第六章多元函数微分学

(1)

第六章多元函数微分学

§6.1 多元函数的概念、极限与连续性

(甲) 内容要点一、多元函数的概念

1．二元函数的定义及其几何意义

设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z 是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），D称为定义域。

二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xy

平面上的投影域就是定义域D。

例如 z 1x²y², D: x² y² 1 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n元函数





 f(x,y,z), (x,y,z)

u 空间一个点集，称为三元函数

。 n

x x

x f

u  ( ₁, ₂,, _n)称为元函数

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限

设 f(x,y)在点(x₀,y₀)的邻域内有定义，如果对任意 ^ ^⁰，存在^ ^⁰^,只要



  







x y y f x y A

x ) ( ) , ( , )

( ₀ ² ₀ ² 就有

则记以

f x y A f x y A

y x y y x

y^x ^x





^

) , ( lim )

, (

lim

⁰ ( , ) (₀ ₀)

0

或

称当(x,y)趋于(x₀,y₀)时，f(x,y)的极限存在，极限值为A。否则，称为极限不存在。

值得注意：这里(x,y)趋于(x₀,y₀)是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线

趋于(x₀,y₀)，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三、二元函数的连续性 1．二元函数连续的概念

若

lim ( , ) (

₀

,

₀

) 则称 ( , ) 在点 (

₀

,

₀

) 处连续

0 0

y x y

x f y

x f y x

x

f

x

y y







若 f(x,y)在区域D内每一点皆连续，则称 f(x,y)_在D内连续。

(2)

2．闭区域上连续函数的性质

定理1 （有界性定理）设 f(x,y)_在闭区域D上连续，则 f(x,y)_在D上一定有界定理2 （最大值最小值定理）设 f(x,y)_在闭区域D上连续，则 f(x,y)_在D上一定有最大值和最小值_{( , )}

max ( , ) ( ), min

_{( , )}

( , ) ( )

x y D

f x y M f x y m





最大值最小值



定理3 （介值定理）设 f(x,y)_在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若 ,

M c

m  则存在(x₀,y₀)D,使得 f(x₀,y₀)C

（乙）典型例题

一、求二元函数的定义域

例1 求函数 x xy

z 

arcsin3 的定义域

解：要求

1 3 3 ; 3 x    x 

即

又要求

xy  0 即 x  0 , y  0 或 x  0 , y  0

^{综合}

上述要求得定义域







 0

0 3

y

x 或









 0

3 0

y x

例2 求函数z 4x² y² ln(y²2x1)的定义域

解：要求

4  x ²  y ²  0 和 y ²  2 x  1  0

即

2 2 2

2

2 1 2

x y

y x

  

  



函数定义域D在圆x²y² 2²的内部（包括边界）和抛物线 y²12x的左侧（不包括抛物线上的点）

二、有关二元复合函数

例1 设 f(xy,xy)x²yy²,求f(x,y)

解：设

x  y  u , x  y  v

^解出^x^ ₂¹⁽^u^^v^),^y^ ₂¹⁽^u^^v⁾

代入所给函数化简 ² ( )²

4 ) 1 ( ) 8(

) 1 ,

(u v u v u v u v

f     

故 ² ( )²

4 ) 1 ( ) 8(

) 1 ,

(x y x y x y x y

f     

例2 设 f(xy,xy)x² 3xyy² 5,求f(x,y)

(3)

解：x²3xyy²5(x²2xyy²)xy5

5 )

(  ²  

 x y xy 5

) ,

(  ²  

f x y x y

例3 设^z^ ^y ^ ^f⁽ ^x^¹^),^当^y^¹^时^，^z^^x^,^求函数^f^和^z 解：由条件可知

x   1 f ( x  1),

令则

x   1 u , f u ( )    x 1 ( u  1)

²

  1 u

²

 2 u

1 ,

2 )

( 

²

   

 f x x x z y x

三、有关二元函数的极限

例1 讨论

1 ) ( 0 ) 1

( lim

2

 常数



^

^^

xy a

y x

x

a y^x

解：原式= ⁽ ⁾

2

1 ) 1 (

lim ^xy ^x ^y

x xy a

y^x xy



 



 



 





而

e

xy t xy t

t t

xy

a y^x





 



 



 

^ 



1 )

1 ( 1 lim

1 lim

令

又 a

x y y y

x xy

x

x a y a

y

1 ) 1 ( lim 1 )

lim ( ² 



  ^^



 



1

e

a

 原式 

例2 讨论 ₄ ₂

2

00

lim x y y x

yx^



解：沿^y ^^lx原式 ₄ ₂ ₂

0

3

lim

0

_ ^





x l x

lx

x

沿

4 2

4 2 4 2

, lim

0

1

x

lx l

y lx  

^

x l x  l

 

原式



原式的极限不存在

例3 讨论

2 4

2 2 3

00

lim x y y x

yx^



解：

 x

⁴

 y

²

 2 x

²

y (  ( x

²

 y )

²

 0 )

(4)

2 1 2

2 2 3

2 4

2 2 3

2 1

0 2 y

y x

y x y x

y

x  

 



而

0 ; lim 0 0

2 lim

₀

1

₀

0 2

1 0



_

 

 ^x

x y

y

用夹逼定理可知原式=0

§6.2 偏导数与全微分

（甲）内容要点

一、偏导数与全微分的概念

1．偏导数

二元：设z  f (x,y)

x

y x f y x x y f

x x f

z

x x







 

 







) , ( ) , lim (

) ,

(

0

y

y x f y y x y f

x y f

z

y y







 

 







) , ( ) ,

lim ( ) ,

(

0

三元：设u f(x,y,z)

) , , ( );

, , ( );

, ,

( f x y z

z z u y x y f

z u y x x f

u

z y

x

 



 

 

 

 



2．二元函数的二阶偏导数设 z f(x,y),

) ( ) ,

2

(

2

x z y x

x x f

z

xx



 

 



， ² ( , ) ( )

x z y y

x y f

x z

xy 



 

 



) ( )

, (

2

y z y x

x x f

y z

yx 



 

 



 ， ₂ ( , ) ( )

2

y z y y

x y f

z

yy 



 

 



3．全微分

设 z f(x,y), _增量z f(xx,yy) f(x,y) 若 zAxByo( (x)²(y)²)

当

 x  0  y  0 时

则称 z f(x,y)_{可微，而全微分}dzAxBy 定义：^dx^^^x^, ^dy^^^y

定理：可微情况下，

A  f

_x

 ( x , y ), B  f

_y

 ( x , y )

(5)

dz f_x(x,y)dx f_y(x,y)dy 三元函数 u f(x,y,z)

全微分 du f_x(x,y,z)dx f_y(x,y,z)dy f_z(x,y,z)dz 4．相互关系

( , ) ( , )

x y

f x y f x y



 连续

 df x y ( , )

存在 f x y f x y_{( , )}^x^{( , ),} ^y^{( , )} f x y

  存在

连续

5．方向导数与梯度

二、复合函数微分法——锁链公式

模型I. 设

z  f u v u u x y v v x y ( , ),  ( , ),  ( , )

则

z z u z v

x u x v x

       

    

^；

z z u z v

y u y v y

      

    

^模

型II. 设

u  f x y z z ( , , ),  z x y ( , )

则 x z

u z

f f

x x

     

 

^， ^y ^z

u z

f f

y y

     

 

模型III. 设

u  f x y z y ( , , ),  y x z z x ( ),  ( )

则

du

_x _y

dy

_z

dz

f f f

dx     dx   dx

思考题：设

z  f u v w w w u v u u t v v t t t x y ( , , ),  ( , ),  ( ),  ( ),  ( , )

求

z x



的锁链公式，并画出变量之间关系图.

三、隐函数微分法

设 F(x,y,z)0确定z  z(x,y)

则

; (   0 )



 

 





 

 



z z

y z

x

F

F F y z F F x

z 要求偏导数连续且

四、几何应用（数学一）

u

v y

x z

u y

x z

x y

u

x y z

x

(6)

1．空间曲面上一点处的切平面和法线 2．空间曲线上一点处的切线和法平面

（乙）典型例题

例1 求 y ^z

u(x) 的偏导数

解  ( ) ^¹



 z

y x y z x

u ，

( ) (

¹ ₂

)

₁

z z

z

u x x z x

y z y y y





     



u ( ) ln x

^z

x

z y y

 



例2 设u f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数 y y(x)及zz(x)分别由下列两式确定

dx

dt du t e t

xy e

z x x

xy

^ ^ 和 ^ 

^

求

0

2 sin

解 dx

f dz dx f dy dx f

du

z y

x   



由

  2 , [  ]  (  )  0

dx x dy dx y

x dy y e x

xy

e

^xy

两边对求导得

^xy

解出

  ( ( e

^xy

 1 )) x

y dx

dy 分子和分母消除公因子

由

( 1 )

) (

) , sin(

sin

0

dx

dz z

x z e x

x t dt

e t

^x

z x

x



 

 

^

^两边对 ^求导 ^得

解出 sin( ) ) 1 (

z x

z x e dx

dz ^x



 



所以 z

f z x

z x e y

f x y x f dx

du ^x





 

 

 



 ]

) sin(

) 1 (

[

例3 设y  y(x),z z(x)是由z xf(xy)和F(x,y,z)0所确定的函数，其中f具有一阶连续导数，F具有一阶连续偏导数求

dx dz

解分别在两方程两边对x求导得

[1 ]

x y z

0

y z x

dz dy dy dz

f x f xf f xf

dx dx dx dx

dy dz dy dz

F F F F F F

dx dx dx dx

           

 

 

              

 

 

化简

(7)

解出

( )

_y _x

y z

f xf F xf F dz

dx F xf F

   

 

    

例4 设 u f(x,y,z)有连续偏导数，z z(x,y)由方程 du

ze ye

xe^x ^y  ^z所确定求

解一：令

y

y x x

z y

x ye ze F x e F y e

xe z y x

F ( , , )    得  (  )1 ,   (  )1

^,

则用隐函数求导公式得

z

z e

F    (  1 )

z y z

x z

x

e

z y y e z

z x F F x

z

_ _



 

 





 



 

 



1 ; 1 1 1

_x _z _x _z e^x ^z

z f x x f

f z x f

u _



 

 

 







 



1 1

y z

y z y z

u z y

f f f f e

y y z

           



  

dy z e

f y f dx z e

f x f y dy dx u x

du u

_x _z ^x ^z _y _z ^y ^z

)

1 ( 1

1 )

( 1

^ ^



 

 

 

 

 

 



 



解二：在xe^xye^y ze^z 两边求微分得 dz e z dy

e y dx

e

x) ^x (1 ) ^y (1 ) ^z 1

(     

解出 _z

y x

e z

dy e y dx

e dz x

) 1 (

) 1 ( )

1 (





 

代入 du f_xdx f_ydy f_zdz

 

 









 



_x _y _z ^x _z ^y

e z

dy e y dx

e f x

dy f dx

f ( 1 )

) 1 ( )

1 (

合并化简也得 e dy

z f y f dx z e

f x f

du _x _z ^x ^z _y _z ^y ^z)

1 ( 1

1 )

( 1 ^ ^



 



 

 





例5 设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 ₂

1 ,

2 2

2





 



v f u

f

₂

2 2 2 2

2 ) ,

2( ,1 )

,

( y

g x

y g x xy f y x

g 





 

 

 

 求

解： ( )

2

, v 1 x² y² xy

u  

u x f

v y

( ) ( ) f u f v



(8)

v y f u x f y g v

x f u y f x g



 



 



 



 



 ,

2 2

g f f f f

y x

x x u v x v v

                             

而

2 2

2

f f u f v

x u u x u v x

            

        

^；

2 2

2

f f u f v

x v v u x v x

            

        

^代入上式

故：

2

₂

,

2 2 2 2

v f v x f v u xy f u

y f x

g



 



 



 



 



v f v y f v u xy f u

x f y

g







 



 



 



2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

所以： ²₂ ²₂ ( ² ²) ² ₂ ( ² ²) ²₂ x² y² v

y f u x

y f y x

g x

g  



 

 

 

 





例6 已知 ( , ) 0 z z(x,y) F(u,v),z(x,y) z

y z

F x  确定  其中

均有连续编导数，求证 z y y z x

x z 



 



证： ( , ) ( , )G(x,y,z)0 z

y z F x v u F

) ( ) ( 1 ,

1 ,

2

z

F y z F x z G

F z G

F

G

_x

 

_u

 

_y

 

_v



_z

 

_u

  

_v

 

根据隐函数求导公式

v u

u z

x

F y F x

F z G

G x

z

 



 



 

 



v u

v z

y

F y F x

F z G

G y

z

 



 



 

 



则得 z

y y z x

x z 



 



例7 设 z

u x v x u vz

u y

z v u x















 , , ,

2

求

解：对的两边求全微分，得 vz

u y

z v u

x ,

2





























vdz zdv du dy

dz dv udu

dx 2















 

vdz dy zdv du

dz dx dv udu 2

1 , 2

) 2 1 ( 2

1 , 2

) (





 







 



uz

dz uv dx

dv udy

uz

dy dz v z du zdx

(9)

, 1 ,

2 1 2 1 2 1

u z v u z v

x uz x uz z uz

   

    

     

§6.3 多元函数的极值和最值

（甲）内容要点

一、求z  f(x,y)的极值

第一步

( , ) ( ,1 ,2 , ) 0

) , (

0 ) ,

( x y k l

y x f

k k y

x

 

 



 

求求求求

第二步

令 

k

 f

xx

 ⁽ x

k

^, y

k

⁾ f

yy

 ⁽ x

k

^, y

k

⁾   f

xy

 ⁽ x

k

^, y

k

⁾ 

²

0 ( , )

0 0 ( , )

k k k

k

k k k

f x y

 

 

  若则不是极值

若则不能确定（有时需从极值定义出发讨论）

若则是极值

进一步

为极大值则

若

为极小值则

若

) ,

( 0

) ,

(

) ,

( 0

) ,

(

k k k

k xx

k k k

k xx

y x f y

x f

y x f y

x f

 

 

二、求多元（n2）函数条件极值的拉格朗日乘子法求 u  f(x₁,,x_n)的极值

约束条件 ( )

0 ) , , (

1 m

1 1

n m x

x x x

n n

 

















 





 







 



 





 



0 ) , , (

0 ) , , ( 0 0

) , ( )

, , ( ) , , , , , (

1 1 1

1 1

1

1 1

n m

n x

x

n i

m

i i n

m n

x x F

F F

x x x

x f x

x F F

m n















求

求出

( x

₁^k

,  , x

_n^k

) ( k  ,1 ,2  , l )

是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。

(10)

三、多元函数的最值问题

（乙）典型例题一、普通极值

例1 求函数z x⁴  y⁴x² 2xy y²的极值

解 y x y

y y z

x x x

z 4 ³ 2 2 , 4 ³2 2



 



 



要求

0 , 2

³

2

³

y

z x

z  x  y  x  y



 



 得

故知

x  y ,

_{由此解得三个驻点}

























1 1 ,

0 0

y x y

x y

x

又 12 2, 2, ₂ 12 ² 2

2 2 2

2

2  



 

 



 

 

 y

y z y

x x z

x z

在点（1，1）处

是极小值点又 10 0, (1,1)

0 96

10 ,

2 ,

10

2

) 1 , 1 2 ( 2 )

1 , 1 ( 2 )

1 , 1 2 ( 2

















 





 



 

 

 

A B AC

y C z y

x B z x

A z

极小值Z (1,1) ² 在点（-1，-1）处

也是极小值点 )

1 , 1 ( ,

0 10

0 96

10 ,

2 ,

10

2

) 1 , 1 2 ( 2 )

1 , 1 ( 2 )

1 , 1 2 ( 2



















 

 



 



 

 

  _ _ _ _ _ _

A

B AC

y C z y

x B z x

A z

极小值Z (_1,_1)² 在点（0，0）处

不能判定 0

2 ,

2

2 2 2

2 2

) 0 , 0 ( )

0 , 0 ( )

0 , 0 (











 

 



 



 



 

 

B AC

y C z y

x B z x

A z

这时取

x   , y    （其中  为充分小的正数）则 z  2 

⁴

 0

而取x y时 z2⁴4² 0 由此可见（0,0）不是极值点

例2 设z z(x,y)是由x² 6xy10y² 2yzz² 180确定的函数，求zz(x,y) 的极值点和极值。

解因为 x² 6xy10y² 2yzz² 180 每一项对x求导，z看作x，y的函数，得

, 0 2

2 6

2 



 



 

 x

z z x y z y

x （1）

(11)

每一项对y求导，z看作x，y的函数，得 . 0 2

2 2 20

6 



 



 





 y

z z y y z z y

x （2）

令

  













 



 



 



 



, 0 10

3 , 0 3 ,

0 , 0

z y x

y x y

z x z

得故







 .

, 3

y z

y x

将上式代入x² 6xy10y² 2yzz²180，可得



























. 3

, 3

, 9 .

3 , 3

, 9

z y x z

y x

或

把（1）的每一项再对x求导，z和 x z



 看作x,y的函数，得

, 0 2

) ( 2 2

2

₂

2 2

2





 



 



 

x z z x

z x

y z

把（1）的每一项再对y求导，z和 x z



, 0 2

2 2

2

6 ² ² 



 







 



 



 

 x y

z z x z y z y

x y z x z

把（2）的每一项再对y求导，z和 y z



, 0 2

) ( 2 2

2 2

20 ²₂ ² ²₂ 



 



 



 



 



 

y z z y

z y

y z y z y

z

所以 ¹₆^, ₂¹^, ₃⁵^,

) 3 , 3 , 9 ( )

3 , 3 , 9 ( )

3 , 3 , 9 (

2 2 2

2

2 



 



 



 

 

 

y C z y

x B z x

A z

故

又 ,0 从而点 ( ,9 )3 是 ( , ) 的极小值点 6

,0 1 36

2

1 A z x y

B

AC     

^{，极小}

值为z(9,3)3. 类似地，由

3, , 5

2 , 1

6 1

) 3 , 3 , 9 2 ( 2 )

3 , 3 , 9 ( 2 )

3 , 3 , 9 2 ( 2



 

 



 



 



 

  _ _ _ _ _ _ _ _ _

y C z y

x B z x

A z

可知

又 ,0 所以点 ( ,9 )3 是 ( , ) 的极大值点 6

,0 1 36

2

1 A z x y

B

AC        

极大值为z(9,3)3. 二、条件极值问题

(12)

例1 在椭球面

1 2 3

5

²

2 2 2 2

2

 y  z 

x

第一卦限上P点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面

体的体积最小，求P点坐标。

解：设P点坐标(x,y,z)，则椭球面在P点的切平面的法向量为

)

2 , 2 3 , 2 5

( 2

₂

x

₂

y

₂

z

切平面： ( ) 0

2 ) 1 9 (

) 2 25 (

2 x X x  y Y y  z Z z 

0 2 ) 3 ( 5 2 2

1 9 2 25

2

2 2 2 2 2

2

  





 x y z

zZ yY xX

0 2 2

1 9

2 25

2 xX  yY  zZ  

X x Z

Y

x 25

)0 ,0

(   

轴截距

Y y X

Z

y 9

)0 ,0

(   

轴截距

( 0, 0) 4

z X Y Z

   z

轴截距

所以四面体的体积V 25x 9y 4z 150xyz 6

1   



约束条件

x y z x y z 用拉格朗日乘子法，令 )

0 , 0 , 0 ( 0 2 1

3

5

²

2 2 2 2

2

      

) 2 1 3 (5 ) 150

, , ,

( ₂

2 2

2   





 x y z

z xyz y x F

F

 

) 1 ( 25 0

2 150

2  



 x

yz

F_x x 

) 2 ( 9 0

2 150

2  



 y

z

F_y xy 

) 3 ( 4 0

2 150

2 



 z

F_z xyz 

) 4 ( 0

2 1 3

5

²

2 2 2 2

2

   

  x y z F

_

用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3）得45020 xyz

(13)

则 2 450 (5)

 xyz



将（5）分别代入（1），（2），（3）得

3 , 2

3 , 3

3

5  

 y z

x

所以 P点坐标为（

3 , 2 3 , 3 3

5 ）而最小体积V 15 3

例2 求坐标原点到曲线C：















1 2

2 1

2 2

z y x

z y

x 的最短距离。

解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d，令W d² x²y²z²,约束条件

x

²

 y

²

 z

²

 1  ,0 2 x  y  z  1  0

^{用拉格朗日乘子法，令}

) 1 2

( ) 1 (

) (

) , , , ,

(  ²  ² ²  ²  ² ²    

F x y z x y z x y z x y z

F    

) 5 ( 0

1 2

) 4 ( 0 1

) 3 ( 0

2 2

) 2 ( 0

2 2

) 1 ( 0

2 2 2















 





 







 





 

z y x F

z z F

y y F

x x F

z y x

















首先，由（ 1 ），（ 2 ）可见，如果取得

再由可知

，由

则 0 (3) 0, (4),(5) ,

1  



  z



0 1 2

,0

2

1

2

 y   x  y   x

解得





 





 







5 3 5 4 1

0 y x y

x

这样得到两个驻点

, 0 )

3 ( 1 )

0 5 , , 3 5 ( 4 ), 0 , 1 , 0

(

₂

1

 P 其次，如果取   ，由得  

P

^{再由（}¹^{）（}²^{）得}

, 1 4

0 ,

0   ² 

 y z

x 这样（）成为是矛盾的，所以这种情形设有驻点。

最后，讨论

  ,1    1

^{情形，由（}¹^）（²^），（³^）可得

0 8 9 3 )

5 ( ), 4 ) (

1(

, 2 ) 1(

, 2 1

2

  

 

 

 

   











 y z 代入消去得

x

^此

方程无解，所以这种情形也没有驻点。

综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。

(14)

另外，由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。

例3 已知函数z f(x,y)的全微分dz2xdx2ydy,并且f(1,1) 2.求f(x,y)在椭

圆域^D ^x ^y ^x ^y ^{上的最大值和最小值}^。







  

 1

) 4 ,

( ² ²

解法1 由dz2xdx2ydy可知 , )

,

(x y x² y² C f

z   

再由 f(1,1)2,得C2,故

2 )

,

(  ² ²

 f x y x y z

令

2 0 ,   2  0 , 解得驻点 ( 0 , 0 ).



 

 

 y

y x f

x f

在椭圆 1上 (4 4 ) 2,即 4

2 2 2

2 y  ，zx   x 

x

), 1 1 ( 2

5 ²   

 x x

z

其最大值为^z ^x^^¹^³^，^最小值为^z^ ^x^⁰^^²^,

再与f(0,0)2_{比较，可知} f(x,y)_在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2。

解法2 同解法1，得驻点(0,0).

用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆 1 4

2  y2 

x 上的极值。

设 1),

( 4

2 ² ²

2

2    

 y

x y

x

L 

 



















 







 









0 4 1

, 2 0 2

, 0 2 2

2

y

x L

y y L

x x L

y x



 

令

解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).

又f (0,2)=-2, f (0,-2)=-2, f (1,0)=3, f (-1,0)=3,再与f (0,0)=2比较，得 f(x,y)_在D上的最大值为3，最小值为-2。

第六章 多元函数微分学