光円錐量子化法の有限密度系へ

(1)

Soryushiron Kenkyu

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Soryushlron 　Kenkyu

一 C54一研　究　会　報告

光円錐 ^量子化法 ^の有限密度系

^へ

^の適用

福岡教育大物理松崎昌之

量子系^のダ^{イナミク} ^ス^を解 ^く方法^は、グリー_ン _関数法 ^と^ハ ^ミ^ル ^ト^ニ ^ア ^ン対^角^{化法}^に大別 ^{される}^。 ^相対論的^な場合^には、後者は^ポ ^ア ^ン ^カ ^レ群^の

10

個^の ^{生成}子^を求^め ^る ^こ ^と^に拡張さ^{れる}^。 ^こ^{れら} ^の生成^子^の ^う^ち ^、 ^量子化条件^を与^{える} 3 次元超曲面を不変 ^に保^つ ^ような変換^を与^え ^る ^も^の ^を^ヰ ^ネ ^マ ^{ティ} ^カ ^ル ^、 ^そ ^う^で ^な^い ^も^の ^をダ^{イナミカ} ^ルと呼ぶ。通常用

いら^{れる}同時刻量子化法^で ^{はキネ} ^マ ^テ ^ィ ^カ ^ル^生成子^は運動量戸、角運動量

b

各 3 個^の計 6 個^、 ^ダ^イ ^ナ ^{ミカ} ^ル ^{生成子}^は ^ハ ^ミ^ル ^ト^ニ ^ア ^ン

po

及び ^ロー _レ _ン _ツ・_ブー_ス _ト

Ki

3

個^の計 4 個^で ^あ^る^。一方、座標 ^xOl1，²，³_の代^わり^に ^X^士 ^＝

（

^xO^±^X3

）／

^V^僖^＝ ^XT ^及^び ^xl ^・²^を^採^用 ^し^、 ^量

子化条件を ^x ^＋ ^＝

0

面^で与^{える}光円錐^量子^{化法} ^で ^は ^、^” 運動量^”

P

^＋^，¹^・²、

” 角運動^量^”

L3

、

E1

^≡

_（ Kl

＋

L2 _） _／ v

^至^、

E2

　i≡

（ K2

⁻

Ll _） _／

v^！互にブー_ス _ト

K3

を加^え^て計

7

個^が^{＋ネ}^マ ^{ティ} ^カ

ルに、

・ハミ^ル ^ト^ニ ^ア ^ン^・^・

P

⁻、

・ブー_ス _ト^・

F

^’^E

_（ Kl

^＿

L2 _） 1 ^西

^、

^F2

¹

（

^κ²^＋

L

^’

_） _／面

^の

3

個がダイナミカ^ルになる

［ 1

_，

2］

^。 ^{ここで} ^、 ^{光円錐座標}^で ^は^時^{空座標} ^を^{一次結合} ^し^{たた} ^め^に

生成子^の意味が変わ^っていることを明示す^{るために}^”

^”^を^用^い ^た^。 ^光^円^錐^座^標^に^移 ^る ^こ

とによ ^っ ^て ^{キネ} ^マ ^テ ^ィ ^カ ^ル生成^子 ^が一_っ増^{えるこ} と^{のメ} リットは、時空

1

^＋ 1 次元^の世界を考^{えて} ^{みれば明ら}^か ^で ^あ^る^。

1

^＋ 1 次元ではポア ^ンカレ生成子^は 3 個^になる。同時刻法

では

P3

がキネ ^マティカ^ル、　

Pt

と

K3

がダ^{イナ} ^{ミカ} ^ル ^に、光円錐法^{では}

P

^＋と κ³がキネ ^マティカ ^ル、

P

^一のみがダイナ ^ミカ ^ルとなる。ロー _レ _ン _ツ・_ブー_ス _{トがキネ} _マ _テ _ィ _{カル} _、 _す

なわち相^互作用^を含^{まな}^い ^と^い ^う^こ ^と^は ^、 ^ブ^ー^ス ^ト^し^て ^も^{束縛}^系 ^の^内^{部構造}^が ^変^{わらな}^い

ことを意^{味す} ^{るので} ^{ある}

［ ³ ］

^。

^加^え^て ^、^光^円^{錐座標}^{では} ^ア ^イ ^ン ^シ ^ュ ^タ ^イ^ン^{関係式}^は

^2p

^＋

^p

⁻ ^＝

^M2

^＋

^（ ^pl ^） 1

^＋

^（ ^p2 ^）

²^と

なるので、観測される^！^’ ^エ ^ネ ^ルギー^”

p

^”^＞

0

_{粒子} （反粒子を含む）^は運動量

p

^＋ ^＞

0

し^か持^て ^な ^い^。 ^こ ^の ^こ ^{とは}真^{空から}^の ^{対生}成^が禁止されることを意味す ^る¹^。す^{なわち}物^{理的} 真^{空は}^フ ^ォ ^ッ ^ク ^の真空となるので、粒子数^で空間^を切断 ^し^て”

ハミ^ルト^ニア ^ン ^”

P

^一を対角化す^ると^いうタ ^ム・_ダ_{ンコ} _フ近似^が有効^に ^{なる}^。特^に摂動論が使え^な ^い強結合系^{ではそ}

の威力を発揮す ^{るこ} とが期待 ^{される}^。

一方、光円錐量子化法^で ^は^三^っ ^の空間座標を非対称^に ^扱 ^う^の ^で ^、

● 回転対称性 ^を破 ^っ ^{ている} ^、

● 縦（^x−

）、横（^xl ’2

）方^向^の ^{次数勘定}^が^異^{なる} ^こ ^{とに}^{由来し}^て ^、 ^繰 ^り^込^み^{処方}^が ^確　立していな^い、

と^いう問題^が残 ^っ ^て ^い ^る^。 ^{光円錐}上^の場^の理論^の大目標^は ^、 ³ ^＋ ^{1 次}^元^で ^の ^{繰り込み処}^方

を確立し、

p

^＋ ^＝

0

^モ ^ードと関係 ^し^て ^い ^{ると}^予想 ^{されて}^い ^る^カ ^ラー_の_閉 _じ_込 _め機構^を明 ^ら

^1p^＋ ^＝ ^O^の^モ ^ー ^ド^が^存在^す^れ^ば^真空^の^構造^は^複雑^に^な^る^{ので}^、^それが光円錐量子化法^で ^の真空^の相転移

に関係し^{てい}^{ると}予想^さ^れ^て^い ^るが、^{ここで} ^は考^えな^い。

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「原子核^ハド^ロ ^ン束縛系における相対論的多体論の展開」一

C55

^一

かにす ^{ること}^に ^よ ^っ ^て、（現象論的^に大成功 ^し^て ^い ^る）構成 ^ク^ォー_ク模型^を基礎^づけ ^る ^ことであり、それに向^け^て種^{々の} ^ラ ^グ^ラ ^ン ^ジ^ア ^ン ^の束縛状態解^が調^べ ^{られ}^て ^い ^{るが} ^、 ^{それら}

はす^べ ^て物質密度^＝

O

でのも^{ので} あ ^る。そこで、ここでは、横方向^が存^在^せ ^ず^、 ^{超繰} ^{り込}

み可能^で、か^っ、

Coleman

^の定理

［ ⁴ ］

^に ^{より}相転移（自発的対称性^の破れ）もな^い

1

^＋

1

次元^に話を限定して、有限密度核子・中間子系^の ^ひ^{な型} ^に^{光円錐量}子化法を適^{用する}^こ ^と

を試みる。

　　 ¹

^＋

¹

^次^元 ^の^{核子}^を

Cb

^：

（

ψ^R^，

ψ

^L

）

^T^、^{スカ} ^ラ^{ー申間子}^を^σ ^と^書 ^{くと} ^ラ ^グ^ラ ^ン ^ジ^{アン} ^は

^・^一

^ψ ^（ ^ior

^”

^e

^．⁻

^M ^）

^ψ^・

1 ^（

^…

^a

^。^a ⁻ ^m ^・^σ^・

^）

^一^・

^伽 ^（

^・^一 ^＋^，^一

^） ^（ ¹ ^）

で与^{えられ}^る ^。 ^こ^{れから}運動方程式

（

^∂^μ^∂^μ^＋^m2

）

^σ ^＝ ⁻

^9ψψ 　

^，

　　　　　　（ i

^・

_yP

∂_μ 一

M

⁻

₉

^σ

_）

_ψ^＝

0

を得 ^る^。核子^に対^{する}方程式^を射影す^{ると}

〉^「

2i

∂− gbL一

（ M

＋

9

^・

）

^ψ^R ^＝

o

_，

t5i

^∂＋ψ^R ⁻

（ ^M

^＋

⁹

^σ

^）

^ψ^L ^＝

⁰

（ 2 ）

（ 3 _）

（ 4）

（ 5 _）

を得 ^るが、

（ 4 _）

は^” 時間^” 微分∂_＋を含まないので、 ψ^L^は ^ダ^{イナミカ} ^ル ^な ^自由度^{では} ^な ^く^、

（ 4）

^は^{拘束条件}^で ^あ ^{るこ}^{とがわか} ^る^。 ^こ ^の^{拘束条件}^を^用^い ^て^” ^ハ ^ミ^ル ^ト^ニ ^ア ^ン ^” ^{密度（}^エ

ネ ^ルギー運動量^テ ^ン ^ソ^ル ^{の＋}一成分）^からψ^L^を ^{消去}^す ^{ると}

T

^＋^『^一

毒 ^｛ ^嚇 ^ま

^ψ^・ ^{＋・}

^齲 ^（ ^ま

^・ ^＋ ^・

^ま ^）

^ψ^・ ^＋

^92ipk

^・

^ま

^・^ψ^・

^｝

^・

lm2

^σ²

^ジ ^（

^・

^）

を得^る ^。 ^{ここで}

ま

^は^” ^{空間}^” ^{微分}^の^{逆演算}^、 ^す^な ^{わち}^{積分}^を^{表す}^{ので} ^、 ^{この} ^{表式中}^の

^g2

項 ^は^、図 1 ^の ^ような^” 瞬間的^” 4 点 ^ヴ ^ァー_テ _ッ _ク _ス _を与^{える}。

^{対象}^{とし}^て ^ガ ^{方向}^に ^{無限}^に ^広^が^っ ^た^{核物質}^を^考^え^る ^{ので} ^、

P

⁻ ^＝

_∫

dx

⁻

T

^＋^『中^の核子場、中間子場を、量子化条件^{を与える} ^x^＋ ^＝

0

で

^ψ^・

^（

^x⁻

^）

^一

^掘

^゜° ^、

藩 ^［ ^b ^（ ^k

^・

^）

^・^一^’^k^＋^x ⁻^・

^dt ^（ ^k

^・

^）

^・^’^k^’^・^’

^］

^，

　 ^（

^・

^）

^・

^（

^・^一

^）

^一 ^・ ^・ ^〉 ^＋

f

^。^°^Q2111 ^．

^［

^・

^（

^・^・

^）

^・^一^・^k^＋^x⁻ ^・ ^・^t

^（ ^k

^・

^）

^・^・^k^’^・^“

^］　 ^（

^・

^）

と平面波展開する。ここで積分記号^は ^コー_シー_の _主値積分を意味する。またく σ 〉は核子密度^が有限^であ ^{るため}^に存在す ^る平均場^であ^る^。

（ 7 _）

、

（ ⁸ ）

^式 ^に ^よ ^っ ^て

P

^一は核子及び中問子^の^生成・消滅演算子^で表 ^さ^れ^る^の ^で、状態^を粒子数^で切断 ^し^て ^ア ^イ ^ン ^シ ^ュ ^{タイ} ^ン・_シ_ュ

レー_デ _ィ _ン_ガー方程式

M2

　　　　　　　 ^P

^”

lxb

^＞^篇

_炉 1 ψ

^・

　　　　　 ^（ ⁹ ^）

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一

C56

^一 ^研 ^究 ^会 ^報告

を行列対角化法^に ^よ ^っ ^て解 ^くヒとにより物^理量^が求^めら^{れる}。

^{物質密度}^＝

0

の

1

＋

1

次元湯川相互作用系^に ^っ ^い ^ては文献

［ ⁵ ］

^で^{詳しく調}^べ ^{られ}^て ^い

るが、そこでは反^フ ^ェ ^ル ^{ミオ} ^ン ^を無視 ^し^て ^い ^{るた} ^{めに}対^生成^{がな} く^ボ ^ソ ^ン ^は裸^の ^ま ^ま^で、

フ ^ェ ^ルミオ ^ンをF 、ボソ ^ンを B と略記す^ると、 1F ^セクター_に _つ _{いて} _は．（^1F ）^＋（1F −

1B

） ^＋（

1F

⁻

2B

）を模型空間 ^{として} ^フ ^ェ ^ル ^{ミオ} ^ン ^の物^理的質量^を、

2F

^セクター_に

っいては（

2F

）^＋（

2F

⁻

1B

）^の ^空間^で束縛状^態及^{び連}続状^態 ^の質^量 ^ス ^ペ ^{クト}^ル^{及び} 波動関数を求める枠組みを与^{えて} ^い ^る^。一_方

、本研究会 ^で ^よく認識 ^{され} ^{てい} ^{るよ} う^に、核子 ^と中間子^を対等^に取 ^り扱 ^う^べ ^き^で ^あ ^る^と^い ^{う観点から}^は ^、 ^{中間}子^が ^{核子}一_{反核子及} _び_粒子一空孔^の衣^を着^て ^い ^る効^{果も}同^時^に ^{考慮し}^な ^け^{ればな} ^ら^な ^い ^。 ^例^{えば} OF ^セクター_に_っ

いて（1 申間子）^＋（

N

⁻

N

_）＋（p −

h

_）という空間^で

P

^一を対角化す^{れば} 、リ ^ング・_ダ _イ

ヤグラムが無限次^ま^で^{入る}^こ ^と^に ^{なる}^。 ^そ^の ^際^、 ^{光円錐} ^で ^の^{運動学} ^に ^{より}^、反核子運動量

の積分範囲 ^が有限^にとどま ^{ると}^いう^メリットがあ ^る^。核子（lF _）^セクター_と中間子（

O

F ）^セ ^{クタ}ー_{を結合さ}_せ _て _{解け}_ば _シ _ュ _{ウィ} _ン _ガー・_ダ_イ _ソ _ン _法 _に_{対応す} _{ると}_{予想} _し_て _い _る

がぐ^二重勘定 ^の問題等、具体的計算方法 ^に^つ ^い ^て ^は検討中^で ^{ある}。

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L

　　　　 X’

／

＼

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1

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