠﻔﻟ‐گﺎﺘﯿﻣ ﻊﯾزﻮﺗ ^λ و ﺖﺑﺎﺛ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ عاﻮﻧا ،هﺪﺷ ﻪﯾارا ^[١^] ^۵ داﻮﺠﻟاﺪﺒﻋ ﻂﺳﻮﺗ ﻪﮐ ،ﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﻠﻔﻟ‐گﺎﺘﯿﻣ .دﺮﮐ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﻪﯾارا ار ﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔﺮﻠﻔﻟ‐گﺎﺘﯿﻣ و ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ دﻮﺟو ﻪﺘﺴﺴﮔ یﺮﺴﮐ نﺎﺑﺎﺴﺣ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺎﻣ ^[١۶^] ﻊﺒﻨﻣ رد ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ یﻼﺑﺎﻧ وﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ عاﻮﻧا ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ ﻪﯾﺮﻈﻧ یﺮﯿﮔرﺎﮐ ﻪﺑ ﺎﺑ و ﻢﯾداد نﺎﺸﻧ ار ﻼﺑﺎﻧ

.ﻢﯾدﺮﮐ ﻒﯾﺮﻌﺗ ار ﺞﯾار ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ یﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﻒﯾﺮﻌﺗ یاﺮﺑ ار یﺮ ﯾد شور ﺎﻣ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﻦﯾا رد

ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ ﺮﺑ سﻼﭘﻻ تﻼﯾﺪﺒﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺎﻣ . ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ذﺎﺨﺗا ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﺎﺑ عاﻮﻧا ﻒﯾﺮﻌﺗ یاﺮﺑ ﺎﻫ نآ زا و ﻢﯿﻫد ﻣ ﻢﯿﻤﻌﺗ ﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد عاﻮﻧا رد ار ﻦﯾﺎﺘﺸﻧﺮﺑ رﻮﻬﺸﻣ ﻪﯿﻀﻗ .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ﺮﻠﻔﻟ‐گﺎﺘﯿﻣ ﻊﯾزﻮﺗ یﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ

١Mittag-Leﬄer

٢Agarwal

٣Pillai

۴Jayakumar

۵Abdeljawad

٣

(7)

ﻪﯿﻟوا ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ و ﻒﯾرﺎﻌﺗ ٢

۶

ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ ١ . ٢

ﺪﻨﻫاﻮﺧ هدﺎﻔﺘﺳا یﺪﻌﺑ یﺎﻫ ﺚﺤﺑ رد ﻪﮐ ﺠﯾﺎﺘﻧ و ﻒﯾرﺎﻌﺗ زا یا ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﺎﻣ ﺶﺨﺑ ﻦﯾا رد ﻪﺑ ﺎﯾﺎﻀﻗ و ﻒﯾرﺎﻌﺗ ،ﺖﺳا هﺪﺷ هدروآ ^[١٢^]و ^[١١^]ﻊﺑﺎﻨﻣ رد ﻪﭽﻧﺎﻨﭼ . ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻪﯾارا ار ،ﺪﺷ .ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻣ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ ﻣ ﻘﯿﻘﺣ داﺪﻋا زا هاﻮﺨﻟد و ﻟﺎﺧﺮﯿﻏ ،ﻪﺘﺴﺑ یا ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز T ﻧﺎﻣز سﺎﯿﻘﻣ ﻪﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ وﺮﺴﭘ و وﺮﺸﯿﭘ ﺶﻬﺟ یﺎﻫﺮ ﻠﻤﻋ .ﺪﻨﺘﺴﻫT =NوT =Rنآ ﺞﯾار یﺎﻫ لﺎﺜﻣ

:ﺪﻧﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺻ σ(t) :=inf{s ∈T;s > t}, ρ(t) :=sup{s∈T;s < t}

.sup∅:=infTو^inf^∅^:=^sup^Tﻪﮐ زا و^{σ(t) =} ^t و^{t < sup}^Tﺮﮔا ﺖﺳا^٧ لﺎ ﭼ ﺖﺳار زا ﻪﮐ دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻔﮔ^t ^∈ ^Tﻪﻄﻘﻧ σ(t)> tهﺎﮔﺮﻫ ﺖﺳا^٩هﺪﻨﮐاﺮﭘ ﺖﺳار زا^{.ρ(t) =} ^tو^{t > inf}^Tهﺎﮔﺮﻫ ﺖﺳا^٨ لﺎ ﭼ ﭗﭼ

.ρ(t)< tهﺎﮔﺮﻫ ﺖﺳا^١٠ هﺪﻨﮐاﺮﭘ ﭗﭼ زا و ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ ^ν ^: ^T ^−→ ^[۰,^∞⁾ و ^µ^: ^T ^−→ ^[۰,^∞⁾^١١ رﺎﮕﻧ و ﺶﻘﻧ ﯽﺑ ﻊﺑاﻮﺗ

.ν(t) :=t−ρ(t)و ^{µ(t) :=} ^σ(t)⁻^tﺎﺑ ﺪﻧﻮﺷ ﻣ .ﺪﻧﻮﺷ ﻣ هدروآ ﺮﯾﺬﭘ لاﺮﮕﺘﻧا ﻊﺑاﻮﺗ یﺎﻫ سﻼﮐ ﻦﯿﯿﻌﺗ رﻮﻈﻨﻣ ﻪﺑ ﺮﯾز ﻒﯾﺮﻌﺗ ود مﺎﻤﺗ رد نآ ﺖﺳار دوﺪﺣ ﺮﮔا دﻮﺷ ﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ^١٢ هﺪﺷ ﻢﯿﻈﻨﺗ^f ^:^T^−→^Rﻊﺑﺎﺗ .١ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو^Tرد لﺎ ﭼ ﭗﭼ زا طﺎﻘﻧ مﺎﻤﺗ رد نآ ﭗﭼ دوﺪﺣ و لﺎ ﭼ ﺖﺳار زا طﺎﻘﻧ f :T−→Rﻊﺑﺎﺗ .٢ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ و ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ،لﺎ ﭼ ﺖﺳار زا طﺎﻘﻧ رد هﺎﮔﺮﻫ دﻮﺷ ﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ^١٣ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ‐ید رآ (١)

.ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ ،لﺎ ﭼ ﭗﭼ زا طﺎﻘﻧ رد نآ ﭗﭼ دوﺪﺣ

۶time scales

٧right-dense

٨left-dense

٩right-scattered

١٠left-scattered

١١graininess

١٢regulated

١٣rd-continuous

۴

(8)

و ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ،لﺎ ﭼ ﭗﭼ زا طﺎﻘﻧ رد هﺎﮔﺮﻫ دﻮﺷ ﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ^١۴ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ‐ید لا (٢) .ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ ،لﺎ ﭼ ﺖﺳار زا طﺎﻘﻧ رد نآ ﺖﺳار دوﺪﺣ :دﻮﺷ ﻣ ﻞﺻﺎﺣ ترﻮﺻ ﻦﯾا ﻪﺑ^T ﻧﺎﻣز سﺎﯿﻘﻣ زا^T^kﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﺮﯿﻏ رد و^T^k ^:=^T^{− {}^M^}هﺎﮔ نآ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ار ^M هﺪﻨﮐاﺮﭘ ﭗﭼ زا ﻢﻤﯾﺰﮐﺎﻣ^Tﺮﮔا

.Tk :=Tترﻮﺻ ﻦﯾا :دﻮﺷ ﻣ ﻞﺻﺎﺣ ترﻮﺻ ﻦﯾا ﻪﺑ^T ﻧﺎﻣز سﺎﯿﻘﻣ زا^T^∗kﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻦﯾا ﺮﯿﻏ رد و^T^∗k :=T− {m}هﺎﮔ نآ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ار^mهﺪﻨﮐاﺮﭘ ﺖﺳار زا ﻢﻤﯿﻨﯿﻣ^Tﺮﮔا

.T^∗k :=Tترﻮﺻ ﺖﺴﻫ ﺎﺘﻟد ﺮﯾﺬﭘ ﻖﺘﺸﻣ^t ^∈^T^k ﻪﻄﻘﻧ رد ﻪﮐ دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻔﮔ ^f ^: ^T ^−→^R ﻊﺑﺎﺗ .٣ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﯾﺎﺴﻤﻫ ﯾ^{ε >} ^۰ﺮﻫ یاﺮﺑ ﻪﮐ ﮔﮋﯾو ﻦﯾا ﺎﺑ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو ^f^△ ﺪﻨﻧﺎﻣ یراﺪﻘﻣﺮﮔا ﻪﮐ یرﻮﻃ ﻪﺑ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ^U ﺪﻨﻧﺎﻣ

|f(σ(t))−f(s)−f^△(t)(σ(t)−s)| ≤ε|σ(t)−s|

.s∈U ﺮﻫ یاﺮﺑ ﺖﺴﻫ ﻼﺑﺎﻧ ﺮﯾﺬﭘ ﻖﺘﺸﻣ ^t∈ T^∗kﻪﻄﻘﻧ رد ﻪﮐ دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻔﮔ ^f ^:T −→Rﻊﺑﺎﺗ .۴ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﯾﺎﺴﻤﻫ ﯾ ^{ε >} ^۰ ﺮﻫ یاﺮﺑ ﻪﮐ ﮔﮋﯾو ﻦﯾا ﺎﺑ ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو ^f^▽ ﺪﻨﻧﺎﻣ یراﺪﻘﻣﺮﮔا ﻪﮐ یرﻮﻃ ﻪﺑ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ^U ﺪﻨﻧﺎﻣ

|f(ρ(t))−f(s)−f^▽(t)(ρ(t)−s)| ≤ε|ρ(t)−s|

.s∈U ﺮﻫ یاﺮﺑ ﯾ ﺮﺑ ﺎﺘﻟد و ﻼﺑﺎﻧ ﯽﯾﺎﻤﻧ ﻊﺑاﻮﺗ ﻒﯾﺮﻌﺗ رﻮﻈﻨﻣ ﻪﺑ ﺮﯾز ﻒﯾﺮﻌﺗ ود ﻪﺑ ﺎﻣ ،ﺎﻫ ﻦﯾا ﺮﺑ هوﻼﻋ ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﻒﯾﺮﻌﺗ یاﺮﺑ ﻒﯾرﺎﻌﺗ ﻦﯾا زا اﺪﻌﺑ ﺎﻣ .ﻢﯾراد زﺎﯿﻧ هاﻮﺨﻟد ﻧﺎﻣز سﺎﯿﻘﻣ

.دﺮﮐ ﻢﯿﻫاﻮﺧ هدﺎﻔﺘﺳا ﻼﺑﺎﻧ و ۱+µ(t)p(t) ̸= ۰ﺮﮔا دﻮﺷ ﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ^١۵ وﺮﺴﭘ‐^µ ، ^f ^: ^T ^−→ ^R ﻊﺑﺎﺗ .۵ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ .t∈Tk ﺮﻫ یاﺮﺑ

١۴ld-continuous

١۵µ−regressive

۵

(9)

” ^⊕ ﻊﻤﺟﺎﺑ ﻠﺑآ هوﺮﮔ ﯾ ،ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ‐یدرآ و وﺮﺴﭘ‐^µﻊﺑاﻮﺗ مﺎﻤﺗ ﻞﻣﺎﺷ^R^µﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﺎﺑ دﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻪﮐ ﺪﻨﻫد ﻣ ﻞﯿ ﺸﺗ ”ﻊﻤﺟ هﺮﯾاد (p⊕q)(t) :=p(t) +q(t) +µ(t)p(t)q(t), t∈Tk.

۱−ν(t)p(t) ̸= ۰ﺮﮔا دﻮﺷ ﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ^١۶ وﺮﺴﭘ‐ ^ν ، ^f ^: ^T ^−→ ^R ﻊﺑﺎﺗ .۶ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ .t∈T^∗k ﺮﻫ یاﺮﺑ

” ^⊕ﻊﻤﺟﺎﺑ ﻠﺑآ هوﺮﮔ ﯾ ،ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ‐ید لا و وﺮﺴﭘ‐ ^νﻊﺑاﻮﺗ مﺎﻤﺗ ﻞﻣﺎﺷ^R^ν ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﺎﺑ دﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻪﮐ ﺪﻨﻫد ﻣ ﻞﯿ ﺸﺗ ”ﻊﻤﺟ هﺮﯾاد (p⊕q)(t) := p(t) +q(t)−ν(t)p(t)q(t), t ∈T^∗k.

ﺎﺑ دﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ^p^{∈ R}^µیاﺮﺑ^⊖^pﻊﻤﺟ سﻮﮑﻌﻣ (⊖p)(t) := − p(t)

۱+µ(t)p(t), t∈Tk

ﺎﺑ دﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ^p^{∈ R}^ν یاﺮﺑ و (⊖p)(t) :=− p(t)

۱−ν(t)p(t), t ∈T^∗k.

ﺳرﺮﺑ ،ﺪﻧا هﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻌﯿﺒﻃ داﺪﻋا زا ﺘﻔﯿﺷ ﺮﺑ ﻪﮐ ار یراﺪﻘﻣ ﻘﯿﻘﺣ ﻊﺑاﻮﺗ ،حﺮﻃ ﻦﯾا رد :دﺮﮐ ﻢﯿﻫاﻮﺧ f :Na−→R, Na:={a}+N۰ ={a, a+۱, a+۲, ...}, (a∈R),

ﺎﯾ f : _bN−→R, _bN:={b} −N۰ ={b, b−۱, b−۲, ...}, (b∈R).

یﺎﺘﻟد ﯽﯾﺎﻤﻧ ﻊﺑﺎﺗ .ﺪﺷﺎﺑ ﺖﺑﺎﺛ ﻪﻄﻘﻧ ﯾ ^t^۰ ^∈ ^T و ^p ^{∈ R}^µ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .٧ . ٢ ﻪﯿﻀﻗ ﺪﺷﺎﺑ ﻣ ﺮﯾز یزﺮﻣ راﺪﻘﻣ ﻪﻟﺎﺴﻣ دﺮﻔﺑﺮﺼﺤﻨﻣ باﻮﺟ:^e^p^{(., t}^۰⁾ y^△(t) =p(t)y, y(t۰) = ۱.

١۶ν−regressive

۶

(10)

ناﻮﺗ ﻣ ﺘﺣاﺮﺑ هﺎﮔ نآ^.t^۰ ⁼âو^p^{∈ R}^µﻪﮐ^p(t)^≡^pو^f ^:^Nâ^−→^R^,ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻢﯾروآ ﻣ ﺖﺳد ﻪﺑ^{p(t) =} ^{۱, a} ⁼^۰ صﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ رد وê^p(t, a) = (۱+p)^t⁻â ﻪﮐ ﺪﯾد

.e_۱(t,۰) = (۲)^t یﻼﺑﺎﻧ ﯽﯾﺎﻤﻧ ﻊﺑﺎﺗ .ﺪﺷﺎﺑ ﺖﺑﺎﺛ ﻪﻄﻘﻧ ﯾ ^t^۰ ^∈ ^T و ^p ^{∈ R}^ν ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .٨ . ٢ ﻪﯿﻀﻗ ﺪﺷﺎﺑ ﻣ ﺮﯾز یزﺮﻣ راﺪﻘﻣ ﻪﻟﺎﺴﻣ دﺮﻔﺑﺮﺼﺤﻨﻣ باﻮﺟ^e^∗p(., t_۰) y^▽(t) =p(t)y, y(t_۰) = ۱.

هﺎﮔ نآ^.t^۰ ⁼ â و ^p^{∈ R}^ν ⁼^C^{\ {}^۱^} ﻪﮐ^p(t)^≡ ^pو^f ^: ^Nâ ^−→ ^R^,ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﺑ^{p(t) =} ^۱۲, a =۰ صﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ رد وê^∗p(t, a) = (۱−p)â⁻^t ﻪﮐ ﺪﯾد ناﻮﺗ ﻣ ﺘﺣاﺮﺑ

.e^∗۱ ۲

(t,۰) = (۲)^tﻢﯾروآ ﻣ ﺖﺳد ﻒﯾﺮﻌﺗ یاﺮﺑ ار نآ اﺪﻌﺑ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ار ﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد ^١٧ رﻮﻠﯿﺗ یا ﻪﻠﻤﺟ ﮏﺗ ﺎﻣ لﺎﺣ

. ﺖﻓﺮﮔ ﻢﯿﻫاﻮﺧ رﺎﮐ ﻪﺑ ﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﻪﮐ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻣ^hⁿ ^:T×T −→R, n ∈ N,ﻊﺑاﻮﺗ ﺎﺘﻟد رﻮﻠﯿﺗ یﺎﻬﯾا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ .٩ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺎﺑ ﺪﻧﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺘﺸﮔزﺎﺑ رﻮﻃ ﻪﺑ h۰(t, s) = ۱, hn+۱(t, s) =

∫ s t

h_n(τ, s)△τ, n∈N, t, s∈T. (١) ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻣ ^hⁿ ^: ^T^×^T ^−→ ^R^{, n} ^∈ ^N^,ﻊﺑاﻮﺗ ﻼﺑﺎﻧ رﻮﻠﯿﺗ یﺎﻬﯾا ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ .١٠ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺎﺑ ﺪﻧﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺘﺸﮔزﺎﺑ رﻮﻃ ﻪﺑ ﻪﮐ h^∗_۰(t, s) = ۱, h^∗_n+۱(t, s) =

∫ _s

t

h_n(τ, s)▽τ, n∈N, t, s∈T. (٢) ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻣ ﺮﻈﻧ رد ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ یاﺮﺑ ار ﺮﯾز ﺖﻟﺎﺣ ﻪﺳ ﻻﺎﺣ ﺢﯾﺮﺻ رﻮﻃ ﻪﺑ ناﻮﺗ ﻣ ار رﻮﻠﯿﺗ یا ﻪﻠﻤﺟ ﮏﺗ و^{ρ(t) =} ^{σ(t) =}^tهﺎﮔ نآ^T⁼^Rﺮﮔا (١)

:ﺖﺷﻮﻧ ﺮﯾز h_n(t, s) = h^∗_n(t, s) = (t−s)ⁿ

n! , t, s∈R, n∈N.

١٧Taylor monomial

٧

(11)

ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ار رﻮﻠﯿﺗ ما⁻^αیا ﻪﻠﻤﺟ ﮏﺗ^α^∈^R^{\ {−N}}ﺮﻫ یاﺮﺑ hα(t, s) = (t−s)^α

Γ(۱+α), (٣)

.ﺖﺳا ﺎﻣﺎﮔ صﺎﺧ ﻊﺑﺎﺗ نﺎﻤﻫ^Γﻪﮐ ﮏﺗ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ار ^h^α^{(t) :=} ^h^α^(t,^{۰) =} Γ(۱+α)^t^α صﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ ﺎﻬﻨﺗ ﺎﻣ ،ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﻦﯾا رد

.دﺮﮐ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﺳرﺮﺑ رﻮﻠﯿﺗ یا ﻪﻠﻤﺟ ﺢﯾﺮﺻ رﻮﻃ ﻪﺑ ناﻮﺗ ﻣ ار رﻮﻠﯿﺗ یا ﻪﻠﻤﺟ ﮏﺗ و ^{σ(t) =} ^t⁺^۱هﺎﮔ نآ^T ⁼ ^Zﺮﮔا (٢)

:ﺖﺷﻮﻧ ﺮﯾز h_n(t, s) = (t−s)ⁿ

n! , t, s∈Z, n∈N. (۴)

ﺮﻔﺻ ﺮﯿﺧا بﺮﻀﻠﺻﺎﺣ ،^t⁺^۱⁻^j ⁼^۰, ^∀^j ﺮﮔا و^tⁿ ^{= Π}ⁿj=۰⁻^۱(t−j) = _Γ(t+۱^Γ(t+۱)₋_j) ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ هاﻮﺨﻟد^αیاﺮﺑ ،ﺮﺗ ﻠﮐ ﺖﻟﺎﺣ رد .دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ

t^α = Γ(t+۱)

Γ(t+۱−α), (۵)

هزﺎﺟا ﺎﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﻓﺎﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ ﻟوﺰﻧ ﻊﺑﺎﺗ ﻦﯾا .ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ ،ﺐﻄﻗ ﺮﺑ ﻢﯿﺴﻘﺗ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﻣ دادراﺮﻗ و یاﺮﺑ نآ زا اﺪﻌﺑ ﻪﮐ ،ﻪﺘﻓﺎﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ رﻮﻠﯿﺗ یا ﻪﻠﻤﺟ ﮏﺗ ﯾ ﻒﯾﺮﻌﺗ رﻮﻈﻨﻣ ﻪﺑ ار^(۱)ﻪﮐ ﺪﻫد ﻣ .ﻢﯿﻫد ﻢﯿﻤﻌﺗ ،دﺮﮐ ﻢﯿﻫاﻮﺧ هدﺎﻔﺘﺳا لﺎﻤﺘﺣا ﺪﯾﺪﺟ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ار ﺎﺘﻟد رﻮﻠﯿﺗ ما ⁻^αیا ﻪﻠﻤﺟ ﮏﺗ ^α ^∈^R^{\ {−N}}ﺮﻫ یاﺮﺑ .١١ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ h^α(t, s) = (t−s)^α

Γ(۱+α). (۶)

ﮏﺗ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ار ^h^α^{(t) :=} ^h^α^(t,^{۰) =} Γ(۱+α)^t^α صﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ ﺎﻬﻨﺗ ﺎﻣ ،ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﻦﯾا رد .دﺮﮐ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﺳرﺮﺑ ﺎﺘﻟد رﻮﻠﯿﺗ یا ﻪﻠﻤﺟ ﺢﯾﺮﺻ رﻮﻃ ﻪﺑ ناﻮﺗ ﻣ ار رﻮﻠﯿﺗ یا ﻪﻠﻤﺟ ﮏﺗ و^{ρ(t) =} ^t⁻^۱ هﺎﮔ نآ^T ⁼ ^Zﺮﮔا (٣)

:ﺖﺷﻮﻧ ﺮﯾز h_n(t, s) = (t−s)ⁿ

n! , t, s∈Z, n∈N. ٨

(12)

ﻊﺑﺎﺗ ^α ^∈ ^R^{\ {−N}}یاﺮﺑ ،ﺮﺗ ﻠﮐ ﺖﻟﺎﺣ رد^tⁿ ^{= Πj} ⁼ ^۰ⁿ⁻^۱^(t⁺^{j) =} ^Γ(t+n)Γ(t) .ﻪﮐ ﺎﺑ^αﻪﺘﻓﺎﯾ ﻢﯿﻤﻌﺗ یدﻮﻌﺻ t^α = Γ(t+α)

Γ(t) ,

.۰^α =۰و دﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻢﯿﻤﻌﺗ رﻮﻠﯿﺗ یا ﻪﻠﻤﺟ ﮏﺗ ﯾ ﻒﯾﺮﻌﺗ رﻮﻈﻨﻣ ﻪﺑ ار^(۲) ﻪﮐ ﺪﻫد ﻣ هزﺎﺟا ﺎﻣ ﻪﺑ ﻊﺑﺎﺗ ﻦﯾا .ﻢﯿﻫد ﻢﯿﻤﻌﺗ ،دﺮﮐ ﻢﯿﻫاﻮﺧ هدﺎﻔﺘﺳا لﺎﻤﺘﺣا ﺪﯾﺪﺟ یﺎﻫ ﻊﯾزﻮﺗ ﻒﯾﺮﻌﺗ یاﺮﺑ نآ زا اﺪﻌﺑ ﻪﮐ ﻪﺘﻓﺎﯾ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ار ﻼﺑﺎﻧ رﻮﻠﯿﺗ ما−αیا ﻪﻠﻤﺟ ﮏﺗ^α∈R\ {−N}ﺮﻫ یاﺮﺑ .١٢ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ h^∗

α(t, s) = (t−s)^α

Γ(۱+α). (٧)

ﮏﺗ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ار ^hα(t) := h^∗_α(t,۰) = _Γ(۱+α)^t^α صﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ ﺎﻬﻨﺗ ﺎﻣ ،ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﻦﯾا رد .دﺮﮐ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﺳرﺮﺑ ﻼﺑﺎﻧ رﻮﻠﯿﺗ یا ﻪﻠﻤﺟ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ^f ^:Ta −→Rهﺪﺷ ﻢﯿﻈﻨﺗ ﻊﺑﺎﺗ ﯾ یﺎﺘﻟد^١٨ سﻼﭘﻻ ﻞﯾﺪﺒﺗ .١٣ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ دﻮﺷ ﻣ هداد La{f}(s) =

∫ _∞

a

e_⊖_s(σ(t), a)f(t)△t, ∀s∈ D{f},

D{f} و ﺪﺷﺎﺑ ﻣ â ﻢﻤﯿﻔﻨﯾا ﺎﺑ ناﺮﮐ ﯽﺑ ﻧﺎﻣز سﺎﯿﻘﻣ ﯾ ^Tâ و ﺖﺑﺎﺛ یدﺪﻋ â ^∈ ^R ﻪﮐ .ﺪﺷﺎﺑ اﺮ ﻤﻫ لاﺮﮕﺘﻧا ﻪﮐ یرﻮﻃ ﻪﺑ ﺖﺳا وﺮﺴﭘ ﻂﻠﺘﺨﻣ یﺎﻫ ﺖﺑﺎﺛ مﺎﻤﺗ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ سﻼﭘﻻ ﻞﯾﺪﺒﺗ و ﺖﺳا هﺪﺷ ﻢﯿﻈﻨﺗ ^f ^: ^Nâ ^−→ ^R ﻊﺑﺎﺗ ﺮﻫ^T ⁼ ^Nâ صﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ رد

ﺪﺷﺎﺑ ﻣ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ نآ یﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ La{f}(s) :=

∑∞ t=a

( ۱

۱+s)^۱+tf(t). (٨)

١٨Laplace transform

٩

(13)

ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ^f ^: ^T^a ^−→ ^R هﺪﺷ ﻢﯿﻈﻨﺗ ﻊﺑﺎﺗ ﯾ یﻼﺑﺎﻧ سﻼﭘﻻ ﻞﯾﺪﺒﺗ .١۴ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ دﻮﺷ ﻣ هداد L^∗_a{f}(s) =

∫ _∞

a

e^∗_⊖s(ρ(t), a)f(t)▽t, ∀s∈ D{f},

D{f} و ﺪﺷﺎﺑ ﻣ â ﻢﻤﯿﻔﻨﯾا ﺎﺑ ناﺮﮐ ﯽﺑ ﻧﺎﻣز سﺎﯿﻘﻣ ﯾ ^Tâ و ﺖﺑﺎﺛ یدﺪﻋ â ^∈ ^R ﻪﮐ .ﺪﺷﺎﺑ اﺮ ﻤﻫ لاﺮﮕﺘﻧا ﻪﮐ یرﻮﻃ ﻪﺑ ﺖﺳا وﺮﺴﭘ ﻂﻠﺘﺨﻣ یﺎﻫ ﺖﺑﺎﺛ مﺎﻤﺗ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ سﻼﭘﻻ ﻞﯾﺪﺒﺗ و ﺖﺳا هﺪﺷ ﻢﯿﻈﻨﺗ ^f ^: ^Nâ ^−→ ^R ﻊﺑﺎﺗ ﺮﻫ^T ⁼ ^Nâ صﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ رد

ﺪﺷﺎﺑ ﻣ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ نآ یﻼﺑﺎﻧ ﻪﺘﺴﺴﮔ L^∗a{f}(s) :=

∑∞ t=a

(۱−s)^t−^۱f(t). (٩) :ﻢﯾراد ار ﺮﯾز ﺞﯾﺎﺘﻧ ^α^∈^R^{\ {}^...,⁻^۲,⁻^۱,^۰^}ﺮﻫ یاﺮﺑ^[٧^] .١۵ . ٢ ﻢﻟ

L^∗_۱{t^α⁻^۱}(s) = ^Γ(α)_sα , |۱−s|<۱ .(آ) و .L^∗_۱{t^α⁻^۱b⁻^t}(s) = _(s+b^b^α⁻^۱₋^Γ(α)_۱)α, |۱−s|< b .(ب) :ﻢﯾراد ار ﺮﯾز ﺞﯾﺎﺘﻧ ^α^∈^R^{\ {}^...,⁻^۲,⁻^۱,^۰^}ﺮﻫ یاﺮﺑ^[۶^] .١۶ . ٢ ﻢﻟ

Lα−۱{t^α−۱}(s) = ^Γ(α)_sα .(آ) و .Lα−۱{t^α⁻^۱b^t}(s) = _(s^b^α₋⁻_b+۱)^۱^Γ(α)α .(ب) ﻪﺑ نﺎﺑﺎﺴﺣ ﺳﺎﺳا ﻪﯿﻀﻗ زا ﺎﺘﻟد ﻪﺘﺴﺴﮔ عﻮﻧ ﯾ ^.f ^: ^N^a ^−→ ^R ﻪﮐ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻻﺎﺣ

ﺪﺷﺎﺑ ﻣ ﺮﯾز ترﻮﺻ

t−۱

∑

s=a

△f(s) = f(t)−f(a), △ △⁻_a^۱f(t) =f(t) (١٠) نآ یﻼﺑﺎﻧ ﻪﺘﺴﺴﮔ عﻮﻧ و

∑t s=a+۱

▽f(s) =f(t)−f(a), ▽ ▽⁻_a^۱f(t) =f(t) (١١) .ﺪﺷﺎﺑ ﻣ

١٠

(14)

ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ ﺮﺑ ﺲﯿﺘﻠﯿﺘﺷا‐نﺎﻤﯾر لاﺮﮕﺘﻧا ٢ . ٢

رد ﻢﻫ و ﺎﺘﻟد مﻮﻬﻔﻣ رد ﻢﻫ ، ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ ﺮﺑ^١٩ ﺲﯿﺘﻠﯿﺘﺷا یﺮﯿﮔ لاﺮﮕﺘﻧا ﺪﻨﯾآﺮﻓ^[٢۴^]رد و ^{a, b} ^∈ ^Tو ﺪﺷﺎﺑ ﻧﺎﻣز سﺎﯿﻘﻣ ﯾ ^Tﻪﮐ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ،ﻼﺑﺎﻧ مﻮﻬﻔﻣ ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ^{.a < b} I = [a, b]_T:= [a, b]∩T

I_∆ = [a, ρ(b)]_T ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ هﺎﮕﻧآ Î ^{= [a, b]}T ﺮﮔا لﺎﺣ .ﺖﺳا ﻘﯿﻘﺣ هزﺎﺑ ^{[a, b]}ﻪﮐ ﻢﻫ و^∇ﻢﻫ^♢ ﻨﻌﯾ .ﻢﯿﻫد ﻣ ﺶﯾﺎﻤﻧ ار ﺎﻬﻧآ زا ﯾÎ♢ دﺎﻤﻧ ﺎﺑ هوﻼﻌﺑ^.I∇ = [σ(a), b]_T و ﻧﺎﻣز یﺎﻫ سﺎﯿﻘﻣ ﺮﺑ تﺎﻘﺘﺸﻣ عﻮﻧ ود ﺮﻫ یاﺮﺑ^♢زا ، ﻬﺑﺎﺸﻣ رﻮﻃ ﻪﺑ .ﺪﻫد ﻣ ﺶﯾﺎﻤﻧ ار ^∆ .ﻢﯾﺮﯿ ﺑ ﺮﻈﻧ رد ^f^∆ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ﻢﻫ و ^f^∇ ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ﻢﻫ ^f^♢ ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣ ﻨﻌﯾ .دﻮﺷ ﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﺮﺑ ﺮﯾﺬﭘ لاﺮﮕﺘﻧا‐♢،^gﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ﺲﯿﺘﻠﯿﺘﺷا‐ نﺎﻤﯾر مﻮﻬﻔﻣ ﻪﺑ ﻪﮐ ﻌﺑاﻮﺗ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﻢﯿﻫد ﻣ نﺎﺸﻧ^R♢(g, I)ﺎﺑ ار ﺪﻨﺘﺴﻫÎ ﻌﺑﺎﺗ ^g ﻪﮐ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ ^.I ^{= [a, b]}T, a, b ∈ T ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ^[٢۴^] .١٧ . ٢ ﻪﯿﻀﻗ I ﺮﺑ یراﺪﻧاﺮﮐ ﻘﯿﻘﺣ ﻊﺑﺎﺗ ^f و ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ^{(a, b)}T ﺮﺑ ^g^♢ ﻪﮐ یرﻮﻃ ﻪﺑ ﺪﺷﺎﺑ یدﻮﻌﺻ هوﻼﻌﺑ^g^♢ ^∈^R♢(g, I)ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا ^f ^∈^R♢(g, I)هﺎﮕﻧآ .ﺪﺷﺎﺑ

∫ _b

a

f(t)♢g(t) =

∫ _b

a

f(t)g^♢(t)♢t. (١٢)

f(t) :T→R, f(t) = cﻊﺑﺎﺗ ﺮﻫ^.I ^{= [a, b]}T, a, b∈Tﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ^[٢۴^] .١٨ . ٢ ﻪﯿﻀﻗ ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا ^f ^∈ ^R♢(g, I) و ﺖﺳا ^I ﺮﺑ ^g ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ﺲﯿﺘﻠﯿﺘﺷا ﺮﯾﺬﭘ لاﺮﮕﺘﻧا‐ ^♢ ، هوﻼﻌﺑ^g^♢ ^∈^R♢(g, I)

∫ b a

c♢g(t) =c(g(b)−g(a)). (١٣)

ﻪﺘﺴﺴﮔ یﺮﺴﮐ نﺎﺑﺎﺴﺣ ٣ . ٢

.ﺖﺳا ﻌﯿﺒﻃ داﺪﻋا ﻪﻨﻣاد ﺎﺑ ﻌﺑاﻮﺗ یاﺮﺑ یﺮﺴﮐ نﺎﺑﺎﺴﺣ ﻪﯾﺮﻈﻧ نﺎﻤﻫ ﻪﺘﺴﺴﮔ یﺮﺴﮐ نﺎﺑﺎﺴﺣ ﺪﺷﺎﺑ ﻣ یﺮﺴﮐ ﻞﺿﺎﻔﺗ و ﻊﻤﺟ یﺎﻫﺮ ﻠﻤﻋ عاﻮﻧا زا ﯾ ،نﺎﻤﯾر یﺮﺴﮐ تﻼﺿﺎﻔﺗو ﺎﻫ ﻊﻤﺟ

١٩Riemann- Stieltjes

١١

(15)

و وﺮﺸﯿﭘ ﻞﺿﺎﻔﺗ یﺎﻫ ﺮ ﻠﻤﻋ .ﺖﺳا ﻟﻮﻤﻌﻣ ﻞﺿﺎﻔﺗو ﻊﻤﺟ یﺎﻫﺮ ﻠﻤﻋ ﻢﯿﻤﻌﺗ ﻊﻗاو رد ﻪﮐ :ﺪﻧﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻪﺑ ،وﺮﺴﭘ (t) = f(t+۱)−f(t), ∇f(t) =f(t)−f(t−۱).

:ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ ،ﺖﺳا ﻌﯿﺒﻃ دﺪﻋ ﯾ^m ﺘﻗو ،ار رﺮ ﻣ یﺎﻫﺮ ﻠﻤﻋ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ

∆^m = ∆(∆^m⁻^۱), ∇^m =∇(∇^m⁻^۱).

ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ﻦﯾﺮﺘﮔرﺰﺑ ^[α] ﻪﮐ ، ⁿ ^{= [α] +}^۱ ﻢﯿﻫد ﻣ راﺮﻗ ، ﻘﯿﻘﺣ ^{α >} ^۰ ﺮﻫ یاﺮﺑ .ﺪﺷﺎﺑ ﻣ^αزا ﺮﺘ ﭼﻮﮐ ﻢﯿﺴﯾﻮﻧ ﻣ:^bو ^a ﻘﯿﻘﺣ داﺪﻋا وⁿ^∈^Nیاﺮﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ

Θ∆ⁿf(t) = (−۱)ⁿ∆ⁿf(t), ∇ⁿΘf(t) = (−۱)ⁿ∇ⁿf(t).

ﻼﺑﺎﻧ و ﺎﺘﻟد یﺮﺴﮐ تﻼﺿﺎﻔﺗ و ﺎﻫ ﻊﻤﺟ ١ . ٣ . ٢ ﺮﯾز ترﺎﺒﻋ ﺎﺑ ( ^a زا عوﺮﺷ ﺎﺑ)^{α >} ^۰ﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﺎﺘﻟد ﭗﭼ یﺮﺴﮐ ﻊﻤﺟ (آ) .١٩ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ :دﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ

∆⁻_a^αf(t) = ۱ Γ(α)

t−α

∑

s=a

(t−σ(s))^α−۱f(s), t ∈Na+α. (١۴) ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﺎﺒﻋ ﺎﺑ ( ^b رد نﺎﯾﺎﭘ ﺎﺑ) ^{α >} ^۰ ﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﺎﺘﻟد ﺖﺳار یﺮﺴﮐ ﻊﻤﺟ (ب)

:دﻮﺷ ﻣ

b∆⁻^αf(t) = ۱ Γ(α)

∑b

s=t+α

(s−σ(t))^α⁻^۱f(s) (١۵)

= ۱ Γ(α)

∑b

s=t+α

(ρ(s)−t)^α⁻^۱f(s), t∈ b−αN. (١۶) ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﺎﺒﻋ ﺎﺑ ( ^a زا عوﺮﺷ ﺎﺑ)^{α >} ^۰ ﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﻼﺑﺎﻧ ﭗﭼ یﺮﺴﮐ ﻊﻤﺟ (ت)

:دﻮﺷ ﻣ

∇^−αa f(t) = ۱ Γ(α)

∑t s=a+۱

(t−ρ(s))^α⁻^۱f(s), t ∈Na+۱. (١٧) ١٢

(16)

:دﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﺎﺒﻋ ﺎﺑ (^bرد نﺎﯾﺎﭘ ﺎﺑ)^{α >}^۰ﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﻼﺑﺎﻧ ﺖﺳار یﺮﺴﮐ ﻊﻤﺟ (پ)

b∇⁻^αf(t) = ۱ Γ(α)

b−۱

∑

s=t

(s−ρ(t))^α⁻^۱f(s) (١٨)

= ۱ Γ(α)

b−۱

∑

s=t

(σ(s)−t)^α⁻^۱f(s), t ∈ b−۱N. (١٩) ترﺎﺒﻋ ﺎﺑ (^aزا عوﺮﺷ ﺎﺑ)^{α >}^۰ﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﺎﺘﻟد ﭗﭼ یﺮﺴﮐ ﻞﺿﺎﻔﺗ^[٢۵^](آ) .٢٠ . ٢ ﻒﯾﺮﻌﺗ :دﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز

∆^α_af(t) = ∆ⁿ∆⁻_a⁽ⁿ⁻^α)f(t) = ∆ⁿ Γ(n−α)

t−(n−α)∑

s=a

(t−σ(s))ⁿ⁻^α⁻^۱f(s), (٢٠) .t∈Na+(n−α)ﻪﮐ ﺮﯾز ترﺎﺒﻋ ﺎﺑ ( ^b رد نﺎﯾﺎﭘ ﺎﺑ) ^{α >} ^۰ ﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﺎﺘﻟد ﺖﺳار یﺮﺴﮐ ﻞﺿﺎﻔﺗ ^[٢^] (ب)

:دﻮﺷ ﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ

b∆^αf(t) = ∇ⁿΘ b∆⁻⁽ⁿ⁻^α)f(t) = (−۱)ⁿ∇ⁿ Γ(n−α)

∑b

s=t+(n−a)

(s−σ(t))ⁿ⁻^α⁻^۱f(s) (٢١) .t∈ b−(n−α)Nﻪﮐ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﺎﺒﻋ ﺎﺑ (^a زا عوﺮﺷ ﺎﺑ)^{α >}^۰ﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﻼﺑﺎﻧ ﭗﭼ یﺮﺴﮐ ﻞﺿﺎﻔﺗ (ت)

:دﻮﺷ ﻣ

∇^αaf(t) =∇ⁿ∇⁻a⁽ⁿ⁻^α)f(t) = ∇ⁿ Γ(n−α)

∑t

s=a+۱

(t−ρ(s))^n−α−۱f(s), t∈Na+۱. (٢٢) ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﺎﺒﻋ ﺎﺑ ( ^b رد نﺎﯾﺎﭘ ﺎﺑ) ^{α >} ^۰ ﻪﺒﺗﺮﻣ زا ﻼﺑﺎﻧ ﺖﺳار یﺮﺴﮐ ﻞﺿﺎﻔﺗ (پ) :دﻮﺷ ﻣ

b∇^αf(t) =_Θ∆ⁿ _b∇⁻⁽ⁿ⁻^α)f(t) = (−۱)ⁿ∆ⁿ Γ(n−α)

b−۱

∑

s=t

(s−ρ(t))ⁿ⁻^α^−۱f(s), t ∈ b−۱N. (٢٣) :ﻢﯾراد^t ^∈^N^a یاﺮﺑ هﺎﮕﻧآ ^{.α >}^{۰, µ >}⁻^۱ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ^[۴^] .٢١ . ٢ هراﺰﮔ

∇⁻a^α(t−a)^µ = Γ(µ+۱)

Γ(α+µ+۱)(t−a)^α+µ. (٢۴) ١٣