第二章 导数与微分导学（2013年5月9日星期四）

2.1 导数及微分

2.1.9 高阶导数 2.1.10 隐函数的求导法则 一、相关知识

1.设变速直线运动的位置函数为

s t ( )

，如何由

s t ( )

求出

t

时刻加速度a(t)_？

2.设yx



x1



x2







xn



, 求y^n1。

3.求由方程

arctan y ln

^{2 2}

x y

x  

确定

y  y x ( )

_的微分。

二、相关问题

1.高阶导数如何定义？如何表示？

2.如何求隐函数的导数？

三、练习题

1.设

f x ( )

为 单 调 且 二 阶 可 导 函 数 ， 其 反 函 数 为

x g y  ( )

_{， 且 已 知}

f (1) 2, 

(1) 1 ,

f    3 f  (1) 1 

_，求

g  ( 2 )

_．

解

1

( ) ( ) dx g y

dy    f x



^，

2

2 2 3

1

1 ( ) ( ) ( )

( )

( ) [ ( )] [ ( )]

d x d d f x f x dx f x

dy dy f x dy f x dy f x

 

  

   

  

所以

g (2)  ( )

_{3 1}

(1)

₃

[ ( )]

^x

[ (1)] 3 3

f x f

f x

^

f

  

   

 

2

.

设

^yx2e2x，

求

^y(20)

．

解令 ue^2x， u2e^2x ……

u

⁽ⁿ⁾

 2

ⁿ

e

^2x x2

v

v   2 x

v   2

uⁿ 0 则

v u v

u v

u

y 



 

 







^{(20) (19) (18)}

) 20 (

2 19 20 20

) 95 20 (

2

21 2 2

19 2 20

2 20 2

2 2 20

2 18 2

19 2

2 20









 











x x

e

e xe

x x

e

x

x x

x

3.求由e^yxy0所确定的隐函数y关于x的导数．

解两边对x 求导（注意y是x的函数）

0









y y xy e^y

解之得 _{y x}

e y y dx dy





 

4.求曲线

sin( ) xy  e

^2x

 y

³

 0

在

x  0

处的切线方程和法线方程．

解

sin( ) xy  e

^2x

 y

³

 0

两端求微分得

2 2

cos( )( xy ydx xdy  ) 2  e dx

^x

 3 y dy  0

所以

2 2

2 cos( )

3 cos( )

dy e

x

y xy

dx y x xy

 



由

x  0

，从方程

sin( ) xy  e

^2x

 y

³

 0

可得

y  1

_．所以在

x  0

处的切线的斜率

2

0 2 0

1 1

2 cos( ) 1

3 cos( ) 3

x

x x

y y

dy e y xy

k dx

^

y x xy

^

   



从而所求切线方程为

1 3 1

y  x 

；法线方程为

y    3 x 1

_．

四、思考题

1.求函数的高阶导数有哪些方法？

答 从高阶导数的定义知，求函数的高阶导数应逐阶求下去。但是逐阶求某些函数的高 阶导数可能愈来愈复杂，很难找到

n

阶导数的一般规律。因此求函数的高阶导数常常伴随 着某种方法，使之易于找到

n

阶导数的规律。因为函数的形式不同，所以使用的方法也各 异。

(1) 逐阶整理法

例如：求

f x ( )  e

^x

sin x

的

f

^{( )n}

( ) x

。

 

x e x e x

f^'  ^xsin  ^xcos

 

^.

sin 4 2 cos

sin 



 

 









x e x

x

e^{x x}

 





 

 





 

 

 2 cos 4

sin 4

'' 2

 

x e x

e x

f ^{x x}

 

^.

2 4 sin

2 ² 



 



  





x e^x

...

 

   

^.

sin 4

2 



 



  





n x e x

f ^{n n x}

(2) 化代数和法

例如，求 ₂

1

_{2 2}

( )

f x  a b x



^的

( )ⁿ

( ) f x

。

 





 

 

 

bx a bx a a x b x a

f 1 1

2 1 1

2 2

2 ^{ 1}

 

^abx



^1



^abx



^1



 

^x _a

  

^{a bx}



^b

 

^{a bx}

  

^b



f^'  1  ^2  1  ^2  2

1 =2



¹



²



¹



²^.



 





 





bx a bx a a

b

      

^{3 2}

     

^{3 2}



'' 1 2 1 2

2

1 a bx b a bx b

x a

f     ^     ^ 

=^22!



¹



³



¹



^{3 .}

2



 





 





bx a bx a a

b

...

再例如：求

f x ( ) cos  ax cos bx

_的

f

^{( )n}

( ) x

。

       

 

x

 

a b

  

a b



x



a b

  

a b



x



f

x b a x

b a bx

ax x

f



























sin 1 sin

2 1 1

. cos

2 cos cos 1

cos

'

=

   

^.

cos 2 2 cos 2

2 

  

 



  





a b _{a b x}



x b b a

a

...

 

     









_^







  _^

   

 

cos 2 2 cos 2

2



 a b a b x n

n x b b a

x a f

n n

n

(3) 莱布尼兹公式法

先因式分解，然后用莱布尼兹公式。

例如：求

f x ( ) (1   x

²

)

ⁿ的

f

^{( )n}

( ) x

。

由莱布尼兹公式，有 f

 

x 



1x²



ⁿ 



1x

 

ⁿ 1x



ⁿ

其中，

   

^{ }

^{      }

^{ }

 



^{11 n}



^{ k}

^

¹

^{ }

^{1 111}

^

¹

^

^{n1k. ,}

k n k k

n n

x k

n n

n x

x k

n n x



 





































先对函数求一阶导数，变成乘积形式，然后用莱布尼兹公式。

例如：

f x ( ) (arcsin )  x

²求

f

^{( )n}

( ) x

。

 

^.

1 arcsin 1

2 2

'

x x x

f   

或 1x²  f^'

 

x 2arcsinx 对等式两端求导，整理，



1x²



f ^''

 

x xf^'

 

x 2.

再对等式两端求

n

阶导数，有莱布尼兹公式，

  ^{ }

 

^{ }

 

^{ }

^{ }

^{ }

^{   }

^{ }

^{ }

 ¹

^'

  

^{   1}

^{  1}

^{ }

^{  . 2 1}

1 2

2 ''

2

x nf x xf x

xf

x f n n x nxf x

f x x

f x

n n n

n n

n n























于是，有高阶导数的推导公式：



¹x²



f^n2

  

x  ²n¹



xf^n1

 

x n²f^{ n}

 

x ^0.

2.怎样求复合函数的高阶导数？

答设^z^g

 

^x,^y ^f

 

^x 它们都存在高阶导数，求复合函数

^{z  g}  ^f   ^x 

的高阶导数，

用链式法则和乘法法则逐步进行。

dx dy dy dz dx dz  



 



 





 



 

dx dy dy dz dx

d dx dz dx

d dx

z d

2 2

dx dy dx

d dy dz dx dy dy dz dx

d  

 



 

2.

2 2 2

2

dx y d dy dz dx

dy dy

z

d   



 







 















  



 



 



 



  ²₂

2 2 2 2

2 3

3

dx y d dy dz dx

dy dy

z d dx

d dx

z d dx

d dx

z d

= ³

3 2

2 2 2 2 2 2 3 2

3 3

2 dx

y d dy dz dx

y d dx dy dy

z d dx

y d dx dy dy

z d dx

dy dy

z

d    



 





3 3 2

2 2 3 2

3 3

3 dx

y d dy dz dx

y d dx dy dy

z d dx

dy dy

z

d   



 



 

3.如何求由方程F



x,y



0所表示的隐函数y  y

 

x 的导数

dx dy ？

答 求由方程F



x,y



0所表示的隐函数y  y

 

x 的导数 dx

dy 一般有三种方法：

方法(1) 视

y

_为

x

的函数，用复合函数求导法则对方程两边关于

x

求导数，得一含

y 

_的等

式，然后解方程得

y

_；

方法(2) 利用一阶微分形式不变性，视

y

_为

x

的复合函数，对方程两边求微分，得dx， dy 满足的等式，解出dy g



x,y



dx，再写出微商 g



x y



dx

dy  , _{；（后面讲解）}

方法(3) 利用公式

 

 x y 

F y x F dx dy

y x

,

 ,



_，F_y



x,y



0（第6章内容）。

注意: 求x0处的导数 _{x x0} dx dy

 时，不可遗漏由方程F



x,y



0隐含的条件

y

₀

 y   x

₀ .