三角関数
三角関数
[公式]
α, β を実数とするとき以下が成り立つ。
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β 証明
平面上で角度 の回転を表す行列を と書くと
三角関数
[公式]
α, β を実数とするとき以下が成り立つ。
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
[証明] 平面上で角度 の回転を表す行列を と書くと
三角関数
[公式]
α, β を実数とするとき以下が成り立つ。
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
[証明]
平面上で角度 θ の回転を表す行列を R(θ) と書くと R(θ) =
cos θ − sin θ sin θ cos θ
三角関数
[公式]
α, β を実数とするとき以下が成り立つ。
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
[証明]
平面上で角度 θ の回転を表す行列を R(θ) と書くと R(θ) =
cos θ − sin θ sin θ cos θ
∴
cos(α + β) − sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β)
三角関数
[公式]
α, β を実数とするとき以下が成り立つ。
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
[証明]
平面上で角度 θ の回転を表す行列を R(θ) と書くと R(θ) =
cos θ − sin θ sin θ cos θ
∴
cos(α + β) − sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β)
= R(α + β)
三角関数
[公式]
α, β を実数とするとき以下が成り立つ。
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
[証明]
平面上で角度 θ の回転を表す行列を R(θ) と書くと R(θ) =
cos θ − sin θ sin θ cos θ
∴
cos(α + β) − sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β)
= R(α + β) = R(α)R(β)
三角関数
[公式]
α, β を実数とするとき以下が成り立つ。
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
[証明]
平面上で角度 θ の回転を表す行列を R(θ) と書くと R(θ) =
cos θ − sin θ sin θ cos θ
∴
cos(α + β) − sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β)
= R(α + β) = R(α)R(β)
=
cos α cos β − sin α sin β − sin α cos β − cosα sin β sinα cos β + cos α sin β cos α cos β − sin α sinβ
三角関数
[練習問題] 以下の公式を証明せよ：
(1) tan(α + β) = tan α + tan β 1 − tan α tan β
(2) sin θ cos θ = 1
2 sin 2θ (3) sin2 θ = 1
2(1 − cos 2θ), cos2 θ = 1
2(1 + cos 2θ) (4) cos A + cos B = 2 cos A + B
2 · cos A − B 2 , cosA − cos B = 2 sin A + B
2 · sin B − A 2 (5) sin A + sin B = 2 sin A + B
2 · cos A − B 2 , sin A − sin B = 2 cos A + B
2 · sin A − B 2
部分分数
部分分数
有理式 i.e. B(x)
A(x) = 多項式
多項式 を簡単な式の和に変形する。
部分分数
有理式 i.e. B(x)
A(x) = 多項式
多項式 を簡単な式の和に変形する。
• 割り算をして (B(x) の次数)<(A(x) の次数) の形にする。
分母を因数分解する：
全体を次の形に変形する：
部分分数
有理式 i.e. B(x)
A(x) = 多項式
多項式 を簡単な式の和に変形する。
• 割り算をして (B(x) の次数)<(A(x) の次数) の形にする。
• 分母を因数分解する：
A(x) = (a1x + b1)m1 · · · (akx + bk)mk
× (x − c1)2 + d1n1
· · · (x − cl)2 + dlnl 全体を次の形に変形する：
部分分数
有理式 i.e. B(x)
A(x) = 多項式
多項式 を簡単な式の和に変形する。
• 割り算をして (B(x) の次数)<(A(x) の次数) の形にする。
• 分母を因数分解する：
A(x) = (a1x + b1)m1 · · · (akx + bk)mk
× (x − c1)2 + d1n1
· · · (x − cl)2 + dlnl
• 全体を次の形に変形する：
B(x)
A(x) = C1,1
a1x + b1
+ C1,2
(a1x + b1)2 +· · ·+ C1,m1
(a1x + b1)m1 +· · · + + D1,1x + E1,1
(x − c1) + d1+ D1,2x + E1,2
((x − c1)2 + d1)2+· · ·+ D1,nlx + E1,nl ((x − c1)2 + d1)nl
+ +
部分分数
[例] とおく。
右辺をまとめると
従って であり、
となる。
部分分数
[例]
x2 − 2x − 1 x3 + x2 + x とおく。
右辺をまとめると
従って であり、
となる。
部分分数
[例]
x2 − 2x − 1
x3 + x2 + x = x2 − 2x − 1 x (x + 12)2 + 34 とおく。
右辺をまとめると
従って であり、
となる。
部分分数
[例]
x2 − 2x − 1
x3 + x2 + x = x2 − 2x − 1
x (x + 12)2 + 34 = a
x + bx + c
x2 + x + 1 とおく。
右辺をまとめると
従って であり、
となる。
部分分数
[例]
x2 − 2x − 1
x3 + x2 + x = x2 − 2x − 1
x (x + 12)2 + 34 = a
x + bx + c
x2 + x + 1 とおく。
右辺をまとめると
(a + b)x2 + (a + c)x + a x3 + x2 + x
従って であり、
となる。
部分分数
[例]
x2 − 2x − 1
x3 + x2 + x = x2 − 2x − 1
x (x + 12)2 + 34 = a
x + bx + c
x2 + x + 1 とおく。
右辺をまとめると
(a + b)x2 + (a + c)x + a
x3 + x2 + x = x2 − 2x − 1 x3 + x2 + x
従って であり、
となる。
部分分数
[例]
x2 − 2x − 1
x3 + x2 + x = x2 − 2x − 1
x (x + 12)2 + 34 = a
x + bx + c
x2 + x + 1 とおく。
右辺をまとめると
(a + b)x2 + (a + c)x + a
x3 + x2 + x = x2 − 2x − 1 x3 + x2 + x 従って a = −1, b = 2, c = −1 であり、
となる。
部分分数
[例]
x2 − 2x − 1
x3 + x2 + x = x2 − 2x − 1
x (x + 12)2 + 34 = a
x + bx + c
x2 + x + 1 とおく。
右辺をまとめると
(a + b)x2 + (a + c)x + a
x3 + x2 + x = x2 − 2x − 1 x3 + x2 + x 従って a = −1, b = 2, c = −1 であり、
x2 − 2x − 1
x3 + x2 + x = −1
x + 2x − 1 x2 + x + 1 となる。
部分分数
[練習問題]
x2 + 1
(x + 2)3 を部分分数に分解せよ。
宿題
問題集
19 ページ〜25 ページ
