岡山理科大学紀要第48号Ａｐｐ,5-9(2012）
α’－１＝１(ｍｏｄｐ２）の新しい計算と解
＊ ＊
石井大車甫。森義之・澤江隆一
岡山理科大学大学院理学研究科修士課程応用数学専攻
*岡山理科大学理学部応用数学科
（2012年10月１日受付、2012年11月１日受理）
１．はじめに １－１計算の目的
今から２０年ほど前に本論文のタイトル中にある以下の式
α'－１＝１(ｍｏｄＰ２）（１）
の解は、フェルマーの最終定理にまつわる数論的な観点で研究され、Brillhart，TonasciaandWeinberger[1］
はＺ≦α≦９９かつ３≦ｐ＜１０６の範囲での解の一覧表を作成した。その後、Montgolnery[2]はαの範囲は 同じで、３≦ｐ＜２３２までの計算を行った。
私達がこの計算に興味を持つのは、後藤と大野[3]による奇数の完全数の最大素因子についての証明の中で、
受容可能な円分数を決定する際にMontgoIneryの計算結果を使って補題のひとつを証明しているからである (円分数の定義は［3]参照)。
奇数の完全数は存在しないであろうと予想されているが、現在まで非存在の証明はなく、その研究の方向 の重要なもののひとつとして「奇数の完全数の最大素因子」がある。最大素因子について、1998年にHagis andCohenは１０６以上であることを、2003年にJenkinsは107であることを、2008年にＧｏｔｏａｎｄＯｈｎｏは １０８を証明した。そして、青木(島根大学）と筆者らは2012年に奇数の完全数の最大素因子は10,以上である ことを証明した。これに引き続いた最大素因子の証明において、(1)の解の計算は補題として寄与すると考え
られる。
なお、本論文の内容とは間接的な関係ではあるが、最大素因子の更新は奇数の完全数の下限等についても 更新となると考えられるので、この分野の研究に取っては重要な計算である。
１－２プログラミングに関して
Corei7，Windows7上で動作するx86-64のgccを使い計算を行った。ただ、計算のコアの部分はアセンブリ 言語で作成し、コンパイラ・リンカーはgooを利用した。Ｃの関数との値渡しはそのままレジスターを使った。
Corei7は64ビットアーキテクチャーであるが、ｐ＜１０'0としても、(1)の計算には６４x4ビット幅が必要と なるので、今回の計算ではmodp2の元をαＰ＋６と表し、α,ｂをレジスターで記録して計算を行った。こ
こで、当然０≦α＜ｐ’０≦６＜ｐである。幕乗の計算はバイナリ法及び下位桁から計算する方式を採用し、２つ積の剰余計算は次式が成立するので、
（α]ｐ＋6,)(q2P+62)modp2＝((α162+α26,炉＋α,α2+6162)modpユ
（２）右辺をコーディングした。
アセンブリ言語のソース
･ｔｅｘｔ
`ｇｌｏｂｌｆｅｒｍａｔ
･ｄｅｆｆｅｒｍａｔ；，ｓｃｌ Ｅｅｒｍａｔ：
pushq％r８
,ｔｙｐｅ３２； ､ｅｎｄｅｆ ２；
石井大輔・森義之・澤江隆一 ６
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ａｄｄｑ
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ｊｂ ｓｕｂ ,Ｌ３：
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２１０１１１９８ｒｒｒｒｒ冊冊冊冊冊
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%r9,％r９
．Ｌ５
%r8,％rａｘ Ｌ５ tｅｓｔｑ
ｊｎｅ
ｍｏｖｑ
%ｒ９;％ｒ８ｐ=rbx ｊｍｐ
１－３ABC予想との関連
2012年京都大学。望月新一教授は、宇宙際Teichmuller理論に基づいてABC予想を証明したとする論文を発 表した。この証明が正しいかどうかについての判|折には暫く時間が必要であろうが、ABC予想と奇数の完全数 について少し言及する。
まず筆者の考えでは、ABC予想から、直ちに、奇数の完全数の非存在が導けることはないであろう。
次に、大きな研究方向のひとつである最大素因子について、後藤と大野[3]は108の証明の為に、計算機で 26000時間以上(約3年の計算、実際にはパソコン10台程度使い４ケ月で計算終了)の計算時間が必要であった
と報告している。最大素因子〃の証明に必要な計算時間はＯ("2)であるので、－桁更新するためには約100
倍の計算時間が必要となる。この長大に必要となる計算時間は「受容可能な円分数」を探すための計算時間 であり、受容可能な円分数は極めて限定的にしか存在しないと予想されるので、実は無駄な計算をしている だけである。その計算時間が不要となれば大幅に計算時間を短縮できる。
ＭｕｒｔｙａｎｄＷｏｎｇ［4］等が議論しているように，ＡＢＣ予想を仮定すると，同じ素因子で何回も害|Iれる円分 数は非常に限られる。このことから、受容可能な円分数は極めて限定的であることが、円分数の素因数の大
きさを評価することによって得られる可能性がある。
α'~'＝１(mod’2)の新しい計算と解 ７
2．計算機による計算結果
筆者らの計算機による計算アルゴリズムは、Montgomery[3]の３≦ｐ≦232での計算方法とは違う方
法である。
αに関しては、２＜α＜９９の中で、べき乗でない数は８７個あり、その数αについて計算を行った。
本研究では、［3]のリストに載っていない新しい解を24個付け加えた。特に、α＝３４とα＝９０につい
ては最初の解が見つかった。
表Lqp-1＝１ｍｏｄｐ２の解ただし、２≦α≦９９，３≦Ｐ＜１．３×１０１２ ｑｌｐの値
ｑｌｐの値
２１１０９３３５１１ 5４１１１９１９４９
５５１３３０１０９７２７８００１２７２０７４９０５２９９０２0６０９５８３０１ ３１１１１００６００３
５１２０７７１４０４８７５３４７１１６１１６４５３３３５０７６６９２３６７３３７１１５６１６４７７０７９７７１１１５７５５２６０９６３
1８８７４８１４６８０１ 5７１５４７６９９８６１９７
６１６６１６１５３４８５１３１５２５７３ 5８１１１３１４２２５０２７９
5９１２７７７ ７１５４９１５３１
6０１２９９５６６２９５７６３ 1０１３４８７５６５９８３１３
6］
1１１７１
1２１２６９３１２３６５３ 6２１３１９１２７１２９１
１３１８６３１７４７５９］ 6３１２３２９３６７１３４０１７７１
1４１２９３５３７５９６９５２２１９ 6５１１７１６３
1５１２９１３１１１９３２７０７００１１ 6６１８９３５１６７１５８８０２４８１２４９７ 1７１３４６０２１４８９４７４７８２２５５２３３５１ 6７１７４７２６８５７３
1８１１５７３７３３１３３９２３１２８４０４３ 6８１１５７１９１１３２７４１
1９１３７１３４３１３７６３０６１４８９ 6９１１９２２３６３１２５０３０３７
2０１２８１４６４５７９３７７７４７１２２９５９０７３ 7０１１３１４２９６３
2１ 7１１３４７３３１
2２１１３６７３１５９５８１３４９２３６６５８７ 7２
２３１１３２４８１７５７１３７０３０７７１５５４６４０４１８３ 7３１３
2４１５２５６３３ 7４１５１２５１９２２２５３８１９
2６１３５７１４８６９９９６７３６６９５２５６７０７ 7５１１７４３３４７３１２４７
2８１３１９２３ ７６１５３７１１０９９２４１６６１０４９２０７２４６６３９８３
2９ 7７１３２６８７
3０１７１６０５４１９４１７２７０７５７８３ 7８１４３１５１１８１１１６３５６１４９４２２９３３５７９３
３１１７７９６４５１２８０６８６］ 7９１７２６３３０３７１０１２５７３６０３１２８４１
3３１２３３４７４４１９６３９５９５３６９ 8０１３７１３６３４３
3４１４６１４５９１７６９１ 8２１３５４６１４５９１７６９１
3５１３１６１３３５７１ 8３１４８７１１３６９１３１５７４６０６３
3７１３７７８６７７６４０７５２０７８１ 8４１１６３６５３２０１０１
3８１１７１２７ 8５１１１７７９
8６１６８２３９６２３２４２６５４９ 3９１８０３９
8７１１１９９９４８１２１６０４８０７５２３１８３ 4０１１１１７３０７６６４３１
4１１２９１０２５２７３１３８２００４０１ 8８１２５３５６１９６３７
4２１２３７１９８６７８２２３６９ 8９１３１３
4３１５１０３ 9０１６５９０２９１０５３
4４１３２２９５８５１ 9１１３２９３
4511283131759157635607 92172738395112026117187687271485161969
4６１３８２９ 9３１５５０９９２２１８１５５１
4７ 9４１１１２４１３２１４３４６３０３３
4８１７２５７ 9５１２１３７１５０６１９６１８５６４３０３１
5０１７ ９６１１０９５４３７８３２９１２９２５２６７１０３３３６００４１７９
5１１５４１ 9７１７２９１４３９３７６７０４１０３３１３
5214611228488439 9８１３２８６２７６１００１５２７
5３１３４７５９９７ 9９１５７１３１９８３
太文字は新しく付け加わった解であるﾉに文字は新しく付ﾄﾂｶ|]わった解である
l〕の値 ｐの値
２３５６７０１２３４５７８９０１２３４６８９０１３４５７８９０１２３４５６７８０１２３１１１１１１１司轌１２２２２２２２２３３３３３３３３４４４４４４４４４５５５５
1０９３３５１１ １上上006003
207714048753471」６１ユ6４５３３３５０７６６９２３６７３３７ １８８７４８１４６８０J、
6616153485ユ3152573 ５４９１５３１
３４８７５６５９８３１３
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石井大jllli・森義之・澤江隆
８
３．考察
筆者らが計算に使ったパソコンは、CPUがCorei73770K(IvyBridge)、Ｃlock３．５GHz，メモリをl6GB搭 載したものであった。Ｃｏｒｅｉ７ではx86-64のコードが実行可能であり、コア数４でスレツド総数は８つであり、
１台のパソコンで８つの並列計算まではそれほどの処理速度の低下がなく実行可能であった。
Montgolnery[2］の計算はDECstation3100（MIPSarchitecture)で行われているが、３２ビットアーキテクチ
ャの制限もあり、３≦ｐ＜２３２の計算範囲で終わっている。
本論文ではαの範囲は同じであるが、３≦ｐ＜L3x10l2までの計算を行い新しい解24個を付け加えてい
る。実際には計算機による計算は10兆までをほぼ終えているが、ここで１兆と少しまでの解のリストのみを 記載しているのには以下の理由がある。式(1)の解をｐ２フェルマーの解と呼ぶとすれば、筆者らのこの解の利用は受容可能な円分数の決定への ものとなるだろうからである。つまり、受容可能な円分数を計算アルゴリズムの改良とABC予想を使って計算 時間の著しい短縮が出来たとしても、現状のCPUの計算速度とメモリの制限により、奇数の完全数の最大素因 子の計算はせいぜい１０ｍ程度までと予想されるからである。
本論文でのｐ２フェルマーの解の計算は[2]とは違った方法で計算をしていると述べている。勿論多倍長 計算で行うことも可能であるが、６４ビットレジスター２個で済むところを多倍長計算では64ビット領域が４ つ必要となり、CPUのレジスターのみを使っての計算も複雑になり利点がないと考えられる。
Montgomery自身はこのフェルマーの解でよりもモンゴメリ乗除算で有名である。これを組み込んで計算を 速くしようと試みたが、Corei73770K(IvyBridge)では、筆者らの現在の計算は本質的に多倍長計算ではな いと言う事もありモンゴメリ乗除算による計算速度アップは10%程度であった。これはモンゴメリ乗除算を組 み込む事によるCPU内レジスターの不足(MMXレジスターは利用しないとする）、メモリー間アクセスの発生等 で割の合うことではないと判断される。とは言え、Ｃｏｒｅｉ７の古い型番ではモンゴメリ乗除算は有効に機能
し、効率的になるようである。
フェルマーの解の計算に限定して計算速度をアップするアルゴリズムの構築は可能であると考える。ひと つの方法は確率論的なアルゴリズムの導入(一般に言われる確率論的なアルゴリズムと言うより、量子計算的 なものに近い）が考えられる。他の高速化の方法としてはベキ乗計算の高速化することである。
参考文献
[l］JBrillhart，Ｊ、Tonascia，ａｎｄＰ、Weinberger：OntheFermatquotient、ComputersinNunIberTheory（A、０．
L，Ａｔｋｉｌ１ａｎｄＢ、１．Birch，eds.）．AcadenlicPress，LondonandNeIvYork，1971,ｐｐ､213-222．
[2］Ｐ．Ｌ・Montgomery：Newsolutionsofqﾉj-l＝Ｉ(ｍｏｄｐ２)，Mat１１．Colnp、６１（1993)，361-363．
[3］Ｔ･ＧｏｔｏａｎｄＹ、Ohno：OddperfectnumbershaveaprimefactorexceedinglO8，Math、Comp、７７（2008)，1859-1868．
[4］Ｍ、ＲＭｕｒｔｙａｎｄＳ・Wol1gSTheABCconjectureandprilnedivisorsoftheLucasandLehmersequences，Number
TheoryfortheMilleniuln，１１１，（Urbana，ＩＬ，2000)，Ａ、Ｋ、Peters，Natick，ＭＡ，2002,43-54.
A new calculation and solution of ap ] s 1 (mod p2)
Daisuke Ishii, Yoshiyuki Mori* and Ryuichi Sawae*
Graduate School ofScience,
*Department ofApplied Mathmatics, Faculty ofScience, Okayama University ofScience,
1-1 Ridai-cho, Kita-ku, Okayama 700-0005, Japan (Received October 1, 2012; accepted November 1, 2012)
In Montgomery[2], it is stated that some number-theoretic questions such as Fermat's conjecture require primes p satisfying
ap-] m 1 (mod p2) (1)
for given a not a power and its solutions for 2< a < 99 and3 < p < 232 are listed.
Since we need the solutions for a proof of a prime factor in odd perfect numbers, its further calculation is needed. So, we have calculated the solutions of (l) for 2<a<99 and
3 < p < 1.3xlO12.
We have a news that Prof. Mochizuki of Kyoto University has released a 50Opage proof of the ABC conjecture. If we employ the ABC conjecture, there is a possibility that the calculations related to odd perfect numbers will be extremely decreased. Then, the list of the solutions in this paper will be usefull data to complete the proof.
Keywords^ number theory! odd perfect number,' ABC conjecture.
References
[l] J. Brillhart, J. Tonascia, and P. Weinberger: On the Ferniat quotient. Computers in Number Theory (A. 0.
L. Atkin and B. 1. Birch, eds.). Academic Press, London and New York, 1971, pp. 213-222.
[2] P. L. Montgomery: New solutions of a'-1 = 1 (mod/r ) > Math. Comp. 61 (1993), 361-363.
[3] T. Goto and Y. Ohno: Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108, Math. Comp. 77 (2008), 1859-1868.
[4] M. R. Murty and S. Wong: The ABC conjecture and prime divisors of the Lucas and Lehmer sequences, Number Theory for the Millenium, III, (Urbana, IL, 2000), A. K. Peters, Natick, MA, 2002, 43-54.
