第 3 章 最小無矛盾決定性有限オートマト ン生成問題
3. APTA
3.5 最小無矛盾 DFA 問題に対する SAT アプローチ
3.5.1 SAT による従来解法
3.5.2.5 数値実験
本節では，提案手法に関する数値実験について述べる．数値実験は，二つのベンチマークを 用いた．一つは，Abbadingoにおいてベンチマーク問題2 として公開されているものである．
もう一つは，ランダムに生成したDFAから生成される事例を使う．実験では，使用言語は Python2.5.5を用い，MILPソルバーとしてCPLEX12.1，SATソルバーとしてCLASP13.1[17]
を利用した．
3.5.2.5.1 Abbadingoコンペティションでのベンチマークによる評価
このベンチマーク問題は４状態から２１状態のDFAからランダムに生成された長さ０か ら２９の文字列が提示されている．ラベル数が２以上（実際は２）の770個のデータセット からなっている．入力記号数は２，出力記号数は２である．記号列数は516から549であっ た．作成されたAPTAに関して，状態数は497から530であった．密度（実際の遷移数／可 能な遷移数）の平均はすべての事例についてほぼ0.96であり，ほとんどの状態で２種類の入 力記号に対して遷移が定義されていることになる．また，全ての状態について，一つの出力 記号を持っている．隣接グラフ（二つの状態がマージできない場合は辺を持ち，マージでき る場合は辺を持たない）の密度（実際の辺の数／可能な辺の数）は，最低0.02，最大0.64， 平均0.51であった．770個のデータセット中，ヒューリスティックに求めた最小無矛盾の彩
2http://algos.inesc.pt/˜aml/tar files/moore dfas.tar.gz
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図 3.5: 最大クリークのサイズの比較
色数と最大クリークの状態数が一致した事例が286個あり，これらは評価より除外する．ま ず，ヒューリスティックに求めた最大クリークのサイズとMILPソルバーを使って厳密に求 めた最大クリークのサイズを比較する．図3.5は全体的な傾向をグラフ化したものであるが，
(厳密な最大クリーク-近似による最大クリーク)は最大４，最小０，平均0.92，分散0.99で あり，ヒューリスティックな手法により求められた最大クリークはかなり良い近似を与えて いる．図3.6は(最小の彩色数-最大クリークの状態数)をグラフ化した．図3.6を見ると，最 大クリークの最適解を求めることで，最適解との差が縮まっていることがわかる．
この実験データにおいては，最大クリークと最適解の差が小さいことから，SATを使った 厳密解の算出では，最大クリークの数から一つづつ彩色数を増やし，最初に見つけた無矛盾 DFAを最小無矛盾DFA問題の解とする．このとき，ヒューリスティックに求めた最大クリー クを使ってSATで解いた場合に必要な時間とMILPで最大クリークを厳密に求めSATで解 いた場合の合計時間を比較する．図3.7に示したように，一次式で近似した場合の傾きから，
平均的にはMILPの厳密解を使うことで50%の時間で解が求められていることがわかる．図 3.8にはMILPによる最大クリークがヒューリスティックによる最小無矛盾DFAの彩色数と 一致しなかった484データセットについて，SAT一回当たりの平均時間をグラフ化した．こ のグラフより，MILPによる最大クリークを用いることによって平均70%の時間で解が求ま ることがわかる．これはSATにおいて固定される色が増えたことによると考えられる．
このデータセットの場合，ヒューリスティックに最大クリークを求める平均時間は0.31秒 であるのに対し，MILPにより最大クリークを求める平均時間は6.46秒と非常に高速であり，
SATで解く時間を考えた時にMILPによる最大クリークを用いる利点は大きい．図3.9に最 小彩色数に対する計算時間を示した．SATで解くべき変数が増えることから最小彩色数が増 えると計算時間も増える傾向にあるが，MILPによって最大クリークの最適解を得ることで，
図 3.6: 最適値と最大クリークの比較
計算時間の短縮に効果があることが分かった．
3.5.2.5.2 ランダムに生成したデータセットによる数値実験
次に，ランダムに生成したDFAを使った実験結果について述べる．この場合，事例を生 成する元となるDFAの状態数は15とした．入力記号・出力記号ともに２種類である．最大 記号列長は15とし，最低は1とした．生成した事例数は，300，400，800とし，各10回ず つ同じDFAより事例を生成した．この実験では，比較的スパースなAPTAを生成している．
APTAの平均密度は0.8，出力記号が一つである状態数の割合は0.35，隣接グラフの密度は 0.08である．APTAの状態数は，各事例数について，平均965，1227，2101であった．
各事例数について，（最小彩色数-最大クリークサイズ）の平均は，ヒューリスティックによ る最大クリークでは，4.4，2.7，2.1であり，MILPによる最大クリークでは，2.9，2.3，1.8 となった．事例数が増えるとヒューリスティックによる最大クリークの値がよくなっている．
SATによる探索の手法として，最大クリークから一つずつ彩色数を増やす場合と，ヒュー リスティックに求めた最小無矛盾DFAの彩色数から一つずつ減らす場合と，２分法で探索場 合の実行時間を比較する．図3.10はヒューリスティックによる最大クリークを用いた場合の グラフである．各データセットについて，下界値より探索した場合を１とした時間をプロッ トしている．これらをみると，上から探索したものの計算時間が最も短いことがわかる．こ れは，多くのデータセットでヒューリスティックに生成した最小無矛盾DFAが厳密解である か，彩色数が近いことが原因である．MILPによって最大クリーク問題の厳密解を求める手 法についても実験を行った．この場合，SATについての計算時間自体は，最高で45％，最
悪で1.1倍，平均90%の計算時間で済む．ただし，隣接グラフがスパースであるため，MILP
で最大クリーク問題を解くのに多くの時間を必要とした．この場合，ヒューリスティックな
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図 3.7: 解が求まるまでの時間比較（秒）
最大クリークを使ってSATで解く時間に比べ，最良で63%，最悪で41.1倍，平均12.1倍の 計算時間を必要とした．このような場合は，最大クリーク問題をMILPで解くのは好ましく ないことを示している．
3.5.2.6 まとめ
ヒューリスティックな手法，MILPによる手法，SATによる手法を組み合わせた最小無矛 盾DFA問題のハイブリッド解法を提案し，有効性を数値実験で検証した．Abbadingoベン チマーク問題のような密な隣接グラフを持つAPTAの場合，MILPによって高速に最大ク リーク問題を解くことができ，解を高速に求めることが示せた．隣接グラフが疎な場合は，
最大クリーク問題を解く時間が長いため，MILPを用いるのは不利である．また，ヒューリ スティックに見つけた上界とクリークによる下界を使った手法を提案し，効果があることを 確かめた．