Ⅸ.恒星の構造と進化 - 1.主系列星の内部構造

2021

１ . 主系列星の内部構造

Ⅸ . 恒星の構造と進化

・恒星の内部は直接観測できない

→

外層の物理状態や理論モデルから推定

１．１ . 主系列星の自己重力と圧力平衡

※恒星の内部

の想像図

2021

・星の構造にはガスの自己重力を考慮して解く必要

→

一般には難しい。まずは球対称の自己重力ガス球で概算する

・平均密度は 𝜌_𝑚 = 𝑀

4𝜋/3 𝑅³ ⇒ 太陽で 𝜌_𝑚 = 1.4 𝑔𝑐𝑚⁻³

・中心圧力は 𝑑𝑃 = 𝑃₀ − 𝑃_𝑐 中心・表面の差 , 𝑑𝑟 = 𝑅, 𝑟 = 𝑅

2 , 𝜌 = 𝜌_𝑚, 𝑀_𝑟 = 𝑀/2, で近似すると： 𝑃_𝑐 = 2𝐺𝑀𝜌_𝑚

𝑅 = 3𝐺𝑀²

2𝜋𝑅⁴ ⇒ 太陽で 𝑃_𝑐 = 6 × 10¹⁵ 𝑑𝑦𝑛 𝑐𝑚⁻²

・中心温度は状態方程式 𝑃 = (𝑅_𝑔 𝜌𝑇)/𝜇 と𝑃_𝑐の式から 𝑇_𝑐 = 1

𝑅_𝑔/𝜇 𝑃_𝑐

𝜌_𝑚 = 𝜇 𝑅_𝑔

2𝐺𝑀

𝑅 ⇒ 太陽で 𝑇_𝑐~10⁷ 𝐾

正確な計算は方程式を立てて数値的に解く

⇒ 補足参照

※上記は太陽全体の質量・半径などの観測可能量

を元にした概算計算の例。計算式等を覚える必要 はない。

2021

１．２ . 星内部のエネルギーの発生と輸送

・自己重力だけでなく核融合によるエネルギー発生も考慮の必要

→

エネルギーの発生と輸送／放射の釣合いを含む星の構造

・力の釣合い

・連続の式

・輻射平衡

・エネルギー発生

これらを（微分）連立方程式として解く必要

（補足参照）

⇒普通は数値的にしか解けない

※左：星内部のある面からの輻射を示す模式図

右：星内部のある部分（黄四角）の力の釣合い

2021

・問題を簡略化する仮定をして解く場合も多い

・例：エネルギー源が一様に分布と考える場合

（任意の半径

r

で光度（

L

_r）と内側質量（

M

_r）比が一定）

⇒エディントン・モデルという（エディントンはモデル提唱者の名前）

・エディントン・モデルでは質量（

M

）と吸収係数（

κ

）だけで決まる 上限光度（エディントン光度）が存在する

（重力＜輻射圧、となると星が吹き飛んでしまうので限界がある）

※エディントン光度での

重力と輻射圧の釣合い の図

Ⅸ . 恒星の構造と進化

2021

１ . 主系列星の内部構造

自己重力ガス球

・恒星の内部は直接観測できない

→

外層の物理状態や理論モデルから推定

・ で概算、核融合エネルギー考慮

→

エネルギーの発生と輸送／放射の釣合い

・上限光度が存在（エディントン光度）

・力の釣合い

・連続の式

・輻射平衡

・エネルギー発生

【太陽の例】

・平均密度：

1.4𝑔𝑐𝑚

⁻³

・中心圧力：

6 × 10

¹⁵

15𝑑𝑦𝑛𝑐𝑚

⁻²

・中心温度：

10

⁷

7𝐾

まとめ９－１

２ . 主系列星の質量光度関係

2021

・主系列星では輻射圧と重力が平衡（水素の安定燃焼）

・質量大

→

中心温度高

→

核融合反応高

→

光度大

⇒質量と光度に一定の関係（質量光度関係）

観測的には、

光度∝質量⁴ （

L ∝ M

⁴）

（質量によって

M

³～

M

⁵ の 幅がある）

※グラフは質量と絶対等級にして

あるが、絶対等級は「等級」単位で 表した星の本来の明るさなので、

星の本質的な明るさである「光度」

と１対１に対応する

（左図は質量×光度グラフと同等）

2021

・主系列星の寿命＝燃料／消費率＝質量／光度

→

Ｍ^-3

→

大質量星ほど短命

※星はほとんど H

の塊なので「燃料」

=

「質量」、「消費率」

=

放射エネルギー

=

「光度」

2021

【主系列星のまとめ】

・質量

M,

表面温度

T,

半径

R,

光度

L ←

このうち独立なのは質量

M

だけ

（ステファン・ボルツマンの法則、

HR

図、質量光度関係、等が関係）

[

中心温度

T

_c

]

：

T

_c

=1

～

4

×

10

⁷

K

（ほとんど差がない：一定）

[

半径

R]

：

R ∝ M

（力学的平衡から

GM/R

～（

Rg/μ

）

T

_c ）

[

平均密度

ρ

_m

]

：

ρ

_m

∝ M

^-2 （

ρ

_m

=M/

（

4πR

³

/3

））

[

光度

L]

：

L ∝ M

⁴ （質量光度関係）

[

表面温度

T]

：

T ∝ M

^1/2 （ステファン・ボルツマン則

L=4πR

²

σT

⁴）

[

寿命Ｔ

]

：Ｔ

=E/L ∝ M

^-3

大質量星ほど明るく短命

２ . 主系列星の質量光度関係

2021

・主系列星では輻射圧と重力が平衡（水素の安定燃焼）

・質量と光度に一定の関係（質量光度関係、光度∝質量⁴）

・主系列星の寿命＝燃料／消費率＝質量／光度

→

Ｍ^-3

・種々の関係から主系列星の性質は（ほぼ）質量で決まる

⇒ 大質量星ほど明るく短命

まとめ９－２

天文地球物理学Ⅰ 2021年度

３ . 星の進化

３．１ . 赤色巨星

・核融合の結果、中心で

He

が蓄積すると星の構造が変わる

→

核融合が星中心から

He

コアを囲む殻燃焼へ

・

He

コア：重力収縮。コア外層（

=

殻燃焼内側）の密度減少

・水素燃焼殻：不動。核融合が温度に敏感なため

・水素外層：水素燃焼殻の内側との密度を均すため外へ膨張

※左端：主系列星（星中心で核融合）、右端：中心の He

コアの周囲の殻で核融合

2021

・赤色巨星の密度構造と赤色巨星化による半径変化（下左図）

左グラフで赤色巨星ではコア

-

外層の２層構造になっている 右グラフでは時間（横軸）と共に外層が膨らむ（～数百倍）

・赤色巨星化に伴い

HR

図上では右上に移動（下右図）

2021

※上図：赤色巨星の例

右図：上図のベテルギウスを太陽の位置に 置いた場合の想像図（木星軌道近くまである）

３ . 星の進化

2021

３．１ . 赤色巨星

・主系列星が寿命に

→

核融合が星中心から

コアを囲む に変化

⇒外層が膨張して赤色巨星に

（太陽の数百倍の半径になるものも）

殻燃焼

まとめ９－３

３．２．その後の進化

2021

・質量の大きい星は核融合した元素がさらに融合していく

・

H→He→C,O→Mg,Si→Fe

（元の核燃焼も続くためタマネギ構造に）

（すべての元素が核融合反応で安定して残れるわけではないので、

星の中では上のような順で核融合が進んでいく）

・

Fe

は光分解（吸熱反応）するので、

Fe

がさらに核融合しようとすると それ以上の反応が続かず中心が崩壊して超新星爆発が起こる

※重い星が核融合が進んでタマネギ構造になっていく様子

2021

・ある程度重い星は

He

核融合が起こる過程で

HR

図で水平に移動

（漸近巨星分岐星：

AGB

星

=Asymptotic Giant Branch

と呼ぶ）

・質量別の具体的な進化は以下のとおり：

[M<0.08M

_◎

]

：中心温度が

10

⁷

K

に達しないので核融合が起きず褐色矮星に

[0.08M

_◎

<M<0.46M

_◎

]

：

H

核融合まで。赤色巨星を経てヘリウム白色矮星に

[0.46M

_◎

<M<8M

_◎

]

：

He→C,O核融合まで。赤色巨星を経てＣＯ白色矮星に [8M

_◎

<M<30M

_◎

]

：

Fe

コアの崩壊で重力崩壊型超新星爆発。後に中性子星

[30M

_◎

<M]

：重力崩壊型超新星。後にブラックホール

※左図では太

陽質量の

40

倍 以上でブラック ホールとあるが 理論モデルによ るので

30

倍とす るのが一般的

天文地球物理学Ⅰ 2021年度

３．２．その後の進化

・質量の小さい星は質量放出後のコアが白色矮星に

・質量の大きい星は核融合した元素がさらに融合していく

（重い星は途中

HR

図で水平に移動し漸近巨星分岐星（

AGB

星）に）

・

H→He→C,O→Mg,Si→Fe

（元の核燃焼も続くため ）

・

Fe

は光分解（吸熱反応）するので、その段階で超新星爆発が起こる タマネギ構造

まとめ９－４

４ . 星の最期

2021

４．１ . 小質量星の最期

・

M<8M

_◎の星の最期：

主系列星

→

赤色巨星（途中質量放出（惑星状星雲））

→

白色矮星

※小質量星が

赤色巨星から 白色矮星に至 る途中で質量 放出したガス が星の回りに 拡がってでき たのが惑星状 星雲

左図は惑星状 星雲の様々な バリエーション

【白色矮星】 2021

・核融合後の中心部コア（

He,C,O

）が残った高密度星

・大きさは地球程度（太陽の

1/100

）だが、質量は太陽程度

・白色矮星は電子が縮退した縮退圧で重力を支えている

（密度

ρ

～数トン

/cm

³）

・縮退ガスでは圧力（電子圧）は密度

ρ

のみによる

→

質量が大きくなると圧力で支えるため半径が小 さくなって密度を大きくするが限界がある

⇒チャンドラセカール限界（～ 1.4

太陽質量）

（この限界を超えるとⅠ

a

型超新星になる）

※白色矮星の質量と半径（左）、密度（右）グラフ、 Mch

がチャンドラセカール限界

※上：白色矮星の大きさ比較

下：白色矮星の例（シリウスの伴星）

４ . 星の最期

2021

４．１ . 小質量星の最期

・

M<8M

_◎の星の最期：

主系列星

→

赤色巨星（ （惑星状星雲））

→

白色矮星

【白色矮星】

・核融合後の中心部コア

・大きさは地球程度（

1/100

太陽）

・質量は太陽程度

・電子の縮退圧で重力を支える

（密度ρ～数トン

/cm

³）

・限界質量（チャンドラセカール質量）

質量放出

まとめ９－５

４．２ . 中大質量星の最期

2021

・

8M

_◎

<M

の星の最期：

中心核の重力崩壊

→

（Ⅱ型）超新星爆発（重力崩壊型超新星）

→

吹き飛ばされた外層は超新星残骸となり、

跡に、中性子星（元の星が

M<30M

_◎）、又はブラックホール

2021

※カニ星雲（超新星残骸）を様々な波長で観測したもの。右下の中心には中性子星

【中性子星】 2021

・超新星爆発の中心部コア（

Fe

）が重力崩壊で残った高密度星

・大きさは数十ｋｍ、質量は太陽程度～太陽の３倍程度以下

・中性子の縮退圧で重力を支えている

（原子核が詰まっているようなもの：密度

ρ

～数億トン

/cm

³）

・中性子の縮退圧にも限界があるので中性子星質量にも限界

・電波を放射する中性子星はパルサーと呼ばれる

※左図：中性子星の内部構造（理論モデル）、右図：電波を出す中性子星（パルサー）

【ブラックホール】 2021

・光さえも脱出できなくなった天体（時空間の穴）

・超新星爆発後、重力崩壊が中性子星の限界を超えるとできる

（銀河中心等には超大質量ブラックホールもあると考えられる）

・質量・自転・電荷の性質しか残らない

・一番単純な、静止球対称ブラックホールが シュバルツシルト・ブラックホール

（他に回転のあるカー・ブラックホールなど）

・シュバルツシルトＢＨの表面

=

事象の地平線

（その内側からは光さえ出てこれない）

→シュバルツシルト半径： r

_s

=2GM/c

²

（～数

km

程度しかない）

・カーＢＨではエルゴ領域という特異領域も

・単独ＢＨは見えないが周囲に降着円盤が

あるとそれでＢＨの存在が推定できる（右下図）

※ブラックホールそのものは光も吸い込

み見えないが、隣に別の星があってそこ から物質流入があるとそれが見えること も（降着円盤と呼ぶ：右図の例）

４．２ . 中大質量星の最期

2021

・

8M

_◎

<M

の星の最期：

中心核の重力崩壊

→

（Ⅱ型）超新星爆発（重力崩壊型超新星）

→

外層は 、跡に、中性子星又はブラックホール

【中性子星】

・大きさは数十ｋｍ、質量は太陽数倍

・中性子の縮退圧で重力を支える

・中性子星質量にも限界

・電波を放射するものはパルサーに

【ブラックホール】

・光さえも脱出できなくなった天体

・重力崩壊で中性子星限界超で

（銀河中心等には超大質量ブラック ホールもあると考えられる）

・質量・自転・電荷の性質だけ残る

超新星残骸

まとめ９－６

2021

・補足１：自己重力ガス球の構造（Ｅ発生なし） ^{補足９－１}

−𝐺𝑀_𝑟 𝑟² − 1

𝜌 𝑑𝑃

𝑑𝑟 = 0 ∶ 静水圧平衡（重力と圧力の釣合い）

𝑑𝑀_𝑟

𝑑𝑟 = 4𝜋𝑟²𝜌 ∶ 連続の式（ガス分布と重力の関係）

𝑃 = 𝐾𝜌^𝛾 ∶ ポリトロピック関係を仮定（𝐾と𝛾は定数）

1 𝜉²

𝑑

𝑑𝜉 𝜉² 𝑑𝐷

𝑑𝜉 = −𝐷^𝑁 ∶ 𝛾 = 1 + 1

𝑁, 𝑟 = 𝑁 + 1 𝐾𝜌_𝑐^1+1/𝑁

4𝜋𝐺𝜌_𝑐² 𝜉, 𝜌 = 𝜌_𝑐𝐷^𝑁 𝑑

𝑑𝑟 𝑟²

𝜌 𝑑

𝑑𝑟 𝐾𝜌^𝛾 = −4𝜋𝐺𝑟²𝜌

境界条件： 𝜉 = 0で𝐷 = 1 𝑟 = 0で𝜌 = 𝜌_𝑐 , 𝜉 = 0で𝑑𝐷

𝑑𝜉 = 0 𝑟 = 0で𝑑𝑃

𝑑𝑟 = 0

𝑁 または𝛾 をパラメータとして解いて構造を求める ガス球が水素原子の場合：𝛾 = 5/3 𝑁 = 3/2 に相当

レーン・エムデン方程式

・補足２：力学平衡と輻射輸送を考慮した星の構造 _{補足９－２}2021

・力の釣合い：𝑑𝑃

𝑑𝑟 = −𝐺𝑀_𝑟𝜌 𝑟²

・連続の関係：𝑑𝑀_𝑟

𝑑𝑟 = 4𝜋𝑟²𝜌

・輻射平衡：𝑑𝑇

𝑑𝑟 = − 3𝜅𝜌 4𝑎𝑐𝑇³

𝐿_𝑟 4𝜋𝑟²

・エネルギー発生：𝑑𝐿_𝑟

𝑑𝑟 = 4𝜋𝑟²𝜌𝜀

・状態方程式：𝑃 = 𝑃 𝜌, 𝑇

・吸収係数：𝜅 = 𝜅 𝜌, 𝑇

・エネルギー発生率：𝜀 = 𝜀 𝜌, 𝑇 加えて補助方程式と境界条件を設定

・星の中心：𝑟 = 0で𝑀_𝑟 = 0, 𝐿_𝑟 = 0

・星の表面：𝑟 = 𝑅で𝜌 = 0, 𝑇 = 0

・吸収係数は「束縛・束縛遷移」「束縛・自由遷移」「自由・自由遷移」「電子散乱」を考慮

・エネルギー発生率は核融合 𝑝𝑝チェインと𝐶𝑁𝑂サイクル を考慮