原始関数

(1)

(2)

原始関数

[定義^] 実数 x _の関数 f(x) に対し F^′(x) = f(x) となる関数 F(x) を f(x) の原始関数とよぶ。

f(x) の原始関数を一般に Z

f(x)dx _と書く。

注意をの原始関数の一つとするとき、定数についてもの原始関数なので

を具体的な関数を用いて表示するときは、

と任意の定数を加えた形で表示する。

このを積分定数と呼ぶ。

例

(3)

原始関数

[注意^] F(x) を f(x) の原始関数の一つとするとき、定数 C _について F(x) + C _も f(x) の原始関数なので

を具体的な関数を用いて表示するときは、

と任意の定数を加えた形で表示する。

このを積分定数と呼ぶ。

例

(4)

原始関数

Z

f(x)dx を具体的な関数を用いて表示するときは、

Z

f(x)dx = F(x) + C と任意の定数を加えた形で表示する。

(_この C _{を積分定数と呼ぶ。}) 例

(5)

原始関数

Z

f(x)dx を具体的な関数を用いて表示するときは、

Z

f(x)dx = F(x) + C と任意の定数を加えた形で表示する。

(_この C _{を積分定数と呼ぶ。})

Z 1

(6)

原始関数を求める手法

(7)

原始関数を求める手法

[基本公式^]

•

Z

x^αdx = x^α⁺¹

α + 1 + C (α 6= −1)

Z 1

xdx = log |x| + C

(8)

原始関数を求める手法

[基本公式^]

•

Z

x^αdx = x^α⁺¹

α + 1 + C (α 6= −1)

Z 1

xdx = log |x| + C

•

Z

e^xdx = e^x + C

(9)

原始関数を求める手法

[基本公式^]

•

Z

x^αdx = x^α⁺¹

α + 1 + C (α 6= −1)

Z 1

xdx = log |x| + C

•

Z

e^xdx = e^x + C

•

Z

sin xdx = − cosx + C

Z

cos xdx = sin x + C

(10)

原始関数を求める手法

[基本公式^]

•

Z

x^αdx = x^α⁺¹

α + 1 + C (α 6= −1)

Z 1

xdx = log |x| + C

•

Z

e^xdx = e^x + C

•

Z

cos xdx = sin x + C

•

Z 1

cos² xdx = tan x + C

Z 1

sin² xdx = − 1

tan x + C

(11)

原始関数を求める手法

[基本公式^]

•

Z

x^αdx = x^α⁺¹

α + 1 + C (α 6= −1)

Z 1

xdx = log |x| + C

•

Z

e^xdx = e^x + C

•

Z

cos xdx = sin x + C

•

Z 1

sin² xdx = − 1

tan x + C

•

Z 1

x² + 1dx = tan⁻¹x + C

(12)

原始関数を求める手法

[基本公式^]

•

Z

x^αdx = x^α⁺¹

α + 1 + C (α 6= −1)

Z 1

xdx = log |x| + C

•

Z

e^xdx = e^x + C

•

Z

cos xdx = sin x + C

•

Z 1

sin² xdx = − 1

tan x + C

•

Z 1

x² + 1dx = tan⁻¹x + C

•

Z 1

√ dx = sin⁻¹x + C

Z

− 1

√ dx = cos⁻¹x + C

(13)

原始関数を求める手法

(14)

原始関数を求める手法

[原始関数の性質^]

•

Z

αf(x)dx = α Z

f(x)dx ( α _は定数 ) 但しはの原始関数

練習問題上の公式を証明せよ。

(15)

原始関数を求める手法

•

Z

αf(x)dx = α Z

f(x)dx ( α _は定数 )

•

Z

{f(x) + g(x)} dx = Z

f(x)dx + Z

g(x)dx 但しはの原始関数

練習問題上の公式を証明せよ。

(16)

原始関数を求める手法

•

Z

αf(x)dx = α Z

•

Z

{f(x) + g(x)} dx = Z

f(x)dx + Z

g(x)dx

•

Z

f(g(x))g^′(x)dx = F(g(x)) + C ( _但し F(y) は f(y) の原始関数 ) 練習問題上の公式を証明せよ。

(17)

原始関数を求める手法

•

Z

αf(x)dx = α Z

•

Z

{f(x) + g(x)} dx = Z

f(x)dx + Z

g(x)dx

•

Z

f(g(x))g^′(x)dx = F(g(x)) + C ( _但し F(y) は f(y) の原始関数 )

[練習問題^] 上の公式を証明せよ。

(18)

原始関数を求める手法

(19)

原始関数を求める手法

• (ax + b)^′ = a _より F(x) を f(x) の原始関数として Z

f(ax + b)dx = 1 a

Z

f(ax + b)(ax + b)^′dx = 1

aF(ax + b)+C Z

(ax + b)^αdx = 1

a · (ax + b)^α⁺¹

α + 1 + C (α 6= −1) _等より

等より

等

(20)

原始関数を求める手法

f(ax + b)dx = 1 a

Z

f(ax + b)(ax + b)^′dx = 1

aF(ax + b)+C Z

(ax + b)^αdx = 1

a · (ax + b)^α⁺¹

α + 1 + C (α 6= −1) _等

• (cos x)^′ =− sin x _より Z

f(cos x) sin xdx =−F(cos x)+C Z

tan xdx = − log | cos x| + C _等より

等

(21)

原始関数を求める手法

f(ax + b)dx = 1 a

Z

f(ax + b)(ax + b)^′dx = 1

aF(ax + b)+C Z

(ax + b)^αdx = 1

a · (ax + b)^α⁺¹

α + 1 + C (α 6= −1) _等

• (cos x)^′ =− sin x _より Z

f(cos x) sin xdx =−F(cos x)+C Z

tan xdx = − log | cos x| + C _等

• x

a + b_′

= 1

a ^より Z

f

x

+b

dx = a Z

f

x

+b x +b

_′

dx = aF

x +b

+C

(22)

原始関数を求める手法

(23)

原始関数を求める手法

[練習問題^] 次の原始関数を求めよ。

(i) Z

sin(ax + b)dx (a 6= 0) (ii)

Z

a^xdx (a > 0) (iii)

Z 1

√a² − x²dx (a > 0) (iv)

Z

f(tan x) 1

cos² xdx (v)

Z 1

dx

(24)

原始関数を求める手法

[解答^] (i) −1

a cos(ax + b) + C 但し

(25)

原始関数を求める手法

[解答^] (i) −1

a cos(ax + b) + C (ii) a^x

log a + C 但し

(26)

原始関数を求める手法

[解答^] (i) −1

log a + C (iii) sin⁻¹ x

a + C 但し

(27)

原始関数を求める手法

[解答^] (i) −1

a + C

(iv) F(tanx) + C _但し F^′(x) = f(x)

(28)

原始関数を求める手法

[解答^] (i) −1

a + C

(iv) F(tanx) + C _但し F^′(x) = f(x) (v) 1

2a log

x − a x + a

+ C (a > 0)

(29)

宿題

問題集

119 _ページ〜121 _ページ (_{例題と演習} A)