微分積分続論 レポート
(H23.5.20)ID: 氏名:
* 解答に際し，講義で紹介した定理，命題など，さらにレポート問題の結果は証明なしに用いて良い．
* レポートにはA4版用紙を用いよ．
* 提出は次回講義時．
問題
(1) 以下で与えられるAでのfの積分
∫∫
A
fを求めよ．ただし，計算方法を詳しく書くこと．
(a) A= [a, b]×[c, d]，f(x, y) =epx+qy (p, q∈R)．
(b) A={(x, y)|1≤x2+y2≤4}，f(x, y) = (x2+y2)−m (m∈N)
(2) f : [0, a]→Rは連続であるとする．A={(x, y)|x≥0, y ≥0, x+y≤a}とする．このとき次 式が成り立つことを証明せよ．
∫∫
A
f(x+y)dxdy=
∫ a
0
xf(x)dx.
(3) F :R2→RはC2級であるとする．f(x, y) = ∂2F
∂x∂y(x, y)，R= [a, b]×[c, d]とおけば，次が成 り立つことを証明せよ．
∫∫
R
f =F(b, d)−F(a, d) +F(a, c)−F(b, c).
解答例
(1) 以下で与えられるAでのfの積分
∫∫
A
fを求めよ．ただし，計算方法を詳しく書くこと．
(a)
∫∫
A
f =
∫∫
A
epxeqydxdy= (∫ b
a
epxdx )(∫ d
c
eqydy )
=
(epb−epa)(eqd−eqc)
pq , pq6= 0, (epb−epa)(d−c)
p , p6= 0, q= 0, (eqd−eqc)(b−a)
q , p= 0, q6= 0.
(b−a)(c−d), p=q= 0.
(b) A={(rcosθ, rsinθ)|1≤r ≤2,0≤θ≤2π}であるから，
∫∫
A
f =
∫∫
[1,2]×[0,2π]
f(rcosθ, rsinθ)rdrdθ =
∫ 2π
0
(∫ 2 1
r−2m+1dr )
dθ
=
2πlog 2 m= 1,
2π× 1
2m−2(1−22−2m) = π(1−22−2m)
m−1 , m >1.
(2) A={(x, y)|0≤x≤a,0≤y≤a−x}であるから，反復積分により
∫∫
A
f(x+y)dxdy =
∫ a
0
(∫ a−x
0
f(x+y)dy )
dx となる．固定されたxに対し，z=x+yという変数変換により，
∫ a−x
0
f(x+y)dy=
∫ a
x
f(z)dz
となる．よって ∫∫
A
f(x+y)dxdy =
∫ a
0
(∫ a
x
f(y)dy )
dx.
部分積分により ∫ a
0
(∫ a
x
f(y)dy )
dx=
∫ a
0
xf(x)dx.
以上より，求める等式を得る．
(3)
∫∫
R
f =
∫ b
a
(∫ d
c
∂
∂y (∂F
∂x )
(x, y)dy )
dx=
∫ b
a
{∂F
∂x(x, d)− ∂F
∂x(x, c) }
dx
=F(b, d)−F(a, d) +F(a, c)−F(b, c).
2
