5章 微分

５章 微分

5.1 微分とは

微積分は自然科学だけでなく経済学等の社会科学においても重要な基礎知識です。特に微 分は様々な分析で必要不可欠です。この節では微分の定義とその意味を考えてみます。

ある関数y f x( )^{について、}xaにおける微分は以下のように定義されます。

h a f h a f

h

) ( ) lim (

0





 (5.1)

この定義を用いて、図からその意味を考えてみます。

y = f(x)

x y

f(a) f(a+h)

a a+h 接線 B

A

図5-1 接線の傾きと微分

図 5-1 は関数y f x( )^のxaにおける微分の定義を表したものです。定義式の分子

) ( ) (a h f a

f   ^はxah^とxa^{の２点における}y^{の値の差です。分母の}h^はxah とxaとの差と考えられます。これらを合わせると微分の定義式における分数式は、y^軸 上の差をx軸上の差で割ったものであり、A 点とB 点を結ぶ直線の傾きを表わすと考えら れます。

lim0

 h

はah^をaに限りなく近づけることを意味しますが、これはA点とB点の間 隔を縮めて行くことになります。その際２点を結ぶ直線は、この場合次第に傾きが小さくな って行きます。これが極限まで近づいたとき、この直線は A 点における接線に一致するこ とが分かると思います。即ち、微分の定義式 (5.1) はxaにおける接線の傾きに一致しま す。これは非常に大事で決して忘れてはならないので標語のようにまとめておきましょう。

微分は接線の傾きである。

ここで１つ注意すべき重要なことがあり ます。それは微分の定義式が値を持つかどう かです。微分の定義式がある一つの値を持て ば、f(x)はxaにおいて微分可能であると 言います。また、結果が発散する場合や極限 の取り方（左や右から近づける）によって値 が異なるときは、xaにおいて微分可能で ないと言います。グラフがxaにおいて不

連続な場合や、折れ曲がっている場合には微分可能でありません。例えば、図5-2に見るよ うに、y|x|はx0において微分可能でありません。

| 1 lim| ) 0 ( ) lim (

0

0   







 h

h h

f h f

h h

| 1 lim| ) 0 ( ) lim (

0

0   







 h

h h

f h f

h h

a

x における微分が定義されましたが、aの値が動くにつれ微分の値も変化します。

即ち、微分もxの関数になります。この関数を例えば

dx

dy と表し、以下のように定義します。

h x f h x f dx

dy

h

) ( ) lim (

0



 

 (5.2)

このようにxをそのまま残して微分を求める、即ちxの各点において微分を求めることを単 にxで微分するとも言います。また微分された関数を f(x)の導関数と呼びます。以後の計 算にはこの定義を利用します。

微分を表す書式はいろいろで、以下によく使われている例を書きます。

) ( )

) (

( f x y f x

dx d dx

x dx df

dx dy

dy      

この本では状況に応じて使い分けますので、ご容赦下さい。

さて、これからべき乗関数に微分の定義を適用してみましょう。

最 初 の 例 は y f(x)1と い う 定 数 の 関 数 で す 。 定 義 に 従 っ て 計 算 す る と

1 ) ( )

(x  f xh 

f ^であり、x^{における微分は常に0になります。}

0 0 1 lim lim1

0

0   

  h  h dx

dy

h h

これはこの関数を表すグラフが図5-3aのように、傾き0の直線になることから納得できま す。

x y

0

図5-2 y|x|^のグラフ

x 1

y

x y

傾き=1

x y

図5-3a 図5-3b 図5-3c

次は y f x( ) x ですが、 f(x)x， f(xh)xhを利用すると、以下のように 微分は常に1になります。

dy dx

x h x

h

h h

h h

    

 

lim( )

lim

0 0 1

これは図5-3bで、グラフの傾きが常に1になることと一致しています。

関数が y f x( ) x² の場合は、接線の傾きは図5-3cのように場所によって異なってき ます。実際に計算してみると、f(x)x²， f(xh)(xh)²より、以下のようになるこ とが分かります。

x h h x

h xh h

x h x dx

dy

h h

h 2 lim(2 ) 2

) lim lim(

0 2 0

2 2

0    

 

 







ここに、(xh)²x²2xhh^{2を利用しています。}

最後に関数が y f x( ) x³ の場合を見てみましょう。グラフは省略させて下さい。微 分は(xh)³x³3x²h3xh²h³を用いて、以下のように求められます。

dy dx

x h x

h

x h xh h

h x xh h x

h h h

         

  

lim( )

lim lim( )

0

3 3

0

2 2 3

0

2 2 2

3 3

3 3 3

以上の結果を少し書き換えて並べてみましょう。

0

1 

 dx

y dy ^，   1

dx x dy

y ^， x

dx x dy

y ²  2 ^{， 3} 3x²

dx x dy

y  

これを見るとある規則性があることが分かります。即ち、以下の関係です。

xn

x f

y ( ) のとき nx^n1 dx

dy

上の計算は、n0,1,2,3の例です。この計算において次数のn^{は0以上の整数ですが、実}

はすべての実数について上の関係が成り立つことが知られています。即ち任意の実数aに対 して以下の公式が得られます。

公式

xa

y ^のとき ax^a1 dx

dy (5.3)

問題

以下の関数の微分を求めよ。

1) yx⁵ 2) yx²⁰ 3) yx^3

4) yx¹² 5) y x³

解答

1) y5x⁴ 2) y20x¹⁹ 3) y3x^4

4) ¹²

2 1 _

 x

y 5) y x³ x^3/2より、 y x x

2 3 2

3 12 



5.2 算術関数の微分

前節でxのべき乗についての微分を学びましたが、その他のいわゆる算術関数を微分する とどうなるのでしょうか。ここではこれらの関数の中で代表的なものについて微分した式を 公式として与えます。この中には他の式から導けるものもありますが、これくらいは覚えて おいた方が計算が速いようです。これら以外の関数については計算して求めることにします。

この中にye^xの形の指数関数がありますが、これは度々現われる基本的な関数で、定数e

は前節で説明したネーピアの数です。また、対数関数に対してもネーピアの数e^{が使われて}

います。底を10とする対数を常用対数、これに対して底をeとする対数を自然対数と言い ます。自然対数の場合は、底のe^{を省略して}logxと書くこともありますし、自然 (natural) を 強調するためにlnxと書くこともあります。しかし、混乱を避けるために、この本では

ex

log のように底をきちんと書くことにします。

公式

y e dy

dx e

x x

   (5.4a)

y x dy

dx x

loge   1

(5.4b)

y x dy

dx x

sin  cos (5.4c)

y x dy

dx x

cos   sin (5.4d)

x dx

x dy

y ₂

cos tan   1

 (5.4e)

ここでは上の公式の中で基本となるye^xとysinxとについて求め方を説明しておき ましょう。他の公式については、後の節で追い追いに説明して行きます。

ex

y について

ネーピアの数eの定義から以下のことが分かります。





 



 

  e n 1 n

1

但し、n^のとき0^{になります。両辺の}1/n乗を求め、書き直して以下のようにし ます。

1 1 1 )

(  ¹   n e  ⁿ

ここでh1/nとすると、h0で 0となることを用いて、以下の関係が成り立つこ とが分かります。

1 1 lim0  

 h

e^h

h (5.5)

この準備のもとに定義に従って計算を実行します。

x x h

h x x h x

h e e

h e e

h e e dx

dy       





 1 1

lim

lim0 0

最後から 2 番目の等号で上の関係を使 いました。この結果により、ye^xとい う関数は微分しても同じ形になる特殊 なものであることが分かりました。

さて、今の計算で重要なところは何と 言っても、(5.5) の関係です。これはど ういう意味を持っているのでしょうか。

グラフを用いて考えてみましょう。

図5-4でA 点とB点を結ぶ直線の傾 きは(e^h1)/hで与えられます。それ故

0

h でのこの値の極限は、A 点における接線の傾きになります。即ち、この傾きが 1に なることから、ya^xのグラフでx0での傾きが1となるようにaの値を定めたものが、

ex

y であると言えます。ネーピアの数eにはこのような意味が含まれています。

x

ysin について

この微分を考える前に少し準備をしておく必要があります。まず、4章で説明した倍角の 公式を用いて以下の関係を得ます。







 cos² sin² 1 2sin² 2

cos    

ここで、 h/2とおいて以下のようになります。

) 2 / ( sin 2 1

cosh  ² h

この関係を用いると、以下のような極限が求まります。

y = e^x y

h x 0 1

e^h B

A

図5-4 ye^xの接線

2 0 /

) 2 / sin(

) 2 / limsin(

) 2 / ( sin lim 2 1 limcos

0 2

0

0  



 

 





 h

h h

h h h

h

h h

h

ここでは、lim sin 1

0 

 x x

x

の関係も用いています。

いよいよこれらの関係を用いてysinxの微分を考えてみます。

x

h x h h

x h h

h x h

x

h

x h x h

x h

x h

x dx

dy

h h

h h

cos

cos sin 1 sin cos

sin lim cos ) 1 (cos limsin

sin sin cos cos

limsin sin

) limsin(

0 0

0 0





  

 

 



 



 









ここで最後の等号には上で述べた極限の値を利用しました。この計算法を用いると、

x

ycos の微分も同様に計算されます。

問題 x

ycos の微分がysinxになることを上の方法に習って示せ。

解答

x

h x h h

x h h

h x h

x

h

x h

x h x h

x h

x dx

dy

h h

h h

sin

sin sin 1 cos cos

sin lim sin ) 1 (cos limcos

cos sin

sin cos limcos

cos ) limcos(

0 0

0 0







  

 

 



 



 









5.3 関数の定数倍と和の微分

基本的な関数の微分の結果が分かりましたので、ここからは関数を組合せた場合の微分に ついて説明して行きます。この節では定数倍と関数の和についてです。

基本的な関数に定数が掛かった場合微分はどうなるでしょうか。 f(x)の微分 f(x)が分 かっているとして、yaf(x)の微分を考えます。ここにaは定数です。定義に従って計算 します。

) ) (

( ) lim (

) ( ) lim (

0

0 af x

h x f h x a f h

x af h x af dx

dy

h

h        

  

以上のように、yaf(x)の微分は、微分した関数に定数aを掛けたものになります。この 関係を式に表わしておきましょう。

) (x af

y ^→ af (x) dx

dy  

少し例を見てみましょう。

1) y3x^{2 →} x x dx

dy 32 6

2) y5sinx → x dx

dy 5cos

1) の場合、a3^， f(x)x^{2と考えて、}af(x)32xとなり、2) の場合、a5^， x

x

f( )sin と考えて、af(x)5cosxとなります。

次に関数の和についての微分です。２つの関数f(x)とg(x)の微分 f(x)とg(x)とが分 かっているとして、y f(x)g(x)の微分を定義に従って考えます。

dy dx

f x h g x h f x g x

h

f x h f x g x h g x

h f x g x

h

h

     

     

  





lim{ ( ) ( )} { ( ) ( )}

lim{ ( ) ( )} { ( ) ( )}

( ) ' ( )

0

0

以上のように関数の和の微分は、関数を微分したものの和になります。これを式で表わして おきましょう。

) ( ) (x g x f

y  ^→ f (x) g(x) dx

dy    

この場合の例を見てみましょう。

1) yx³x ^→ 3x² 1 dx

dy

2) ye^xcosx → e x dx

dy x

sin



1) の場合、 f(x)x³，g(x)xとして、 f(x)g(x)3x²1^{となり、2) の場合、}

ex

x

f( ) ^，g(x)cosxとして、 f(x)g(x)e^x(sinx)となります。

以上の結果を公式にまとめておきます。

公式

) (x af

y → af (x) dx

dy   (5.6a)

) ( ) (x g x f

y  ^→ f (x) g(x) dx

dy     (5.6b)

関数の定数倍と和については、関数が何倍かになれば微分もそうする、和は素直に１つず つ微分するというように、公式より直感に頼った方が分かり易いようです。このことから上 の公式は特に覚えておく必要はないでしょう。次はこれらの複合形について例を見てみまし ょう。

1) yaxb ^→ a a dx

dy  10

2) y2x²3x1 ^→ 4x3 dx

dy

3) ye^xx^{3 →} e 3x² dx

dy _x





4) y2sinx3cosx ^→ x x dx

dy 2cos 3sin

5) x x

y x² 2 → ² 2₂

1 2

1 x x

dx

dy   ^  

5) についてはyx12x^1と変形すると簡単です。その他については特に説明の必要は ないと思います。

問題

以下の関数の微分を求めよ。

1) yx³2x²4x1 ²⁾ y2x⁵3x²4

3) y3x⁴5x 4) y(x1)(x1)

5) ² 1 1₂

1 x x

x x

y     6) y xlog_ex

7) y2tanx3x^2/3 8)





 ⁿ

i

xi

y

0

解答

1) y3x²4x4 ²⁾ y10x⁴6x

3) y12x³5 4) y2x

5) ^{2 3} 1₂ 2₃

1 2 2 1

2x x x x x x

y   ^  ^    

6) y x x x 1x

2 1 1 2

1 1/2  

 ^

7) ₂ 2 ^1/3

cos

2  _

 x

y x 8)

 







 

 ⁿ

i i n

i

i ix

ix y

1 1 0

1

5.4 関数の掛け算の微分

前節で微分できる関数の範囲が少し広がりましたが、ここでは微分の分かっている関数同 士の掛け算の微分について考えてみます。即ち、 f(x)とg(x)との微分が分かっていると して、y f(x)g(x)の微分を定義に従って求めてみましょう。

dy dx

f x h g x h f x g x h

f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x h

f x h f x g x h f x g x h g x h

f x g x f

h

h

h

   

       

      

  







lim ( ) ( ) ( ) ( )

lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lim{ ( ) ( )} ( ) ( ){ ( ) ( )}

( ) ( ) (

0

0

0

x g x) ( )

関数の掛け算の微分は、それぞれの関数を1つずつ微分して足し上げて行けばよいことが分 かります。これを公式としてまとめておきましょう。

公式

) ( ) (x g x f

y ^→ f (x)g(x) f(x)g(x) dx

dy     (5.7)

さらに以下のように３つの関数の掛け算y f x g x h x( ) ( ) ( )の微分を求めてみましょう。例 えばg(x)h(x)をまとめて１つの関数と思えば、結果は容易に導けると思います。

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

] ) ( ) ( )[

( )]

( ) ( )[

(

x h x g x f x h x g x f x h x g x f

x h x g x f x h x g x dx f

dy

 

 

 

 

 

関数の掛け算の微分について具体的な例を見てみましょう。

1) yx³sinx → x x x x dx

dy 3 ²sin  ³cos

2) y(x²x1)log_ex ^→

x x x x

dx x dy

e

log 1 ) 1 2 (

2  







1) については、 f(x)x³，g(x)sinxとすると、 f(x)3x²，g(x)cosxとなり、

) ( ) ( ) ( )

(x g x f x g x

f   として上の結果を得ます。また、2) については、f(x)x²x1，

x x

g( )log_e ^{とすると、} f(x)2x1，g(x)1 xとなり、上の結果を得ます。

問題

以下の関数の微分を求めよ。

1) y x²(2x⁴1) ²⁾ y(x⁴x²1)(x³x)

3) ye x^x( ² x 1) ⁴⁾ yxlog_ex

5) ye^xsinx 6) xtanx

解答

1) y2x(2x⁴1)x²8x³12x⁵2x

2) y(4x³2x)(x³x)(x⁴x²1)(3x²1)

3) ye^x(x²x1)e^x(2x1)e^x(x²3x2)

4) 1 log 1 log

1    

 x

x x x

y _{e e}

5) ye^xsinxe^xcosxe^x(sinxcosx)

6) x x x

y x ₂

cos tan 1

2

1 



注意

試験を採点しているとよく以下のような間違いを見かけます。例えば微分する問題で、正 しくは

ye^xcosx^→y e^xcosxe^x( sin ) x

となるところを、( ) を付け忘れて

x e

x e

y ^xcos  ^xsin

のような間違った答えを書いています。十分な注意するようにして下さい。

5.5 関数の割り算の微分

微分の分かっている関数同志の割り算y f(x) g(x)の微分は、定義に従って以下のよう に計算されます。

2 0

0 0 0

) (

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) (

) ( ) ) (

( ) ) ( ( ) ( lim

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim (

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) lim (

) ( ) ( ) ( ) lim (

x g

x g x f x g x f

x g h x g

h x g h x x g f x h g

x f h x f

x g h x g h

h x g x f x g x f x g x f x g h x f

x g h x g h

h x g x f x g h x f

h

x g x f h x g h x f dx

dy

h h h h

 

 





 



















 









 





 









この関係をまとめると以下の公式を得ます。

公式

) (

) (

x g

x

y f →

)2

(

) ( ) ( ) ( ) (

x g

x g x f x g x f dx

dy   

 (5.8)

この公式を用いた例を計算してみましょう。

1)  e y

x

→ e (2x1)e 2 e (2x1) y

x x

x

2) x y x

cos

 sin →

x x

x x

x

y x _{2 2}

cos 1 cos

) sin ( sin cos

cos     



3) _n

y x1 → ¹

2

1 1

0   



 



 

 ⁿ

n n n

x nx nx y x

1) について、 f(x)e^x，g(x)2x1として、公式を用いると結果が右側のように求ま ります。2) についても f(x)sinx，g(x)cosxとしますが、さらに三角関数における

1 cos

sin² x ²x の関係を使うと上の最終的な結果が求まります。ここで気付かれた方も おられるでしょうが、2) の関数はytanxと同じです。これについてはすでに証明無しで、

x

y1cos² という公式を示しました。この例がtanxの微分の公式の証明となります。3) については、 f(x)1^，g(x)xⁿとしますが、これはべき乗関数yx^aのanの場合 に相当し、微分がyax^a1で与えられることを示しています。

問題

以下の関数の微分を求めよ。

1) y x

 x

1 ²⁾ y x

x x

  

2

2 1

3) x x

y e

x

cos sin 

 4)

x x

y x

cos sin

 

5) _x

e x y x

  1

sin

解答

1) 2 2

) 1 (

1 )

1 (

1 ) 1 ( 1

 









 

 x x

x y x

2) _{2 2 2 2}

2 2

2

2 2

) 1 (

) 2 ( )

1 (

2 )

1 (

) 1 2 ( ) 1 (

2





 





 











 

 x x

x x x

x

x x x

x

x x x

x y x

3) _{2 2}

) cos (sin

sin 2 )

cos (sin

) sin (cos )

cos (sin

x x

x e x

x

x x e x x

y e

x x

x

 







 



4) 2 2

) cos (

1 sin cos )

cos (

) sin 1 ( sin ) cos (

cos

x x

x x x x

x

x x

x x

y x





 











 



5) 2

) 1 (

sin ) 1 )(

cos sin

1 (

x

x x

e

e x x e x x y x











 



)2

1 (

)) sin (cos (sin

cos sin

x x

e

x x x x e x x x









 

この問題の5) では、割り算の微分の中に掛け算xsinxの微分の要素が入っています。理解 できたでしょうか。

これまで、例でも問題でも結果はできるだけ整理して書くようにしていますが、微分の方

法を学ぶ上でこの数式の整理は必要ない（むしろ余計なことに気を使う分だけじゃまな）よ うに思います。基本はいかに微分の公式をきちんと使えるかで、きれいにまとめることはま た別の問題です。解答のyの次の式が微分の公式を素直に使ったものです。ここまで結 果を出せば取り敢えず十分な気がします。

5.6 汎関数の微分

汎関数とは、y f(z)という形の関数で、さらにz^がzg(x)^のようにx^{の関数として}

表わされるものを言います。一まとめにして書くと、y f g x( ( ))の形になっている関数で す。例えば、以下のように見ると、y(x²x1)^5やye^{x2等が汎関数です。}

5

2 1)

(  

 x x

y ^{については、y}^z5，zx²x1

x2

e

y ^{については、}ye^z，zx²

このような関数について微分を考えてみましょう。dy dx^はx^{の微小な変動に対する}y の変動の極限を表わしていますから、間にzg(x)についての微小な変動を加えることも 可能です。即ち、

) ( ) (

)) ( ( )) ( ( ) ( ) lim (

)) ( ( )) ( lim (

0 0

x g h x g

x g f h x g f h

x g h x g

h

x g f h x g f dx

dy

h h







 



 



 





ここで、g(x)z, g(xh)zh^{とおくと、}h0でもちろんh0となります。

dz dy dx dz

h z f h z f h

x g h x g

h h







 

 



 



) ( ) ( ) ( ) lim (

0 ,

これによって以下の公式が導かれます。

公式

y f g x( ( )) → y f z( )，zg x( )^{とおいて、}

dz dy dx dz dx

dy   (5.9)

この方法を上の例に適用してみましょう。

1) y(x²x1)^{5 →} 5(2x1)(x²x1)⁴ dx

dy

2) ye^{x2 →} 2xe^x2 dx

dy 

1) では、yz⁵，zx²x1として、以下のようになります。

4 2

4 5(2 1)( 1)

5 ) 1 2

(      



 x z x x x

dz dy dx dz dx dy

 z 

として、以下のように求まります。

2 2

2x e^z xe^x dz

dy dx dz dx

dy    

さて、最後に今までやり残してある2つの関数の微分について見てみましょう。

x

ylog_e ^について

この場合、対数の定義に従った関係xe^yを利用します。xe^yの両辺をx^{で微分して}

みましょう。yの関数のxについての微分には、え汎関数微分の方法を応用します。

左辺 x1 dx

d

右辺 x

dx e dy dx e dy dy

d dx e dy dx

d _y  _y  _y 

これらを比較して以下の公式が示されました。

1 dx

xdy 即ち、

x dx dy 1



xa

y ^（aが整数でない場合）について

べき乗の中で次数が整数でない場合の微分を考えて見ましょう。これはまず、両辺の対数 を取ります。

x a

y _e

e log

log 

次にこの両辺をx^{で微分します。}

左辺 dx y

y dy dy

d dx y dy dx

d

e e

log 1

log  

右辺

x x a dxa

d

e 

log

両辺が等しいとして、以下のべき乗の公式を得ます。

1





 x^a ax^a x

y a x a dx dy

最後に、ネーピアの数e^{から離れて、一般的な}ya^xやylog_ax^{の微分について触れて}

おきます。

ax

y ^{については、}ae^logeaの性質を利用します。

x x e ea

a

y  ^{log  より、} e ^x

x a

ea e a a

dx

dy _e







log ^{log } log

これはまた、両辺の対数をとってlog_e yxlog_ea^{とし、これを}xで微分しても簡単です。

自分で試して見て下さい。

x

ylog_a については、底の変換の公式

a x x

e e

a log

log log を用います。

a x x

y

e e

a log

log log

 より、

x a dx

dy

e

1 log

1 



問題

以下の関数の微分を求めよ。

1) y(2x1)⁵ 2) y(sinxcosx)³

3) ye^{sinx 4)} ye^ex

5) ysin(3x4) 6) ytan(xsinx)

7) ylog_e(x²x1) 8) ylog_e(e^x1) 解答

1) y25(2x1)⁴10(2x1)⁴

2) y(cosxsinx)3(sinxcosx)²3(cosxsinx)(sinxcosx)²

3) ycosxe^sinx 4)

ex

xe e y

5) y3cos(3x4) 6)

) sin ( cos

cos 1

2 x x

y x



 



7) 1

1 2

2 

 

 x x

y x 8)

1

 _x ^x e y e

5.7 一般的な関数の微分

これで関数の組合せについて、ほぼ完全な微分の方法が確立できました。この節ではさら に複雑な関数の組合わせについて、微分が計算できるよう練習します。微分は基本的なルー ルが分かれば単純な作業ですので、すべて暗算で計算できます。誰でも必ずできますので、

訓練して下さい。

これまでの公式と重複しますが、微分の計算をする際の最低限の暗記事項を以下にまとめ ておきます。

微分公式

1. yxⁿ → y nx^n1

2. ye^x → y e^x

3. ylog_ex ^→ y 

x 1

4. ysinx → y cosx

5. ycosx → y  sinx

6. ytanx ^→ y  x 1 cos2

7. yaf x( ) ^→ y af( )x

8. y f x( )g x( ) ^→ y  f ( )x  g x( )

9. y f x g x( ) ( ) ^→ y  f ( ) ( )x g x  f x g x( ) ( )

10. y f x g x( ) ( ) →      y f x g x f x g x

g x

( ) ( ) ( ) ( )

2( )

11. ^{y f g x}



^{( )}



^{→ zg x( )として、y  dz}

dx df z

dz ( )

さて、これまでの微分の要素を複合した問題を考えてみましょう。以下に例を示しますの で検討して下さい。

例

y(2x1) (⁴ 3x4)⁵

f x( )(2x4)⁴ f( )x  2 4 2( x1)³8 2( x1)³ g x( )(3x4)⁵ g x( ) 3 5 3( x4)⁴15 3( x4)⁴

    

     

y f x g x f x g x

x x x x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

8 2 1³ 3 4 ⁵ 15 2 1 ⁴ 3 4 ⁴

y e x

x x

 x

  sin

2 1

f x( )e^xsinx f( )x e^xsinxe^xcosxe^x(sinxcos )x g x( )x² x 1 g x( )2x1

    

      

  y f x g x f x g x

g x

e x x x x e x x

x x

x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(sin cos )( ) sin ( )

( )

2

2

2 2

1 2 1

1

y x

 x sin 

2 1

z x

 x



2 1 ^ysinz dz

dx

f x g x f x g x g x

x x

x x

       

 

 ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

2 2 2

2 1 2

2 1

1

2 1

dy

dz z x

  x cos cos 

2 1

  

 

y dz dx

dy

dz x

x x 1

2 1 ² 2 1

( ) cos

問題 以下の関数の微分を求めよ。

1) 3 2

x y xe

x

2)

) 1 (

cos

 _x e x y x

3) yxsin(2x1) 4) y(x² 1)e^2x

5) 1

) 2 3 sin(



 _x  e

y x 6)

3 4

) 1 ( log ²



  x y ^e x

7) ^{( 1) /2}

 2

e^x

y 8)

xex

e y

解答

1) ₂

2

2 (3 2)

) 2 2 3 ( )

2 3 (

3 )

2 3 )(

(





 









 

 x

x x e x

xe x

xe y e

x x

x x

2)

 

2

2( 1)

) 1 ( cos ) 1 ( sin















 

 x

x x

x

e x

xe e

x e

x y x

3) ysin(2x1)x2cos(2x1)

4) y2xe^2x(x²1)2e^2x2(x²x1)e^2x

5) ₂

) 1 (

) 2 3 sin(

) 1 ( ) 2 3 cos(

3













 

 x

x x

e

e x e

y x

6) ₂

2 2

) 3 4 (

4 ) 1 ( log ) 3 4 1( 2









 



x

x x x

x y

e

7) ^{( 1) /2}

) 2

1

(  ^

 x e^x y

8)

x

x x xe

xe x

x xe e e x e

e

y(  )  (1 )