MSOP の MaxSAT による定式化

第 4 章 走査型半導体露光装置における移 動順最適化問題

4.4 MSOP の MaxSAT による定式化

4.3節で述べたMILPによる定式化と同様にpartial weighted MaxSATによってもMSOP を定式化することができる．partial weighted MaxSATとは，SATにおける選言節に０以上 の重みを不可することができるSATであり，選言節は必ず満たさなければならないハード条 件と満たしたほうが良いソフト条件に分けられる．条件を満足しないソフト場である選言節 の重みの総和を最小化するような論理変数への値の割当を行う．次に示すpartial weighted

MaxSATによるMSOPの記述では，w : Lという表記を使う．ここで，Lは選言節であり，

wはその重みとなる．重みを持たない選言節は，ハード条件である．

(0) w_bi:¬e_bi, i∈A₁

w_ij :¬e_ij, g ∈ {1, . . . , G−1}, i∈A_g, j ∈A_g+1 w_ij :¬e_ij, g ∈ {1, . . . , G}, i∈A_g, j ∈A_g\ {i} w^u_ij :¬e^u_ij, w^d_ij :¬e^d_ij, i∈A_G, j ∈S

w^uu_ij :¬e^uu_ij , w_ij^dd :¬e^dd_ij, w^ud_ij :¬e^ud_ij , w_ij^du:¬e^du_ij , i∈S, j ∈S\ {i} (0) w^u_it:e^u_it, w_it^d :e^d_it, i∈S

(1) ∨

i∈A1

ebi

(2) e_bj∨ ∨

i∈A1\{j}

e_ij,∀j ∈A₁

(3) ∨

j∈Ag\{i}

e_ij ∨ ∨

j∈Ag+1

e_ij,∀g ∈ {1, . . . , G−1},∀i∈A_g (4) ∨

i∈Ag

eij ∨ ∨

i∈Ag+1\{j}

eij,∀g ∈ {1, . . . , G−1},∀j ∈Ag+1

(5) ∨

j∈AG\{i}

eij ∨∨

j∈S

(e^u_ij ∨e^d_ij),∀i∈AG

(6) ∨

i∈AG

(e^u_ij ∨e^d_ij)∨ ∨

i∈S\{j}

(e^uu_ij ∨e^dd_ij ∨e^ud_ij ∨e^du_ij), j ∈S

(7) ∨

j∈S\{i}

(e^uu_ij ∨e^dd_ij ∨e^ud_ij ∨e^du_ij )∨e^u_it∨e^d_it, i∈S (8) ∨

i∈A_G

e^u_ij + ∨

i∈S\{j}

(e^uu_ij ∨e^du_ij ∨ ¬e^uu_ji ∨ ¬e^ud_ji)∨ ¬e^u_jt, j ∈S

∨

i∈AG

¬e^u_ij + ∨

i∈S\{j}

(¬e^uu_ij ∨ ¬e^du_ij ∨e^uu_ji ∨e^ud_ji)∨e^u_jt, j ∈S (9) ∨

i∈AG

e^d_ij + ∨

i∈S\{j}

(e^ud_ij ∨e^ud_ij ∨ 6e^dd_ji ∨ ¬e^du_ji)∨ ¬e^d_jt, j ∈S

∨

i∈AG

¬e^d_ij + ∨

i∈S\{j}

(¬e^ud_ij ∨ ¬e^ud_ij ∨e^dd_ji ∨e^du_ji)∨e^d_jt, j ∈S (10) ∀g ∈ {1, . . . , G}に対するエッジ集合

E_g ={(i, j)|e_ij =T, i∈ ∀A_g,∀j ∈A_g \ {i}}について，

E_gが部分巡回路を含まない

(11) E_S^uu ={(i, j)|e^uu_ij =T, i∈ ∀S,∀j ∈S\ {i}}

E^dd ={(i, j)|e^dd_ij =T, i∈ ∀S,∀j ∈S\ {i}}

E^ud ={(i, j)|e^ud_ij =T, i∈ ∀S,∀j ∈S\ {i}}

E^dd ={(i, j)|e^dd_ij =T, i∈ ∀S,∀j ∈S\ {i}}について，

E^dd∪E^dd∪E^ud∪E^ddが部分巡回路を含まない

(4.2)

4.3節で示した式と対応付けて示すため，細部の説明は省略する．この定式化に関連して予 備実験を行った．予備実験では，TSPLIB[92]より非対称巡回セールスマン問題のベンチマー

70 第4章 走査型半導体露光装置における移動順最適化問題 表4.1: ATSPの初期問題に対するMILPとpartial weighted MaxSATの計算時間の違い(秒)

ベンチマーク 都市数 目的関数値 Cplex 12.0 Clasp 2.0 Sat4j

br17 17 22 0.04 1234 216

ftv33 33 1217 0.07 ≥3時間 ≥3時間

ftv35 35 1420 0.09 ≥3時間 ≥3時間

ク問題を選び，部分巡回路の処理を場合の定式化について，MILPおよびpartial weighted MaxSATによって比較実験を行った．V を都市の集合，xijを都市iからjへ移動を表す変数 とし，d_ij を都市iからj への移動距離とする．まず， 部分巡回除去を含まない巡回セール スマン問題のMILPによる定式化は次のように与えられる．

minimize ∑

i∈V

∑

j∈V\{i}d_ijx_ij

(1) ∑

j∈V\{i}xij = 1, i∈V

(2) ∑

j∈V\{i}x_ji = 1, i∈V

(3) x_ij +x_ji ≤1, i∈V, j ∈V \ {i} (4) x_ij ∈ {0,1}

(4.3)

ここで，(1)は都市iから出ていく道についての条件であり，(2)は都市iに入る道につい ての条件である．(3)は二つの都市間で選ばれる道が高々一本であることを示している．こ のMILPによる定式化に対する，partial weighted MaxSATによる定式化は次のように与え られる．

(0) d_ij :¬x_ij, i∈V, j ∈V \ {i} (1) ∨

j∈V\{i}xij, i∈V

(1) ¬x_ij ∨ ¬x_ik, i∈V, j ∈V \ {i}, k ∈V \ {i, j} (2) ∨

j∈V\{i}x_ji, i∈V

(2) ¬x_ji∨ ¬x_ki, i∈V, j ∈V \ {i}, k ∈V \ {i, j} (3) ¬x_ij ∨ ¬x_ji, i∈V, j ∈V \ {i}

(4) x_ij ∈ {T, F}

(4.4)

これら，MILPとpartial weighted MaxSATによる定式化の効率性の違いを確認するため，

TSPLIB[92]にある三つの問題ATSP (Asymmetric TSP:非対称TSP,都市間の移動距離が方 向によって異なる場合を認める)で計算時間を測定した．ソルバーとして，MILPについて はCPLEX 12.0を使い，partial weight MaxSATについてはclasp 2.0およびSat4j 2.3.1[89]

を用いた．計算機はQuad Core Amd 2.7Gz搭載のLinuxマシンで行った．表4.1に結果を 示す．

MSOPはATSPの特殊な場合と考えられるので，ATSPを効率良く解けるかどうかがソル

バーを選ぶ基準となる．巡回セールスマン問題を解く場合は，特にMILPによるアプローチ では分枝カット法の実装により，整数解が得られなくても，LP解を見ることによって部分 巡回路除去の制約式を入れることができるが，partial weighted MaxSATによるアプローチ では，解を得た後でなければ，部分巡回路除去の制約条件を入れることができない．そのた め，MILPで整数解を得るまでの時間とpartial weighted MaxSATによって解を得るまでの 時間を比較することで，MSOPでの実行時間を予測できると考えられる．表4.1の結果から は，partial weight MaxSATによる解法は，MILPによる解法に比べ，効率が悪いことがわ かる．このため，以降の節ではMSOPに対する解法としては，MILPをベースとした手法だ けを考えることにする．