§5 接ベクトル空間，写像の微分

2017೥౓ɾزԿֶং࿦ԋٛ 2017೥5݄19೔

§5 接ベクトル空間，写像の微分

接ベクトル空間に関する基本事項

41. ʢʰଟ༷ମͷجૅʱ໰୊8.3ɽ͢΂ͯͷ઀ϕΫτϧ͸଎౓ϕΫτϧͱͯ͠ද͞ΕΔʣ MΛC^r ڃଟ༷ମͱ͠ɼp ∈ M ͱ͢Δɽ઀ϕΫτϧۭؒTp(M)ͷ೚ҙͷϕΫτϧvʹ ର͠ɼ͋ΔC^r ڃۂઢ(−ε,ε) →M͕ଘࡏͯ͠ɼc(0) = p, dc

dt

!!!!_t=0 =vͱͳΔ͜ͱΛূ໌ͤ

Αɽʦώϯτɿ89_ʙ90ϖʔδͷઆ໌ΛҰൠԽ͢Δɽʧ 42. _{ʢʰଟ༷ମͷجૅʱ}86_{ϖʔδͷ஫ҙʣ}

MΛC^∞ڃଟ༷ମͱ͠ɼp ∈ Mͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼ઀ϕΫτϧۭؒT_p(M)^͸఺ pʹ͓

͚Δํ޲ඍ෼શମͷू߹D^∞_p (M)ʹҰக͢Δ͜ͱΛূ໌ͤΑɽ

球面

S

^m の接ベクトル空間

43. m࣍ݩٿ໘S^m ⊂R^m+1_{ʹ͓͍ͯɼ໰୊}15ʹग़͖ͯͨɼཱମࣹӨʹΑΔC^∞ڃ࠲ඪۙ๣

ܥ { (U,φ),(V,ψ) }^Λߟ͑Δɽ(U,φ)^ʹΑͬͯU = S^m\ {p₊₁}^{ʹہॴ࠲ඪܥ}(y₁, . . . ,y_m) ΛೖΕ^*ɼ(V,ψ)^ʹΑͬͯV =S^m\ {p₋1}^{ʹہॴ࠲ඪܥ}(y˜1, . . . ,y˜_m)^ΛೖΕΔɽ

U∩V ͢ͳΘͪS^m\ {p+1,p₋1}ͷ఺pΛͱΔɽ఺pʹ͓͚Δ઀ϕΫτϧۭؒTp(S^m)Λ ߟ͑Δͱɼ

"# ∂

∂y₁

$

p

,

# ∂

∂y₂

$

p

, . . . ,

# ∂

∂y_m

$

p

%

͓Αͼ "# ∂

∂y˜₁

$

p

,

# ∂

∂y˜₂

$

p

, . . . ,

# ∂

∂y˜_m

$

p

%

͸͍ͣΕ΋T_p(S^m)^{ͷجఈͰ͋Δɽ}

# ∂

∂y_i

$

p Λ # ∂

∂y˜₁

$

p, # ∂

∂y˜₂

$

p,. . ., # ∂

∂y˜_m

$

p ͷҰ࣍݁߹ͱ

ͯ͠දͤɽͨͩ͠܎਺͸ pʹ͓͚Δ y˜1, y˜2,. . .,y˜_mͷ஋ʢͦΕΒΛ୯ʹ y˜1,y˜2,. . .,y˜_mͱॻ

͍ͯ͠·ͬͯΑ͍ʣΛ༻͍ͨදࣔʹ͢Δ͜ͱɽ 44. ʢʰଟ༷ମͷجૅʱ໰୊8.2_ʣ

2_࣍ݩٿ໘S²={x ∈R³ | ∥x∥=1}Λߟ͑ΔɽS²্ͷۂઢc:R→S²Λ

c(t)=

# 1

√2cost, 1

√2sint, 1

√2

$

∈R³

ʹΑͬͯఆٛ͢ΔɽཱମࣹӨʹΑΔS² _ͷC^∞ _{ڃ࠲ඪۙ๣ܥ} { (U,φ),(V,ψ) } Λ༻͍Δɽ (U,φ)^ʹΑͬͯɼU = S²\ { (0,0,1) }^{ʹہॴ࠲ඪܥ}(y₁,y₂)^{ΛೖΕΔɽۂઢ}c͸఺(0,0,1) Λ௨Βͳ͍͔Βɼcͷ૾c(R)^͸Uʹ෦෼ू߹ͱؚͯ͠·Ε͍ͯΔ͜ͱʹ஫ҙ͠Α͏ɽ

(1) c(t)^Λ(y₁,y₂)Λ༻͍ͯ࠲ඪදࣔͤΑɽ (2) dc

dt ^{ΛɼҰൠతͳ}tͷ஋ʹରͯ͠ɼ

# ∂

∂y1

$

c(t)

,#

∂

∂y2

$

c(t)

ͷҰ࣍݁߹ͱͯ͠දͤɽ

*ͭ·Γɼφͷୈ1_{੒෼ɼʜʜɼୈ}m੒෼Λ༩͑ΔU্ͷؔ਺ΛͦΕͧΕy1,. . .,ymͱॻ͘ɽ

45. ʢMercatorਤ๏ʣ

2࣍ݩٿ໘S²={x ∈R³ | ∥x∥=1}^{ͷཱମࣹӨʹΑΔ}C^∞ڃ࠲ඪۙ๣ܥ{ (U,φ),(V,ψ) } Λߟ͑Δɽ͞ΒʹɼW ={x ∈S² | x₁> 0}^ͱ͓͍ͯɼχ:W →(−π/2,π/2)×R_Λ

χ(x₁,x₂,x₃)=

#

tan⁻¹ x₂

x1,tanh⁻¹x₃$

Ͱఆٛ͢Δɽͨͩ͜͜͠Ͱɼtan⁻¹ ͸ tan: (−π/2,π/2) → R_{ͷٯؔ਺ɽ·ͨ} tanh⁻¹ ͸ ɹϋΠύϘϦοΫɾλϯδΣϯτ

૒ ۂ ਖ਼ ઀ ؔ ਺ɹtanh: R→(−1,1),tanh(s)=(e^s−e^−s)/(e^s+e^−s)^{ͷٯؔ਺Ͱ͋Δɽ}

(1) (W,χ)^͸S²ͷC^∞ڃ࠲ඪۙ๣Ͱ͋Δʢʰଟ༷ମͷجૅʱ54ϖʔδʹड़΂ΒΕ͍ͯΔ ҙຯͰʣɽݴ͍׵͑Δͱɼ{ (U,φ),(V,ψ),(W,χ) }΋S²ͷC^∞ڃ࠲ඪۙ๣ܥʹͳ͍ͬͯ

Δɽͦͷ͜ͱΛ͔֬ΊΑʢʮݴ͍׵͑ʯͷਖ਼౰ੑ͸͔֬Ίͳͯ͘΋Α͍ʣɽ

(2) (U,φ)ʹΑͬͯU = S²\ { (0,0,1) }ʹہॴ࠲ඪܥ(y1,y2)ΛೖΕɼ(W,χ)ʹΑͬͯ

W _{ʹہॴ࠲ඪܥ}(z₁,z₂)ΛೖΕΔɽU∩W (=W)_ͷ఺ p_ΛͱΔɽ఺p_ʹ͓͚ΔS²_ͷ

઀ϕΫτϧ # ∂

∂z₁

$

p, # ∂

∂z₂

$

p Λ # ∂

∂y₁

$

p, # ∂

∂y₂

$

p ͷҰ࣍݁߹ͱͯ͠දͤɽͨͩ͠܎਺

͸pʹ͓͚Δy1,y2ͷ஋Λ༻͍ͨදࣔʹ͢Δ͜ͱɽ

ͳ͓ɼ࠲ඪۙ๣ܥͷ͜ͱΛアトラスʢatlasɼ஍ਤாʣɼ࠲ඪۙ๣ͷ͜ͱΛチャートʢchartɼ஍

ਤŠŠւਤͱݴ͏΂͖͔΋͠Εͳ͍ʣͱݺͿ͜ͱ΋͋Δɽ

写像の微分

46. ʢʰଟ༷ମͷجૅʱ໰୊9.1_ʣ

f:C→C_Λɼf(z)=z(z+1)Ͱఆٛ͞ΕΔࣸ૾ͱ͢Δɽ (1) z =x+√

−1y_ʹΑͬͯC_ʹ࠲ඪ(x,y)ΛೖΕɼf _{Λ࠲ඪදࣔͤΑɽ} (2) Ұൠͷ఺zʹ͓͍ͯɼfͷJacobiߦྻ(Jf)zΛٻΊΑɽT_z(C)^ͷجఈ

&# ∂

∂x

$

z

,

# ∂

∂y

$

z

'

Λ༻͍Δ͜ͱɽ

(3) ඍ෼(df)z:T_z(C)→T_f(z)(C)^{͕ಉܕͰͳ͍}zΛ͢΂ͯٻΊΑɽ 47. લ໰ͷ f:C→Cʹ͍ͭͯҾ͖ଓ͖ߟ࡯͢Δɽ

Riemann_ٿ໘Cˆ Λߟ͑Δɽ͢ͳΘͪɼʰଟ༷ମͷجૅʱ49_ϖʔδͷྫ5_ʹ͋ΔΑ͏ʹ^*_ɼ

Cˆ _ͱ͸S²Ͱ͋ͬͯɼU =S²\ { (0,0,1) }͕C_zͱɼV =S²\ { (0,0,−1) }͕C_{wͱಉҰࢹ͞}

Ε͍ͯΔʢC_z,C_w͸͍ͣΕ΋Cͦͷ΋ͷ͕ͩɼ۠ผͷͨΊʹҧ͏ه߸Λ༻͍͍ͯΔʣɽU

্ʹͳ͍Cˆ _{ͷ།Ұͷ఺Λ}∞ͱॻ͘ɽ

(1) f ΛC_z͔ΒC_z΁ͷࣸ૾ͱݟͳ͢ɽͦͷͱ͖ɼf͸࿈ଓࣸ૾ f˜: ˆC→Cˆ _{ʹ֦ுͰ͖ɼ} f˜(∞)=∞ͱͳΔ͜ͱΛূ໌ͤΑɽ͞Βʹɼf˜͕C^∞ڃࣸ૾Ͱ͋Δ͜ͱΛূ໌ͤΑɽ (2) ඍ෼(df˜)∞:T_∞(Cˆ)→T_∞(Cˆ)͸ಉܕͩΖ͏͔ɽ൑ఆͤΑɽ

*71_ϖʔδͷྫ7_{ɼ͓ΑͼԋٛϓϦϯτ}§3_ͷʮRiemannٿ໘ɼෳૉղੳͱͷؔ࿈ʯͷ߲΋ࢀরͷ͜ͱɽ