「力のつく微分積分」初版5刷 (2010) 訂正表

「力のつく微分積分」初版 5 _刷 (2010) _訂正表

桂田祐史・佐藤篤之

2010 年 5 月 6 日 , 2011 年 1 月 24 日 ,1 月 31 日

http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/bisekibun/

1. 3ページ下から9行目「0<|x−a|< δ」→「0<|x−a|< δ⁰⁰」

¶ ³

0<|x−a|< δ⁰⁰ のとき

µ ´

2. 23ページ下から3,4行目の一番外側の括弧は削除する。

¶ ³

一方，「C¹級の関数f(x)がf⁰(x)6= 0をみたせば，逆関数f⁻¹(y)も微分 可能」となる（逆関数の定理，6.6 節参照）．

µ ´

3. 34ページ下から 7,8,10行目「x−a」→「a−x」,「x−b」→「b−x」

¶ ³

f(a)≥f(x) + (a−x)f⁰(x), f(b)≥f(x) + (b−x)f⁰(x).

任意のt∈[0,1]に対して，両式にそれぞれ t, 1−t をかけて加えると tf(a) + (1−t)f(b)≥f(x) + [t(a−x) + (1−t)(b−x)]f⁰(x).

特にx=ta+ (1−t)bの場合を考えるとt(a−x) + (1−t)(b−x) = 0 とな

µ ´

4. 40ページ下から10行目「ある区間Iで微分可能な」→「ある区間 I で定義された」

¶ ³

ある区間 I で定義された関数 f に対し，その導関数が f となるような関数

µ ´

5. 41ページ上から6行目「原始関数は無数あるが」→「原始関数は無数にあるが」

¶ ³

与えられた関数 f の原始関数は無数にあるが，どの2つの差も（定義域の各

µ ´

6. 69ページ下から4行目、問題1 (13)「 Z ₂

0

dx

x³(x+ 1)」→「

Z ₂

1

dx x³(x+ 1)」

1

¶ ³

(13) Z ₂

1

dx x³(x+ 1)

µ ´

7. 75ページ上から8〜9行目「章末」→「巻末」

¶ ³

解しやすいと思うが，その証明には実数の基本的な性質が必要であるため巻 末の補足に廻すことにする。

µ ´

8. 75ページ下から7行目「章末」→「巻末」

¶ ³

の構成課程を反省する必要がある．興味のある読者は巻末の補足を参照して

µ ´

9. 81ページ上から1行目「章末」→「巻末」

¶ ³

この証明は難しくはないが状況設定に準備が必要なため巻末の補足に記述

µ ´

10. 98ページ下から8行目「章末」→「巻末」

¶ ³

上の2つの定理の証明には準備が必要なので，巻末の補足に記述する．

µ ´

11. 129ページ下から9行目「オランダの数学者ヴェルハルスト」→「ベルギーの数学者ヴェ

ルハルスト」

¶ ³

例 5.11 (ロジスティック方程式) ベルギーの数学者ヴェルハルスト (P. F.

µ ´

12. 131ページ上から 4,5 行目「log by₀

a−by₀」→「log by₀ by₀−a」

¶ ³

−∞< x < ∞で存在する．y₀ <0 の場合，解はx <−1

alog by₀

by₀−a で存在 する．y₀ > a/b の場合，解はx >−1

alog by₀

by₀−a で存在する．y₀ = 0のと

µ ´

13. 154ページ上から11行目、問題 1. (2) 「y⁰⁰−3y⁰+ 2y= 0」→「y⁰⁰−y⁰−2y= 0」

¶ ³

(1) y⁰⁰−6y⁰ + 8y= 0 (2) y⁰⁰−y⁰ −2y = 0 (3) y⁰⁰−a²y= 0

µ ´

これと対応して、257 ページ上から5行目の答も y=C₁e^2x+C₂e^−x に変える。

¶ ³

5.5

1. (1) y=C₁e^2x+C₂e^4x (2) y=C₁e^2x+C₂e^−x

µ ´

2

14. 201ページ上から4行目「lim

x→∞

·µ 1 + 1

x

¶_x

−e

¸

」→「lim

x→∞x

·µ 1 + 1

x

¶_x

−e

¸

」

¶ ³

(19) lim

x→∞x

·µ 1 + 1

x

¶_x

−e

¸

µ ´

15. 251ページ上から9行目、2.4.1. (8) 「1 x− 1

3x³ +1 2

¡x²+ 1¢

+ tan⁻¹x」→「1 x − 1

3x³ + 1

2log¡

x²+ 1¢

+ tan⁻¹x」

¶ ³

(7) log|x| − 2 x −1

2log¡

x²+ 1¢

−2 tan⁻¹x (8) 1 x − 1

3x³ +1 2log¡

x²+ 1¢

+ tan⁻¹x

µ ´

16. 254ページから255ページ（解答）:定数の解が多数抜けています。5.2 1. (2)「,y= 0」

を追加(4) 「,y= 0」を追加(6) 「, y= 1」を追加(7)「,y = 0」を追加(8) 「, y= 0」

を追加(10) 「,y= 0」を追加(11) 「, y=nπ (n は整数)」を追加(12)「,y = 0」を追 加(13) 「, y= (n+ 1/2)π (nは整数)」を追加(14) 「, y= 0」を追加(15) 「, y=−b」

を追加(16) 「, y= (n+ 1/2)π (nは整数)」を追加(17) 「, y = (n+ 1/2)π (nは整数)」

を追加(19)「,y= 0」 を追加(20)「, y=−1」 を追加(24)「, y= 0」 を追加(26)「, y= 0」 を追加(28) 「,y = 0」 を追加(29) 「,y = 0」 を追加

2. (2) 「, y= 0」を追加(4) 「,y =nπ (n は整数)」を追加(5) 「, y= 0」を追加

3

¶ ³

1. (1) y=C/x (2) y=− 1

log|x|+C, y= 0 (3) y= 1 +Cx

1−Cx, y=−1 (4) y= 2x²

Cx²−1 (5) y= (x+C)³ (6) y = 1 +

µx+C 2

¶₂

, y= 1 (7) y= x

Cx−1,y = 0 (8) y² = 5x⁵

Cx⁵−2, y= 0 (9) y= Cx x+ 1 (10) y = 1

ax+C, y = 0 (11) y = cot⁻¹(log|cosx| +C), y = nπ (nは整数) (12) y−log|y|=x+ logC|x|, y= 0

(13) sinxcosy=C, y= (n+ 1/2)π (nは整数) (14) y =

µ1

3log|1 +x³|+C

¶₋₁

,y = 0 (15) y=−b(C+e^2abx)

C−e^2abx , y=−b (16) y = tan⁻¹(tan⁻¹x+C), y= (n+ 1/2)π (nは整数)

(17) y = tan⁻¹(x−cosx+C), y= (n+ 1/2)π (nは整数) (18)y =Cp

|x²−1|

(19) 1

2y²+ log|y|= 1

2x²+ logC|x|, y= 0 (20) y−log|y+ 1|= 1

2x²+C,y =−1 (21) y = C+x²

C−x²,y = 1 (22) y=−1

2log(−e^2x+C) (23) y= log(C−e^−x) (24) y =Ce^x (C >0), y=Ce^−x (C <0), y= 0 (25) y² =x²+C

(26) x >0のときy= (√

x+C)²,x <0のときy=−(√

−x+C)², y= 0 (27) x >0のときy= ((√

x)³+C)^2/3, x <0のときy =−((√

−x)³ +C)^2/3 (28) y = x

Cx+ 1, y= 0 (29) y= 2x²

Cx²+ 1, y= 0 (30) y² = (√

1 +x²+C)²−1 2. (1) y² =C(x²+ 1)²−2 (2)|y|= exp(−exp(2x) +C), y= 0

(3) y= tan logC|x| (4) y= cot⁻¹(tanx+C), y=nπ (nは整数) (5) log|y|+1

4y² = 1

x² +C,y = 0 (6) y= C sinx

(7) y² =C(x²+ 2)⁴−1 (8)y= log(e^x+C) (9) y² =C(x²+ 1)−1

µ ´

4