型 空間の基 と

型 空間の基 と

　

，

　 型 空間の基 と ，

空間

◆ ⇣

義Kⁿの V が

~

v₁,~v₂2V ) ~v₁+µ~v₂ 2V を たすとき，V ^{を 空間と ぶ．}

✓ ⌘

な 空間 {~0} Kⁿ

A m n ^{の に して}

ker(A) :={~v2Kⁿ; A~v=~0} Im(A) :={A~v2K^m; ~v2Kⁿ}

　 型 空間の基 と ，

t ^{と の しこ ついて}

しか

^{い て}いる

.

し、

₍

約

一型 )

斉

次 連立 ^に

とう

m e i n C

程 も

^.

3 部紽

^間

y.

である^ことを示す ^。

=LI_, ^..

.

En ) に v.it

^{_、 tu}、

で

空間

~

p₁, . . . ,~p_m 2Kⁿに して

L(~p₁, . . . ,~p_m) :={x₁~p₁+. . .+x_mp~_m; x₁, . . . , x_`2K} を~p1, . . . ,~pmが する 空間と ぶ．

　 型 空間の基 と ，

(iii)

_In ^nxm

CP)

空間の基

V はKⁿの 空間で，V 6={~0}^{とします．}

~

p1, . . . ,~pmがV ^{の基 であるとは}V ^{が以下の を たすときです．}

~

p₁, . . . ,~p_mは 型 である．

L(~p₁, . . . ,~p_m) =V

　 型 空間の基 と ，

-

攢 側 で

I.me

^か

が

^、 な

寿し で

EV ^に対 ^に

(

_に .. = en

)

で

^←

で

_いい

か

_t.sc

、

な

ker _(P に

は 3

^.

を

満たす ( 恋 )

^e

心

^が

存在

.

空間の基

◆ ⇣

V はKⁿの 空間で，V 6={~0}^{とします．}

~

p₁, . . . ,~p_mはV の基 である，

~

q₁, . . . ,~q_`はV の基 である，

と仮 します．このときm=`^{となります．}

✓ ⌘

は の から できます．

◆ ⇣

~

p₁, . . . ,p~_m2Kⁿ ~q₁, . . . ,~q_`2Kⁿとします．

~q₁, . . . ,~q_{`</sub>2L(~p<sub>1</sub>, . . . ,~p<sub>m</sub>) で~q<sub>1</sub>, . . . ,~q<sub>`}^{が 型 ならば}`m^{となります．}

✓ ⌘

　 型 空間の基 と ，

j

^{ともしかwy}

°

^{" のことを、}

二 〇

空間の基 の

~

q1 =c11p~1+. . .+cm1~pm

~

q₂ =c₁₂p~₁+. . .+c_m2~p_m

~

q_{`</sub> =c<sub>1`}~p1+. . .+c_m`~pm

すなわち

(~q₁ · · · ~q_`) = (~p₁ · · · ~p_m) 0 B@

c₁₁ · · · c_1`

cm1 · · · c_m`

1 CA

となります．m <`<sup>ならばで</sup>~q<sub>1</sub>, . . . ,~q<sub>`</sub>^{は 型 となってしまうことが} の から います．

　 型 空間の基 と ，

i.

空間の基

◆ ⇣

m n ^の A^{に して，}m < n^{ならば，ある}~v 2K^nが

して

A~v=~0, ~v6=~0 が します．

✓ ⌘

m^{に関する帰 から以下の から は います．（}~a1 =~0^なら ばA~e₁ =~0^{となります．）}

◆ ⇣

m n ^の A^{に して}~a₁ 6=~0 ^{ならば，ある}m

Pが して

P A= 0

@

1 b₂ · · · b_n

0 0

B

1 A

✓ ⌘

　 型 空間の基 と ，

睘𧪄 も 「

_非

い 自明 解

、

か、

で

A

選

^でい

1 ! )

^が一

o

鱺 * が で 博 に )

i.

醤 で 蕊 藩 攪 が 崱

𦥯 Y 郎 : シ 攣 " 畑 り

㘅 が 啖 だ

_

な

^{- _ -}

な

と

お

_く

.

で 琨 )

^は

別

基 の

◆ ⇣

K^{nの 空間}V ^の基 ~v₁, . . . ,~v_{`</sub><sup>があるとします．</sup>~v<sub>`+1}2K^nが

~v_{`+1</sub>2/ V ならば~v1, . . . ,~v<sub>`},~v_`+1 ^{は 型 である．}

✓ ⌘

c1~v1+. . .+c`~v`+c`+1~v`+1 =~0 とします．c_`+16= 0ならば

~v_`+1 = 1

c_{`</sub>+ 1(c1~v1+. . .+c<sub>`}~v_{`</sub>)2L(~v1, . . . ,~v<sub>`}) =V となるので が じる．よってc_`+1 = 0が う．

　 型 空間の基 と ，

SIin L ⁰6 Part03た

誓 を

○

^。

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-

i

が

3 Ccで

、t.tt

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-

4

^{→ いい}

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VE 1 8 3 SC が 部分 空間

_t と ^o

について

閉じ

て

いる

。

な、 t.ie EV L ばッ で )

⁼

V

な、 i 感

^が

線型 独立 が

.

. .

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-

ない か

^が

V

の

真 底

_

_

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⁼

e

^'

T.int 小

V

の

次元

。

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明 で まう なか で

E

^ヨ

も

^E

し ながら も LTE )

で E

^:

線型 は

T

^'

こ こ のら

を 淪

あっ た

ない

基 の

◆ ⇣

（基 の延 ・拡 ）Kⁿの 空間V Wが V ⇢W

を たします．V ^の基 ~v1, . . . ,~v_`^{に して，}W ^の基

~v₁, . . . ,~v_{`</sub>,~v<sub>`+1}, . . . ,~v_`+d が します．

✓ ⌘

のページのプログラムは するか？

　 型 空間の基 と ，

/

^に

何

^の

場合

^もOK。

○

-

^いい

。

基 の

V_` =V ^{とします．}

` V<sub>`</sub> =W ならば ．V_{`</sub>(W ならば~v<sub>`+1}2W で~v_{`+1</sub> 2/V<sub>`}を たす ものが する．そこで

V_{`+1</sub>=L(~v<sub>1</sub>, . . . ,~v<sub>`},~v_`+1) と 義します．

`+ 1 V<sub>`+1</sub>=W ^{ならば ．}V_{`+1</sub> (W <sup>ならば</sup>~v<sub>`+2} 2W ^で

~v_{`+2</sub> 2/ V<sub>`+1} を たすものが する．そこで V_{`+2</sub>=L(~v<sub>1</sub>, . . . ,~v<sub>`+1},~v_`+2) と 義します．

`+ 2 V<sub>`+2</sub>=W ならば ．V_{`+2</sub> (W ならば~v<sub>`+3} 2W で

~v`+3 2/ V`+2 を たすものが する．そこで V_{`+3</sub>=L(~v<sub>1</sub>, . . . ,~v<sub>`+2},~v_`+3) と 義します．

　 型 空間の基 と ，

○

Tnfs た

ーー

○ ○

華 な

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、

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ーー

い

た 本

た

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e

_まで

必ず とまる

定理

。

。 一

T.it/ELCT...,EpEesd で

、

いま

^は

約 祘 と 従属

。

基 の

V ={~0} W =V として の議 を いると を ます．

◆ ⇣

Kⁿの 空間V がV 6={~0}^{を たすとき，}V には基 が

✓します． ⌘

　 型 空間の基 と ，

○

れ T

自明

な

部分

^空間、

※ 自明

^な

部分

^{に は}

基 の

の議 から が います．

◆ ⇣

K^{nの 空間}V W^が V ⇢W

を たすとします．

dimV dimW

dimV = dimV ^ならばV =W

✓ ⌘

　 型 空間の基 と ，

E

-

1

ヨシ

_、、

4

^V,

ew.tw/ 「

^→

で

^{、 一、}

でも

^... LI_.

X

◆ ⇣

m n ^の A2Mm,n(K)^{に して}

dim ker(A) =n dim Im(A)

✓ ⌘

ker(A)^{の基 を}~v₁, . . . ,~v_`とします．これを拡 してK^nの基

~

v₁, . . . ,~v_{`</sub>,~v<sub>`+1}, . . . ,~v_n

とします． 意のw~ 2Im(A)^{に して，}~v2K^{nが して}

~ w=A~v と せます．このとき

~

v=c₁~v₁+. . .+c_{`</sub>~v<sub>`}+c_{`+1</sub>~v<sub>`+1}+. . .+c_n~v_n

と せるので

　 型 空間の基 と ，

hala)⁼

ド

E 1

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)

部分 空間

_.

j ^E

km

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^{= A の}

階数

n De

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← _n次を

心

と

は元

TOUTES

) 〇 は

C

驅

^の

延長

、

定理

0

)

M. 一意的

^{にもいる。}

A~v=A(c₁~v₁+. . .+c_{`</sub>~v<sub>`}+c_{`+1</sub>~v<sub>`+1}+. . .+c_n~v_n)

=c₁A~v₁+. . .+c_{`</sub>A~v<sub>`}+c_{`+1</sub>A~v<sub>`+1}+. . .+c_nA~v_n

=c_{`+1</sub>A~v<sub>`+1}+. . .+c_nA~v_n からIm(A)^は

~

w_{`+1</sub> :=A~v<sub>`+1}, . . . , w~_n:=A~v_n

で されます． にw~_`+1, . . . ,w~nが 型 であることを します．

~0 =c_{`+1</sub>~v<sub>`+1}+. . .+c_n~v_n=A(c_{`+1</sub>~v<sub>`+1}+. . .+c_n~v_n)

とすると

c`+1~v`+1+. . .+cn~vn2ker(A) から

c_`+1=. . .=c_n= 0

　 型 空間の基 と ，

de^- In CA) ⁼ n^- di ferLA)

-

」 _A

で

_、

i.AE

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EInCA)

-

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^{、 二 一 一 二}

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ってか 1 隻 を 変形

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④ Q ない はいで

^{、 一 一 、}

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h

.

で

_二つ

に

_、

QEA.it

^{- _ - t}

が Q.ES

応

◆ ⇣

n A2M_n(K)^{に して以下は である．}

ker(A) =~0 Im(A) =Kⁿ

✓ ⌘

　 型 空間の基 と ，

{ y^{→ n= dm In}EA)

5

m m →

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