Bayesian Prediction for Stochastic Processes

هدکشناد مولع ی هادبرراک و رامآ یشزومآ هورگ

نایاپ هجرد تفایرد یارب همان دشرا یسانشراک ی

هتشر رد رامآ ی یضایر رامآ شیارگ

آرف یارب زیب نیبشیپ یفداصت یاهدنی

رگشهوژپ :

هدازدحا ارهز

امنهار داتسا :

سفورپ و ر یجنگ دوعسم

رواشم داتسا :

یرارق همطاف

رویرهش 1398

و ناونع :روآدیدپ مان آرف یارب زیب نیبشیپ

هدازدحا ارهز /یفداصت یاهدنی

:امنهار داتسا روسفورپ

یجنگ دوعسم

داتسا :رواشم یرارق همطاف

خیرات :عافد 31

/ 6 / 98

دادعت :تاحفص ص131

.

نایاپ هرامش :همان

/رامآ هورگ ....

:هدیکچ :فده فده نیا زا نایاپ یبشیپ یسررب ،همان دنیآرف ن

نامز هتسویپ یاه دید زا

زیب هاگ ی تسا .

شور :شهوژپ یسانش نایاپ نیا رد

هب همان ، نوساوپ دنیآرف دنیآرف

نیاتشنروا -

نلوُا کب

، ،یزیب نیبشیپ

یم زاین یبیراان و یگدنسب .دشاب

هتفای :اه هب هجوت اب مه فیرعت ود

زیب نیبشیپ زا زرا نتفرگ رظن رد اب و

پ ی ش ب ی ن اه دنیآرف ی و نوساوپ

نیاتشنروا دنیآرف -

نلوُا نآ یگژیو نیدنچ ،کب اه

، هلمجزا : ییاراک نینچمه و یگدنسب ،یبیراان ،ندوب زاجم

نآ اه شور زا هدافتسا اب نایاپ رد و هتفرگ رارق یسررب و ثحب دروم ش

هیب نیبشیپ ،یزاس و یزیب یاه

ریغ هسیاقم رگیدکی اب یزیب هدش

دنا .

هجیتن :یریگ طابنتسا رد یرامآ

باختنا ،یزیب شور هب یشیپ عبات

ن بسانم ،هعماج لوهجم رتماراپ یارب

ینعم رثا شیپ و دروآرب یاطخ لرتنک یور یراد

.دراد ینیب نینچمه

، یزیب شور یارب

هنومن اب ییاه مجح

مک رت درکلمع هب

رت ی کیسلاک شور هب تبسن شیپ و یبایدروآرب رد

ینیب تشاد دهاوخ .

هژاو :یدیلک یاه گدنسب

،ی

،یزیب نیبشیپ دنیآرف

نیاتشنروا -

نلوُا کب .یبیراان ،نوساوپ دنیآرف ،

ج

راتفگشیپ آ عماوج یگژیو لماش یرام

دنتسه یمولعمان یاه نآ زا هک

هعماج یاهرتماراپ ناونع تحت اه هدرب مان

یم .دوش یلاحرد هک هلاسم دروآرب اهرتماراپ نیا هدمع زا یکی

فده نیرت اه

رد تسا یرامآ طابنتسا ورملق

،

تاقوا یهاگ شیپ

هدنیآ ریداقم ینیب زین

دم رظن یم دشاب . شیپ هداد زا هدافتسا یانعم هب ینیب تامولعم و اه

هب ،یلبق هدنیآ تادهاشم هرابرد تاعلاطا ندروآ تسدب روظنم

تسا . شور یددعتم یاه یارب

و دروآرب

شیپ ینیب زیب رامآ ساسا رب ی

زا هنیهب شور زا هدافتسا صیخشت هک تسا هدش حرطم کیسلاک رامآ و

رادروخرب یدایز تیمها تسا

. شیپ کی هک دوب دهاوخ بولطم یتروص رد ینیب

رادقم هب رتشیب هچ ره

کیدزن یعقاو رت

دشاب

، لطم نیا نازیم یم یبایزرا نایز عبات اب تیبو

دوش نایز عباوت هیاپ رب . ،فلتخم

کلام یاه یددعتم یارب

اهرگدروآرب یبایزرا شیپ و

نیب اه راد دوجو ن

زا .د کلام هلمج م لوادتم یاه

ی ناوت

،یبیراان ،تقد هب و یگنیهب

ییاراک .دومن هراشا

هدیا نایاپ نیا یلصا ی هلاقم ود زا هتفرگرب همان

هک تسا یا

ًاریخا هکنلاب و کساب طسوت پاچ هب1

هدیسر هب دوش عوجر( دنا و[1]

.)[2]

نآ اه شور هلاقم ود نیا رد یاه

یارب یفلتخم و یبایدروآرب

شیپ ینیب

یفداصت یاهدنیآرف نامز هتسویپ

هداد هئارا مهم هک دنا

نیرت شور اه

، زیب شور ی

.تسا شور ساسا زیب

ی

تسا راوتسا نیا رب

، هک یرامآ عماوج رد رد .دراد دوجو لامتحا عیزوت کی یتیمک ره یارب

عقاو

، رد نیا

شور ، هب هعماج لوهجم رتماراپ یم هتفرگ رظن رد تباث رادقم کی هن و یفداصت ریغتم کی ناونع

و دوش

نیشیپ تاعلاطا ساسا رب رتماراپ نیا دروم رد طابنتسا نآ

، ناونع تحت عبات

هب طوبرم تاعلاطا و نیشیپ

هداد اه ی هدهاشم هدش یم تروص .دریگ

شور یزیب ار رتماراپ دروم رد تیعطق مدع زا

ظاحل یلامتحا

یم هیجوت و دنک

لیلحت هک یتاعلاطا اسم دروم رد رگ

کی قیرط زا ار دراد هل یارجا رد نیشیپ عیزوت

آرف یم لامعا قیقحت دنی .دیامن

1Bosq and Blanke

و

تیمها و همدقم نیا هب هجوت اب شیپ

ینیب

، میمعت ریخا لئاسم و

لئاسم هب مهم اتسار نامه رد یرگید

یم رظن نایاپ نیا رد .دسر همان

اب هنیهب نیبشیپ کی باختنا فده یفداصت یاهدنیآرف یارب

، شور ییاه

سیاقم یارب نیبشیپ ه

یاه یزیب نیبشیپ اب یاه

ریغ یزیب هئارا هدش تسا ا رایعم . یلص هسیاقم نیا

، یاطخ

شیپ ب نی اه تسا هک یددع تاعلاطم یط رد زا

آرف و نوساوپ نامز هتسویپ یاهدنی نیاتشنروا

- نلوُا کب

ناشن دهاوخ هداد دش

، زا یخرب تحت زا هک طیارش

مهم نیرت نآ اه یم ناوت نیشیپ عیزوت باختنا ثحب هب

دومن هراشا بسانم

، اطخ نیا اه

لباق لرتنک .دنتسه

نیا نایاپ همان لماش هس :تسا لصف

لوا لصف رد 

، میهافم م تامدقم و لصف ریاس یارب زاین درو

اه .تسا هدش هدروآ

مود لصف رد 

، و قیقحت هنیشیپ ینابم

شور یاه شیپ و یبایدروآرب یارب فلتخم یاهدنیآرف ینیب

یفداصت هئارا

.تسا هدیدرگ

موس لصف رد  ،

یاهرتماراپ دروم رد یرامآ طابنتسا نمض آرف

دنی نوساوپ دنیآرف و1

نیاتشنروا -

نلوُا

2کب ، پ ی ش یب ن اه نآ یزیبریغ و یزیب ی اه

زین سپس .تسا هدش حیرشت رد

تهج هجیتن یریگ

و نایاپ فده ققحت همان

، بش ی ه زاس نایز و هتفرگ ماجنا یعماج ی اهرگدروآرب

و پ ی ش ی ن اه ب ه تروص

ع یدد هئارا دیدرگ ه تیاهن رد و نآ تقد

اه هسیاقم رگیدکی اب هدش

.تسا

لصف رد  راهچ

هجیتن و ثحب یریگ

تسا هدش .

نایاپ رد

، رب همان لصف یرتویپماک یاه موس

مرن زا هدافتسا اب هک رازفا

هیبش R

هدش یزاس دنا

همیمض نایاپ

همان

.تسا هدیدرگ

1Poisson process

2Ornstein − Uhlenbeck process

5

1 - فیراعت یتامدقم میهافم و

1 - 1 - همدقم

رد نیا نایاپ زا لصف همان

و فیراعت هیاپ میهافم

، هب روظنم یروآدای هدافتسا یارب و

رد لصف یاه یدعب

یم رورم وش

ن .د اجنآزا یی هک آرف هیرظن ار نامز و سناش نیب هطبار ،یفداصت یاهدنی

لدم زاس ی م ی دنک و

تسا لامتحا هیرظن راک نیا یاهرازبا زا یکی

، رد ادتبا مود شخب

، یتامدقم هیرظن زا

لامتحا و هزادنا

هدش یروآدای و

رد سپس موس شخب

، عت ا فیر زا یخرب آرف

یفداصت یاهدنی و

یگژیو ییاه زا نآ اه هدروآ

هدش تسا یخرب مراهچ شخب رد . زا

یرامآ طابنتسا میهافم هب

هژیو حرطم یزیب شور هدش

رد ًاتیاهن و

مجنپ شخب زا یخرب

عیزوت و ایاضق یرامآ یاه

هئارا هدیدرگ .تسا

بلغا فیراعت هئارا هدش ی زا هتفرگرب لصف نیا عجارم

و[3]

یم[4]

دشاب .

1-2 - هیرظن لامتحا و هزادنا ی

نیا رسارس رد اپ

ی نا همان ضرف ، تسا هدش هک

ب مامت هعومجمΩ

یفداصت شیامزآ کی نکمم یاهدمآر

( )هنومن یاضف

𝓐و کی هعومجم ی زا یهتان ز

هعومجمری

Ωیاه .دشاب

فیرعت 1

- 2 - 1 -

– 𝝈 (

1ربج ) دینک ضرف و هنومن یاضف Ω

هعومجمریز زا یهتان هعومجم کی 𝒜 Ω یاه

دشاب

، هک یتروصرد ریز طیارش

:دنشاب رارقرب

1 .

Ω ∈ 𝒜

؛

2 . رگا ،Aϵ𝒜

نآ هاگ

A^cϵ𝒜

؛

3 . رگا

A₁, A₂, A₃, … ϵ𝒜

، نآ هاگ

⋃^∞_i=1A_iϵ𝒜

؛

1 σ−algebra

و

نآ هاگ کی𝒜

هعومجم یور ربج– 𝜎

یم هدیمانΩ

.دوش رگا و هنومن یاضف کیΩ

کی𝒜

یور ربج– 𝜎

هعومجم شابΩ

ن نآ د ییاتود هاگ

(Ω , 𝒜)

هزادنا یاضف کی ریذپ

یم لیکشت ار .دنهد

لباق

،تسا رکذ هعومجم یور هک ییاهربج– 𝜎

یم فیرعت زاب یاه دنوش

، هیادرگ زا یا ز هعومجمری یاه

2لرب

یم هدیمان .دنوش

فیرعت 1

- 2 - 2 - لامتحا یاضف(

)3

هس ییات

(Ω , 𝒜 , P)

هاگره ،تسا لامتحا یاضف کی یاضفΩ

،هنومن ای دماشیپ یاضف 𝒜

هعومجم زا یربج– σ

و یفداصت یاه هزادنا یاضف زا یلامتحا عباتP

ریذپ

(Ω , 𝒜( ،دشاب

هب روط ی رگا هک

A₁, A₂, A₃, …

هلابند هعومجم زا یا هزادنا یاه

رد ریذپ ،دشاب 𝒜

نآ هاگ :

1 . ره یارب

A_iϵ𝒜

،

P(A_i) ≥ 0

؛

2 .

P(Ω) = 1

؛

3 . ود هلابند ره یارب هب

یاهدماشیپ زا راگزاسان ود

A₁, A₂, A₃, …

:میشاب هتشاد

P(⋃ A_i

∞

i=1

) = ∑ P(A_i)

∞

i=1

.

لامتحا یاضف عقاورد

یارب یضایر لدم کی امزآ

شی یسررب و تابساحم هک تسا یفداصت یاه یاه

رظندروم یم ماجنا اضف نیا لخاد رد

.دریگ

لامتحا یاضف رد

(Ω , 𝒜 , P)

، ز هعومجمری زاA

هب هکΩ

ربج– 𝜎

دشاب هتشاد قلعت 𝒜

، -𝒜

هزادنا ذپ ری

یم هدیمان یتروصرد و دوش

هک

P(𝐴) = 1

مییوگ دشاب ای کی لامتحا ابA

"

رقت

ًابی اج همه

"4

خر م ی دهد .

فیرعت 1

- 2 - 3 - هزادنا(

)5

دینک ضرف

(𝛺, 𝒜)

هزادنا یاضف کی دشاب ریذپ

، هعومجم عبات یا

𝜇: 𝒜 →

ℝ₊ ≔ [0, ∞)

کی هزادنا یاضف یور لامتحا ی هزادنا

ریذپ

(𝛺, 𝒜)

یم هدیمان دوش

، رگا یارب

هعومجم یاه

هبود ود ازجم

𝐴₁, 𝐴₁, … ∈ 𝒜 ی :دنشاب رارقرب ریز طیارش ،

1 .

𝜇(𝛺) = 1

؛

2 . ره یازا هب

𝐴 ∈ 𝒜 𝜇(𝐴) ≥ 0 ،

؛

2Borel

3Probability space

4Almost everywhere

5Measur

7

3 .

𝜇(⋃^∞_𝑛=1A_𝑛) = ∑^∞_𝑛=1𝜇(A_𝑛)

.

هک یتروص رد هلابند

A_𝑛

زا (𝒜

ز ی هعومجمر زا یهتان

دشاب دوجوم )Ω

، هب روط ی هک

1 .

؛ A_𝑛 ⊂ A_𝑛+1, 𝑛 ≥ 1

2 .

؛⋃_𝑛≥1A_𝑛 = 𝛺

3

؛ 𝜇(A_𝑛) < ∞, 𝑛 ≥ 1 . نآ هاگ هزادنا𝜇

-𝜎

.تسا یهانتم

لاح دینک ضرف

(𝛺_𝑖, 𝒜_𝑖 , 𝜇_𝑖)

،

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘

یلامتحا یاهاضف هزادنا اب

یاه -𝜎

یهانتم

𝜇_𝑖

نیا رد ،دنشاب

تروص لصاح برض نآ یم فیرعت ریز لکش هب اه وش

:د

(𝛺₁× … × 𝛺_𝑘, 𝒜₁⊗ … ⊗ 𝒜_𝑘 , 𝜇₁⊗ … ⊗ 𝜇_𝑘),

هک

𝒜₁⊗ … ⊗ 𝒜_𝑘 ،

𝜎 ، - ربج لوت ی هدشد زا هعومجم

A₁× … × A_𝑘

تسا

𝜇₁⊗ … ⊗ 𝜇_𝑘 و هزادنا

یاه

،دنادرفب رصحنم هب

روط ی هک

(𝜇₁⊗ … ⊗ 𝜇_𝑘)(A₁× … × A_𝑘) = ∏ 𝜇_𝑖(

𝑘

𝑖=1

A_𝑖).

هیضق 1 - 2 - 1 - ( ار نود - میدوکین )6

دینک ضرف و𝜇

هزادنا𝜐

یاه

-𝜎

یهانتم یور

یاضف هزادنا ذپ ی ر

(𝛺 , 𝒜)

دنشاب هک هب تبسن𝜇

پ𝜐

ی هتسو ی قلطم تسا ینعی ، ره یارب

A ∈ 𝒜

،

𝜐 (A) = 0 ⇒ 𝜇(A) = 0,

یم .دشاب تروص نیا رد

، عبات و تبثم لارگتنا

ذپ ی

𝑓: (𝛺 , 𝒜) → (𝛺 , 𝒜) ر تسا دوجوم

هب روط ی هک

𝜇(𝐴) = ∫ 𝑓𝑑𝜐

A

, A ∈ 𝒜,

عبات قوف هیضق رد ار𝑓

عبات یلاگچ هب تبسن 𝜇

ای 𝜐

قتشم ار نود میدوکین هب تبسن𝜇

دنیوگ 𝜐

نیا هک

قتشم هب تروص

𝑎. 𝑒.

اتکی و تسا هب تروص ریز ن ناش هداد م ی دوش :

𝑓 =^𝜕𝜇

𝜕𝜐 .

6Radon Nikodym

و

هجوت اب هیضق هب

ار نود رگا میدوکین هب تبسن𝜇

پ𝜐

ی هتسو ی نآ دشاب قلطم یلاگچ هاگ

𝜕𝜇/𝜕𝜐

هراومه

.تسا دوجوم فیرعت 1

- 2 - 4 - )یفداصت ریغتم(

تم یفداصت ریغ -𝐸

رادقم لامتحا یاضف یور هک𝑋

(𝛺 , 𝒜 , 𝑃)

یم فیرعت دوش

، هزادنا لیدبت کی زا ریذپ

(𝛺, 𝒜) (𝐸, ℬ) هب

مرفب

𝑋: 𝛺 → 𝐸

تسا

، هب روط ی هک

، کیℬ

-𝜎

یور ربج 𝐸

و تسا ره یارب هاوخلد وضع

𝐵 ∈ ℬ

،

𝑋⁻¹(𝐵) ∈ 𝒜.

-𝜎

یاهربج لوت

ی هدشد زا ار𝑋

اب هب𝜎(𝑋)

تروص ریز ناشن یم دنهد :

𝜎(𝑋) = 𝑋⁻¹(ℬ) = {𝑋⁻¹(𝐵), 𝐵 ∈ ℬ}.

رگا

𝜎(𝑋) ⫫ 𝜎(𝑌)

نآ ، هاگ ریغتم یاه یفداصت و𝑋

مه زا𝑌

لقتسم دنا هاگره و

(𝐸, ℬ) = (ℝ, ℬ_ℝ)

،

نآ هاگ یفداصت ریغتم یقیقح𝑋

رادقم .تسا

فیرعت 1

- 2 - 5 - یطرش دیما(

)7

لامتحا هیرظن زا یطرش دیما موهفم هب

تسد یم .دیآ دینک ضرف

(𝛺, 𝒜, 𝑃)

لامتحا یاضف کی

𝒜₀ و

𝜎 ریز - ربج ی

𝒜 زا دشاب . ،تروص نیا رد

𝑋 ∈ 𝐿¹(𝛺 , 𝒜 , 𝑃) رگا

یفداصت ریغتم لارگتنا

ریذپ دشاب

، نآ هاگ تشاگن

𝐸^𝒜0: 𝐿¹(𝛺, 𝒜, 𝑃) → 𝐿¹(𝛺, 𝒜₀, 𝑃)

، رگلمع دیما

یطرش طرش هب𝑋

𝒜₀

تسا و هب تروص یم فیرعت ریز :دوش

∫ 𝐸^𝒜0

𝐵

(𝑋)𝑑𝑃 = ∫ 𝑋

𝐵

𝑑𝑃, 𝐵 ∈ 𝒜₀,

𝐸^𝒜0(𝑋)

ار

𝐸(𝑋│𝒜₀) اب شن زین

نا یم دنهد . یگژیو دنچ هب همادا رد یم هراشا یطرش یاهدیما

.مینک

دینک ضرف ریغتم ود𝑋, 𝑌

لارگتنا یفداصت ریذپ

ور ی اضف لامتحا ی

𝐿¹(𝛺, 𝒜, 𝑃)

دنشاب نیا رد .

روص ت

𝒜₁ رگا

𝒜₂ و

𝜎 ریز - زا ییاهربج نآ ،دنشاب𝒜

:هاگ

1 . یقیقح ددع ره یارب و𝛼

،𝛽

𝐸(𝛼𝑋 + 𝛽𝑌|𝒜₁) = 𝛼𝐸(𝑋|𝒜₁) + 𝛽𝐸(𝑌|𝒜₁), 𝑎. 𝑠. .

7Conditional expectation

9

2 . رگا

𝑋 ≥ 𝑌, 𝑎. 𝑠. ,

نآ هاگ

𝐸(𝑋|𝒜₁) ≥ 𝐸(𝑌|𝒜₁), 𝑎. 𝑠. .

؛

3 . رگا یریغتم𝑋

−𝒜₁

هزادنا نآ ،دشاب ریذپ هاگ

𝐸(𝑋|𝒜₁) = 𝑋, 𝑎. 𝑠.

. هب و ی هژ ره یارب

𝑐 ∈ ℝ

:تشاد میهاوخ

𝐸(𝑐|𝒜₁) = 𝑐.

4 . رگا

𝜓: ℝ → ℝ

و دشاب بدحم

𝐸[|𝜓(𝑋)|] < ∞

نآ ، هاگ

𝐸[𝜓(𝑋)│𝒜₁] ≥ 𝜓𝐸[𝑋│𝒜₁], 𝑎. 𝑠. .

5 .

𝑌 رگا یریغتم

−𝒜₁

هزادنا دشاب ریذپ

𝑋𝑌 ∈ 𝐿¹ و نآ ،

هاگ

𝐸[𝑋𝑌│𝒜₁] ≥ 𝑌𝐸[𝑋│𝒜₁], 𝑎. 𝑠. .

6 . رگا

𝒜₂ ⊆ 𝒜₁

نآ ، هاگ

𝐸[𝐸[𝑋│𝒜₁]│𝒜₂] = 𝐸[𝑋│𝒜₂], 𝑎. 𝑠. .

7 . رگا

𝒜₂

زا لقتسم

𝜎(𝒜₁, 𝜎(𝑋))

، نآ هاگ

𝐸[𝑋│𝜎(𝒜₁, 𝒜₂)] = 𝐸[𝑋│𝒜₁], 𝑎. 𝑠. .

هب و ی هژ رگا ، زا لقتسم𝑋 𝒜₂

، نآ هاگ

𝐸[𝑋│𝒜₂] = 𝐸[𝑋], 𝑎. 𝑠. .

فیرعت 1 - 2 - 6 - دامن(

)گرزب𝓞

دینک ضرف

{𝑎_𝑛} {𝑥_𝑛} و هلابند ود ،دنشاب فلتخم ی

هب یروط هک

𝑥_𝑛 = 𝒪(𝑎_𝑛) , 𝑛 → ∞

تلاح نیا رد

𝑥_𝑛

" ، ُا گرزب ی

"

𝑎_𝑛

تسا .

،ینعی تبثم و تباث ددع یعیبط ددع و 𝑐

𝑛_∘

ددنراد دوجو

، هدب

هک یمسق ره یارب

𝑛 > 𝑛_∘

:تسا رارقرب ریز هطبار

|𝑥_𝑛| ≤ 𝑐|𝑎_𝑛|.

و

لاثم یارب

، یارب هاگره یفنمان عباوت

و𝑓(𝑥)

:میشاب هتشاد𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝒪(𝑔(𝑥))

نآ هاگ تبثم و تباث ددع و𝑐

یعیبط ددع

𝑥_∘

و دنراد دوجو یارب

ره ریداقم

𝑥 > 𝑥_∘

:تسا رارقرب ریز هطبار

𝑓(𝑥) ≤ 𝑐𝑔(𝑥).

عقاورد

، دامن عبات یارب لااب نارک کی گرزب 𝒪

هئارا تباث لماع کی اب 𝑓(𝑥)

یم .دهد مامت یارب ینعی

ریداقم گرزب یاه𝑥

رت رادقم زا هیلوا

ی دننام

𝑥_∘

عبات رادقم ، ربارب𝑓(𝑥)

𝑐𝑔(𝑥)

.دوب دهاوخ نآ زا رتمک ای

1-3 - آرف یفداصت یاهدنی

فیرعت 1

- 3 - 1 - آرف(

یفداصت دنی )8

دینک ضرف هعومجم𝑇

هاوخلد ی و دشاب ای𝑋(𝑡)

𝑋_𝑡

م کی ریغت

یفداصت رادقم رییغت اب هک دشاب

𝑡 ∈ 𝑇

رییغت نآ عیزوت یم

دنک

،تروص نیا رد . هداوناخ

{𝑋_𝑡; 𝑡 ∈ 𝑇}

زا

یفداصت یاهریغتم

𝑋_𝑡

یور هک لامتحا یاضف

(𝛺, 𝒜, P)

هزادنا یاضف رد یریداقم اب و ریذپ

(𝛺 , 𝒜)

یم فیرعت آرف کی ،دوش

هدودحم اب یفداصت دنی هعومجم .تسا 𝑇

هعومجم ای رتماراپ یاضف ار نآ هک 𝑇

دنا ی س راذگ یوگ دن صخاش رگنایامن تسا نکمم رد ... و عافترا ،سناکرف ،نامز دننام ییاه

هعومجمریز یا

زا

ℝ

ای

[0, ∞)

.دشاب هب ناونع لاثم

، رگا

𝑇 = ℕ = 0, 1, 2, …

دهد ناشن ار رامق یزاب رد ینامز یلاوت

نآ هاگ آرف دنی یفداصت هب

تروص هلابند ریغتم زا یا یفداصت یاه

𝑋_𝑛

امتحا یاضف یور ل

(𝛺, 𝒜, 𝑃)

رهاظ

یم وش ن و د

𝑋₀

و زابرامق سناش نیلوا

𝑋_𝑛

نامز رد وا سناش .تسا 𝑛

یتروصرد هک

دشاب ارامش هعومجم 𝑇

آرف دنی هعومجم رگا و نامز هتسسگ ار هلصاف رد یا

زا یا

(−∞, +∞)

دشاب آرف دنی دنیوگ نامز هتسویپ ار .

ره یارب هنومن یاضف زا𝜔

یفداصت ریغتم یا

𝑋_𝑡(𝜔)

تیعضو نامز رد𝑋

عبات و𝑡 𝑡 ↦ 𝑋_𝑡(𝜔)

ریسم

هنومن یا آرف دنی یم ناشن ار .دهد

رد آرف دنی

{𝑋_𝑡; 𝑡 ∈ 𝑇}

رگا ،

𝑡₁ > 𝑡₀

و هزادنا هب نامز

∆𝑡 = 𝑡₁− 𝑡₀

دشاب هدرک ومن

، نآ هاگ

𝑋_𝑡1−

𝑋_𝑡0

، ومن آرف دنی ازا هب ی نامز رد ومن نیا تسا

و هاگره ازا هب ی ره

𝑡₀ < 𝑡₁ < ⋯ < 𝑡_𝑛

یاهریغتم ،

یفداصت

𝑋_𝑡1− 𝑋_𝑡0, 𝑋_𝑡2− 𝑋_𝑡1, … , 𝑋_𝑡𝑛 − 𝑋_𝑡𝑛−1

زا لقتسم دنشاب مه

، آرف دنی

𝑋_𝑡

یاهومن یاراد

8Stochastic Process

11

لقتسم دوب دهاوخ .

فیرعت 1

- 3 - 2 - آرف(

نوساوپ دنی )9

آرف دنی یشرامش

{𝑁_𝑡: 𝑡 ≥ 0}

هک دادعت هثداح اه هزاب رد ی ینامز

لوط هب یناکم ای یم شرامش ار t

دنک کی آرف دنی نوساوپ یفداصت تدش اب

𝜆 > 0

.تسا نیا یاهومن

آرف دنی ینعی نآ هیلوا رادقم و هدوب انام و لقتسم

𝑁₀

.تسا رفص ربارب نینچمه

𝑁_𝑡− 𝑁_𝑠

نوساوپ

زوت ی ع هدش تدش اب

𝜆_𝑡−𝑠

یارب و ره

𝑡 ≥ 0

لامتحا یاراد

P(𝑁_𝑡− 𝑁_𝑠 = 𝑘) = 𝑒^{−𝜆(𝑡−𝑠)}(𝜆(𝑡 − 𝑠))^𝑘

𝑘! , 𝑘 = {0, 1, 2, … }, 𝑠 ∈ [0, 𝑡]

تدش زا روظنم .تسا آرف

دنی نوساوپ .تسا نامز دحاو رد اهدماشیپ دادعت یضایر دیما

نمض رد

، نیگنایم

سنایراو و نیا

آرف دنی تدش اب

𝜆 > 0

یارب ، ره

𝑡 ≥ 0

:زا تسا ترابع

𝐸(𝑁_𝑡) = 𝜇(𝑡) = 𝜆𝑡 , 𝑉𝑎𝑟(𝑁_𝑡) = 𝐸(𝑁_𝑡− 𝜇(𝑡))².

تروصرد ی هک تدش آرف دنی نامز رییغت اب دنامب تباث

آرف دنی و نگمه ار روص نیا ریغ رد

ت آرف دنی ار

نگمهان دنیوگ

. لکش رد ریز

آرف دنی تدش اب نوساوپ

𝜆 = 20

راظتنا ،لکش نیا قبط تسا هدش مسر

یم دور هب روط نیگنایم هزاب رد دماشیپ20

ی ینامز

[0, 1)

دهد خر .

،عقاورد آرف

دنی نوساوپ ار دماشیپ 𝑁

یم نامز زا یدوعص هلابند و درامش

𝑡₁, 𝑡₂, … یاه دماشیپ هب هتسباو مادک ره هک

هبساحم هدش ار تسا دوخ

م دیلوت ی .دنک

رادومن آرف ریسم تدش اب نوساوپ دنی

𝝀 = 𝟐𝟎

9Poisson process

و

فیرعت 1

- 3 - 3 - یانام ای اتسیا یاهومن(

آرف کی10

)دنی آرف دنی

{𝑋𝑡; 𝑡 ∈ 𝑇}

یاهومن یاراد انام

تسا

،

ره یازا هب رگا

𝑡₁ < 𝑡₂

و

𝑆 > 0

یفداصت یاهریغتم

(𝑋_𝑡2+𝑠− 𝑋_𝑡1+𝑠)

و

(𝑋_𝑡2− 𝑋_𝑡1)

عیزوت مه دنشاب

.

،نیاربانب عیزوت

ومن انام یاه نامز لاقتنا اب

رییغت ن یم عیزوت ای دنک

𝑋_𝑡2− 𝑋_𝑡1

هب

𝑡₁

و

𝑡₂

قیرط زا اهنت

∆𝑡 = 𝑡₂− 𝑡₁

هتسباو تسا .

فیرعت 1

- 3 - 4 - ( آرف کرام دنی

11ف ) آرف دنی یقیقح رادقم

{𝑋_𝑡; 𝑡 ∈ 𝑇}

ار فکرام دنیآرف کی دنیوگ

،

یارب هاگره -σ

ربج یاه

ℱ_𝑡 = 𝜎(𝑋_𝑠, 𝑠 ≥ 𝑡, 𝑠 ∈ 𝑇), ℱ^𝑡 = 𝜎(𝑋_𝑠, 𝑠 < 𝑡, 𝑠 ∈ 𝑇), 𝐵_𝑡 = 𝜎(𝑋_𝑡),

رارقرب ریز هطبار دشاب

:

𝑃^𝐵𝑡(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃^𝐵𝑡(𝐴)𝑃^𝐵𝑡(𝐵), 𝐴 ∈ ℱ_𝑡, 𝐵 ∈ ℱ^𝑡.

،رگید ترابع هب

{𝑋_𝑡; 𝑡 ∈ 𝑇}

کی آرف دنی هاگره تسا فکرام

ℱ_𝑡

و

ℱ^𝑡

هب طرش

𝐵_𝑡

د یطرش للاقتسا ا

هتش

دنشاب . عقاورد رب تیصاخ نیا ساسا ،

زا یدماشیپ لامتحا آرف

دنی

{𝑋_𝑡; 𝑡 ∈ 𝑇}

نامز رد هدنیآ

، هب طرش

ریداقم هکنیا آرف

دنی رد نامز اه ی شاب صخشم هتشذگ ن

رادقم نیرخآ هب اهنت ،د هدهاشم

هدش زا آرف دنی

.دراد یگتسب هیضق 1 - 3 - 1 - ره آرف دنی یفداصت

{𝑋_𝑡, 𝑡 ≥ 0}

کی ،انام یاهومن اب آرف

دنی .تسا فکرام

.تابثا هب تابثا یارب هحفص

198 [6]عجرم

هعجارم .دینک

فیرعت 1

- 3 - 5 - ( لگنیترام )12

دینک ضرف

{𝑋_𝑡, 𝑡 ≥ 0}

آرف دنی یفداصت و

ℱ_𝑡 = 𝜎(𝑋_(𝑠), . ≤ 𝑠 ≤

، 𝑡) -𝜎

ربج لوت ی هدشد ریداقم اب آرف

دنی نامز ات دشاب𝑡

. نآ هاگ

𝑋_𝑡

تسا لگنیترام کی هاگره

ره یارب

رادقم لارگتنا𝑡

ذپ ی ر ره یارب و دشاب

ℎ > 0

، ما ی د طرش ی ریز :دشاب رارقرب

𝐸(𝑋_(𝑡+ℎ)|ℱ_𝑡) = 𝑋_𝑡, 𝑎. 𝑠.

10Stationary

11Markov Process

12Martingale

13

رد

،عقاو

ℱ_𝑡

تاعلاطا آرف

دنی نامز ات تسا𝑡

لگنیترام یگژیو و آرف

دنی نایب م ی دنک ریداقم رگا هک آرف

دنی

نامز ات دشاب مولعم 𝑡

، نآ نامز ره رد راظتنا دروم ریداقم هاگ زا

دنیآ ه اب ربارب

𝑋_𝑡= 𝑥

.دوب دهاوخ

آرف دنی هدش یزکرم نوساوپ

(𝑁_𝑡− 𝐸𝑁_𝑡) 13

و آرف دنی همادا رد هک رنیو رعت

ی ف هاوخ دش د

،

آرف دنی اب ییاه تیصاخ .دنتسه لگنیترام

فیرعت رد آرف

دنی هب یناورب تکرح ای رنیو صاوخ

زاین لامرن یفداصت ریغتم .تسا

نیاربانب ادتبا

نیا ریغتم

یفداصت فیرعت

یم .دوش

فیرعت 1

- 3 - 6 - )لامرن یفداصت ریغتم(

لامتحا یاضف رد

(𝛺, 𝒜, 𝑃)

، رگا یفداصت ریغتم

𝑋: 𝛺 →

ℝ

یاراد دشاب ریز لامتحا عبات :

𝑓_𝑋(𝑥) = 1

𝜎√2𝜋𝑒𝑥𝑝 (−(𝑥 − 𝜇)²

2𝜎² ) , 𝜇 ∈ ℝ, 𝜎² > 0

نآ یم هتفگ هاگ ریغتم ،هک دوش

یاهرتماراپ اب لامرن عیزوت یاراد 𝑋

و𝜇

تسا 𝜎

اب فورعم عیزوت نیا . دامن

𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎²)

یم هداد ناشن .دوش

هب گداس یم ی هک داد ناشن ناوت

𝐸[𝑋] = 𝜇 , 𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)²] = 𝜎².

عیزوت

،لامرن یهاگ هب لیلد هدافتسا لراک

شیردرف سواگ

زا نآ رد تاقیقحت

،دوخ عیزوت یسواگ زین

هدیمان یم دوش .

فیرعت 1

- 3 - 7 - ( تکرح یناورب

ای دنیآرف رنیو

) تکرح یناوارب یمان تسا هک هب تاکرح مظنمان

تارذ یزیر هک رد عیام ای زاگ هطوغ رو دنتسه هداد هدش تسا . تربار نوارب هایگ سانش فورعم

،یدنلتاکسا

یارب نیتسخن راب

رد لاس 1828 تارذ زیر کرحتم رد

بآ ار هب روط یفداصت هدهاشم

درک یلو تسناوتن

هیجوت یبسانم یارب

نیا تاکرح ادیپ

دنک . سپس رد لاس 1920 نادیضایر هتسجرب

،ییاکیرمآ تربرون

رنیو

رد هاگشناد لدم MIT

یضایر نیا تاکرح ار

یسررب درک و لومرف یدنب ریز ار هئارا داد :

لامتحا یاضف تحت

(𝛺, 𝒜, 𝑃)

، آرف دنی یفداصت

{𝑊_𝑡; 𝑡 ≥ 0}

، کی آرف دنی رنیو وارب تکرح ای ن

ی

یم هدیمان ،دوش

ره شاب رارقرب ریز طیارش هاگ ن

:د

13centred Poisson process

و

1 .

𝑊₀ = 0

؛

2 . شاب انام و لقتسم اهومن ن

د

؛

3 . دنشاب یسواگ اهومن

، رگا ینعی

𝑡₁ < 𝑡₂

نآ ،

𝑊_𝑡2− 𝑊_𝑡1~𝑁(0, 𝜎²(𝑡₂− 𝑡₁) ) هاگ .

ره هاگ

𝜎² = 1

،دشاب نآ هاگ

𝑊_𝑡

ار دنیآرف رنیو درادناتسا یم

.دنمان ،هک دوش هجوت هنومن یاهریسم

دنیآرف

رنیو هتسویپ دنتسه

ینعی ره یارب

𝑡 ≥ 0 𝑊_𝑡،

زا هتسویپ یعبات تسا 𝑡

.

فیرعت 1

- 3 - 8 - ( هلداعم یفداصت لیسنارفید ی (14

)𝑺𝑫𝑬

آرف و وتیا دنی )15

دینک ضرف ،فده

لدم یدنب دشاب عیام رد قلعم هرذ کی تکرح .

رگا

𝑋_𝑡

و

𝜇(𝑋_𝑡, 𝑡)

رد هرذ تعرس و تیعضو بیترت هب

نامز دنشاب𝑡

، نآ نیب هطبار ساسا رب هاگ هباج

اج یی مسج کی تکرح تعرس و یم

تشون ناوت :

𝜇(𝑋_𝑡, 𝑡) = lim

∆𝑡→0

𝑋(𝑡 + ∆𝑡)

∆𝑡 =𝑑𝑋_𝑡 𝑑𝑡

نیاربانب هرذ تکرح ، اب

زا هدافتسا هلداعم

𝑑𝑋_𝑡= 𝜇(𝑋_𝑡, 𝑡)𝑑𝑡

تسا فیصوت لباق .

نکمم ،رگید یوس زا

اب دروخرب رثا رد هرذ تیعقوم تسا لوکلوم

اه ی دنک رییغت عیام

، قباطم ،اجنآ زا هک یناورب تکرح فیرعت

پ ی ش رت دش هئارا

، نامز رد هرذ تیعقوم هب𝑡

𝑋_𝑡 = 𝑊_𝑡 تروص لیسنارفید هلداعم مرف هب ای

𝑑𝑋_𝑡 = d𝑊_𝑡

دوب دهاوخ .

نیا رب هولاع

، دروخرب تعرس تسا نکمم لوکلوم

اه ی عیام هرذ اب

، عیام یلاگچ و امد هب

و دشاب هتشاد یگتسب اجنآزا

یی هک ناکم و نامز زا یعبات لماع ود نیا دنتسه

هلداعم

𝑑𝑋_𝑡 =

𝜎(𝑋_𝑡, 𝑡)d𝑊_𝑡

ب لدم یار ب

نامز رد هرذ تیعقوم یدن تسا بسانم𝑡

ظاحل لدم رد رثا ود ره رگا لاح .

دنوش

، هلداعم

( 1-1

𝑑𝑋_𝑡 = 𝜇(𝑋_𝑡, 𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎(𝑋_𝑡, 𝑡)𝑑𝑊_𝑡, 𝑡 ∈ ℝ )

نامز رد هرذ تیعقوم تارییغت فیصوت یارب ب𝑡

تسد م ی آی د .

،اجنیا رد و شنار بیرض ار𝜇

بیرض ار 𝜎

راشتنا آرف دنی یم .دنمان اجنآزا یی هک

𝑊_𝑡

کی آرف دنی هجیتن تسا یفداصت م

ی دوش کی قوف هلداعم هک

𝑆𝐷𝐸

تسا .

14Stochastic differential equation

15Ito Process

15

لاحرد ی هک هلداعم ( 1 - 1 ) راتفر

𝑋_𝑡

هئارا لیسنارفید ساسا رب ار م

ی دهد ، م ی ناوت نآ رگلمع کمک هب ار

لارگتنا هب تروص

( 1-2

𝑋_𝑡− 𝑋₀ = ∫ 𝜇(𝑋_𝑠, 𝑠)𝑑𝑠 )

𝑡 0

+ ∫ 𝜎(𝑋_𝑠, 𝑠)𝑑𝑊_(𝑠)

𝑡 0

مه لصف رد هک تشون .دش دهاوخ تابثا 3

نامه روط ی هدهاشم هک م

ی دوش لوا لارگتنا کی

لارگتنا

نامیر - سا لیت ت

16سی تسا و لح لباق یضایر یتامدقم میهافم ساسا رب تسا

. لاحرد ی هک

، مود لارگتنا

بسحرب )یفداصت لارگتنا( وتیا لارگتنا ناونع تحت هک تسا هدش حرطم یفداصت ریغتم کی لیسنارفید

هتخانش م

ی دوش . هراشا دروم دنچ هب ریز رد هک تسا ینوگانوگ صاوخ یاراد وتیا لارگتنا تسا هدش

:

1 . تیصاخ یطخ

ندوب

؛

∫ (𝛼𝑋(𝑡) + 𝛽𝑌(𝑡))

𝑇 0

𝑑𝑊(𝑡) = 𝛼 ∫ 𝑋(𝑡)

𝑇 0

𝑑𝑊(𝑡) + 𝛽 ∫ 𝑌(𝑡)

𝑇 0

𝑑𝑊(𝑡)

2 . تیصاخ رفص نیگنایم

؛

𝐸 ∫ 𝑋(𝑡)

𝑇 0

𝑑𝑊(𝑡) = 0

3 . تیصاخ یرتموزیا

؛

دینک ضرف

𝜎(𝑋_𝑡, 𝜔)

تروص نیا رد دشاب هداس و رادنارک

،

𝐸 [(∫ 𝜎(𝑡, 𝜔)𝑑𝑊_𝑡(𝜔)

𝑡 𝑠

)

2

] = 𝐸 [(∫ 𝜎²(𝑡, 𝜔)𝑑𝑡

𝑡 𝑠

)

2

].

آرف دنی ی فیصوت وتیا لارگتنا کی بسحرب نآ راتفر هک م

ی دوش آرف دنی .دراد مان وتیا لاح

دینک ضرف

نتفای فده هک میراد رارق یتیعقوم رد آرف

یدنی ساسا رب دیدج کی ندوب مولعم

آرف دنی تسا وتیا .

هب ترابع رگید

، آ یپ رد کی نتشاد اب هنوگچ مینادب ات میتسه ن آرف

دنی اب وتیا مولعم𝑆𝐷𝐸

، آرف دیدج یدنی

زا یلیدبت هک آرف

دنی ار دشاب دوجوم یوتیا هب

تسد میروآ مهارف ریز مل طسوت فده نیا هب ندیسر شور .

یم دوش .

16Riemann–Stieltjes integral

و

مل 1 - 3 - 1 - مل ( )وتیا دینک ضرف

𝑋_𝑡

کی آرف دنی نآ یفداصت لیسنارفید هک دشاب وتیا هب

تروص هلداعم

( 1-1 ) تسا هدش هداد

،هک یتروص رد .

𝑓(𝑥, 𝑡)

رب

[0, ∞) × ℝ

یعبات هتسویپ اب مود هبترم تاقتشم ،دشاب

نآ هاگ

𝑌_𝑡 = 𝑓(𝑋_𝑡, 𝑡)

کی زین آرف

دنی نآ لیسنارفید هلداعم و تسا وتیا هب

تروص ریز تسد هب م

ی آی د :

𝑑𝑌_𝑡 = [𝑓_𝑡(𝑋_𝑡, 𝑡) + 𝜇(𝑋_𝑡, 𝑡)𝑓_𝑥(𝑋_𝑡, 𝑡) +1

2𝜎²(𝑋_𝑡, 𝑡)𝑓_𝑥𝑥(𝑋_𝑡, 𝑡) ] 𝑑𝑡 + 𝜎(𝑋_𝑡, 𝑡)𝑓_𝑥(𝑋_𝑡, 𝑡)𝑑𝑊_𝑡

هک نآ رد

𝑓_𝑡(𝑋_𝑡, 𝑡) = 𝜕

𝜕𝑡𝑓(𝑥, 𝑡)|

𝑥=𝑋_𝑡

,

𝑓_𝑥(𝑋_𝑡, 𝑡) = 𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑡)|

𝑥=𝑋_𝑡

,

𝑓_𝑥𝑥(𝑋_𝑡, 𝑡) = 𝜕²

𝜕𝑥²𝑓(𝑥, 𝑡)|

𝑥=𝑋_𝑡

.

نینچمه

𝑑𝑡. 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡. 𝑑𝑊_𝑡= 𝑑𝑊_𝑡. 𝑑𝑡 = 0 , 𝑑𝑊_𝑡. 𝑑𝑊_𝑡 = 𝑑𝑡

رش لامعا اب یا

رد اب و قوف ط گرظن

نتفر هلداعم ( 1 - 1 ) وتیا مل زا یرگید لکش ، هب

تروص ریز هب تسد

م ی آی د :

𝑑𝑌_𝑡 = [𝜕𝑓

𝜕𝑡 + 𝜇(𝑋_𝑡, 𝑡)𝜕𝑓

𝜕𝑥+1

2𝜎²(𝑋_𝑡, 𝑡)𝜕²𝑓

𝜕𝑥²] 𝑑𝑡 + 𝜎(𝑋_𝑡, 𝑡)𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑊_𝑡

=𝜕𝑓

𝜕𝑡𝑑𝑡 + 𝜇(𝑋_𝑡, 𝑡)𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑡 +1

2𝜇²(𝑋_𝑡, 𝑡)𝜕²𝑓

𝜕𝑥²(𝑑𝑡)²+ 𝜇(𝑋_𝑡, 𝑡)𝜎(𝑋_𝑡, 𝑡)𝜕²𝑓

𝜕𝑥²𝑑𝑡𝑑𝑊_𝑡 +1

2𝜎²(𝑋_𝑡, 𝑡)𝜕²𝑓

𝜕𝑥²𝑑𝑡 + 𝜎(𝑋_𝑡, 𝑡)𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑊_𝑡

= 𝜕𝑓

𝜕𝑡𝑑𝑡 +𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑋_𝑡+𝜕²𝑓

𝜕𝑥²(𝑑𝑋_𝑡)² .

17

فیرعت 1

- 3 - 9 - آرف(

دنی نیاتشنروا -

کبنلوُا (17

) 𝐎𝐔

) دینک ضرف

𝑋_𝑡

کی آرف دنی یفداصت یور

لامتحا یاضف

(𝛺, 𝒜, 𝑃)

.دشاب نآ هاگ

𝑋_𝑡

کی آرف دنی نیاتشنروا -

نلوُا کب ،تسا هاگره لکش هب نآ𝑆𝐷𝐸

:دشاب ریز

𝑑𝑋_𝑡 = 𝜃(𝑚 − 𝑋_𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊_𝑡, 𝑡 ∈ ℝ, (𝑚 ∈ ℝ, 𝜃 > 0, 𝜎 > 0)

هک

𝑊_𝑡

کی آرف دنی رنیو ، نیگنایم𝑚

نلاوط ی تدم آرف دنی و نیگنایم هب تشگزاب یلداعت تعرس𝜃

.تسا𝑚

نایب نیگنایم هب تشگزاب موهفم م

ی دنک هک آرف دنی رد تدمدنلب یقاب نیگنایم حطس کی لوح

م ی دنام ای و

لیم حطس نیا هب م

ی دنک . هب روط نیگنایم تمیق زا رتمک رازاب رد ییلااک جیار تمیق هک ینامز ،لاثم نآ

یارب اضاقت دشاب دیرخ

آ ن لااک یم شیازفا دبای

تنرد ی هج نیگنایم حطس هب و هدرک ادیپ شیازفا زین تمیق

زاب دوخ م

ی ددرگ . آرف دنی نیاتشنروا -

نلوُا کب زین نامز لوط رد دراد لیامت

نیگنایم هب نلاوط

ی تدم دوخ

لیم دنک

، ازا ی ن ور آرف دنی زین نیگنایم هب تشگزاب هدیمان

م ی دوش .

رگا

𝑋_𝑡

هدنهد ناشن کی

آرف دنی قوف لیسنارفید هلداعم ابOU

و

ℱ_𝑡 σ ،

- ربج هدش دیلوت نآ زا

دشاب ،

نآ هاگ

، یارب هنیهب نیبشیپ

X_𝑡+ℎ ℎ > 0 ، یطرش دیما طسوت ریز

هب تسد یم :دیآ

( 1-3

𝐸(X_𝑡+ℎ |X_𝑡) = 𝐸(exp(−𝜃ℎ) |ℱ_𝑡)X_𝑡+ 𝐸(𝜃𝑚(exp(−𝜃ℎ) − 1)/−𝜃│ℱ_𝑡) )

یسررب یارب ( ترابع رتشیب

1 - 3 ) یم دیناوت عجرم هب

[7]

هعجارم .دینک

هیضق 1 - 3 - 2 - دینک ضرف

𝐹 = (ℱ_𝑡), 𝑡 ≥ 0

هلابند ا ی ریز زا یدوعص -𝜎

یاهربج لامتحا یاضف رد𝒜

(𝛺, 𝒜, 𝑃)

دشاب . نینچمه

𝑡 ≥ 0،^{𝑊 = (𝑊𝑡, ℱ𝑡)} آرف

دنی رنیو و

𝑋 = (𝑋_𝑡, ℱ_𝑡)

، کی آرف دنی وتیا اب

یفداصت لیسنارفید ریز

دنشاب :

𝑑𝑋_𝑡 = 𝛼_𝑡(𝑋)𝑑𝑡 + 𝑑𝑊_𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, 𝑋₀ = 0,

نآ

،هاگ رگا

𝑃 (∫ 𝛼_𝑡²

𝑇 0

(𝑋)𝑑𝑡 < ∞) = 1, 𝑃 (∫ 𝛼_𝑡²

𝑇 0

(𝑊)𝑑𝑡 < ∞) = 1,

17Ornstein − Uhlenbeck process