定積分II - 九州大学（KYUSHU UNIVERSITY）

定積分 II

定積分 II

[定理^] 以下では a ≤ b _とする。

•

Z b

a

f(x)dx = −

Z a

b

f(x)dx ならば

定積分 II

[定理^] 以下では a ≤ b _とする。

•

Z b

a

f(x)dx = −

Z a

b

f(x)dx

•

Z c

a

f(x)dx =

Z b

a

f(x)dx +

Z c

b

f(x)dx ならば

定積分 II

[定理^] 以下では a ≤ b _とする。

•

Z b

a

f(x)dx = −

Z a

b

f(x)dx

•

Z c

a

f(x)dx =

Z b

a

f(x)dx +

Z c

b

f(x)dx

•

Z b

a

kf(x)dx = k

Z b

a

f(x)dx ならば

定積分 II

[定理^] 以下では a ≤ b _とする。

•

Z b

a

f(x)dx = −

Z a

b

f(x)dx

•

Z c

a

f(x)dx =

Z b

a

f(x)dx +

Z c

b

f(x)dx

•

Z b

a

kf(x)dx = k

Z b

a

f(x)dx

•

Z b

a

{f(x) + g(x)}dx =

Z b

a

f(x)dx +

Z b

a

f(x)dx ならば

定積分 II

[定理^] 以下では a ≤ b _とする。

•

Z b

a

f(x)dx = −

Z a

b

f(x)dx

•

Z c

a

f(x)dx =

Z b

a

f(x)dx +

Z c

b

f(x)dx

•

Z b

a

kf(x)dx = k

Z b

a

f(x)dx

•

Z b

a

{f(x) + g(x)}dx =

Z b

a

f(x)dx +

Z b

a

f(x)dx

• f(x) ≤ g(x) ならば Z b

f(x)dx ≤

Z b

g(x)dx

定積分 II

[定理^] 以下では a ≤ b _とする。

•

Z b

a

f(x)dx = −

Z a

b

f(x)dx

•

Z c

a

f(x)dx =

Z b

a

f(x)dx +

Z c

b

f(x)dx

•

Z b

a

kf(x)dx = k

Z b

a

f(x)dx

•

Z b

a

{f(x) + g(x)}dx =

Z b

a

f(x)dx +

Z b

a

f(x)dx

• f(x) ≤ g(x) ならば Z b a

f(x)dx ≤

Z b

a

g(x)dx

•

Z b

a

f(x)dx

≤

Z b

a

|f(x)| dx

定積分 II

[証明^]

•

n

X

k=1

f(ξk)(xk − x_k−1) = −

1

X

k=n

f(ξk)(xk−1 − x_k) (a = x0 < · · · < x_n = b) _{の極限より。}

の極限より。

の極限より。

の極限より。

定積分 II

[証明^]

•

n

X

k=1

f(ξk)(xk − x_k−1) = −

1

X

k=n

f(ξk)(xk−1 − x_k) (a = x0 < · · · < x_n = b) _{の極限より。}

•

m+n

X

k=1

f(ξ_k)(x_k−x_k−1) =

m

X

k=1

f(ξ_k)(x_k−x_k−1)+

m+n

X

k=m+1

f(ξ_k)(x_k−x_k−1) (a=x0 <· · ·< x_m =b < x_m+1<· · ·< x_m+n =c) _{の極限より。}

の極限より。

の極限より。

定積分 II

[証明^]

•

n

X

k=1

f(ξk)(xk − x_k−1) = −

1

X

k=n

f(ξk)(xk−1 − x_k) (a = x0 < · · · < x_n = b) _{の極限より。}

•

m+n

X

k=1

f(ξ_k)(x_k−x_k−1) =

m

X

k=1

f(ξ_k)(x_k−x_k−1)+

m+n

X

k=m+1

f(ξ_k)(x_k−x_k−1) (a=x0 <· · ·< x_m =b < x_m+1<· · ·< x_m+n =c) _{の極限より。}

•

n

X

k=1

kf(ξk)(xk − x_k−1) = k

n

X

k=1

f(ξk)(xk − x_k−1) (a = x0 < · · · < x_n = b) _{の極限より。}

の極限より。

定積分 II

[証明^]

•

n

X

k=1

f(ξk)(xk − x_k−1) = −

1

X

k=n

f(ξk)(xk−1 − x_k) (a = x0 < · · · < x_n = b) _{の極限より。}

•

m+n

X

k=1

f(ξ_k)(x_k−x_k−1) =

m

X

k=1

f(ξ_k)(x_k−x_k−1)+

m+n

X

k=m+1

f(ξ_k)(x_k−x_k−1) (a=x0 <· · ·< x_m =b < x_m+1<· · ·< x_m+n =c) _{の極限より。}

•

n

X

k=1

kf(ξk)(xk − x_k−1) = k

n

X

k=1

f(ξk)(xk − x_k−1) (a = x0 < · · · < x_n = b) _{の極限より。}

•

n

X

k=1

{f +g}(ξk)(xk−x_k−1)=

n

X

k=1

f(ξk)(xk−x_k−1)+

n

X

k=1

g(ξk)(xk−x_k−1) (a = x0 < · · · < x_n = b) _{の極限より。}

定積分 II

[証明続き^]

•

n

X

k=1

f(ξk)(xk − x_k−1) ≤

n

X

k=1

g(ξk)(xk − x_k−1) (a = x0 < · · · < x_n = b) _{の極限より。}

の極限より。

定積分 II

[証明続き^]

•

n

X

k=1

f(ξk)(xk − x_k−1) ≤

n

X

k=1

g(ξk)(xk − x_k−1)

(a = x0 < · · · < x_n = b) _{の極限より。}

•

n

X

k=1

f(ξk)(xk − x_k−1)

≤

n

X

k=1

|f(ξk)| (xk − x_k−1) (a = x0 < · · · < x_n = b) _{の極限より。}

定積分 II

定積分 II

[定理^] 実数 a を含む区間で定義された連続関数 f(x) につ

いて d

dx

Z x

a

f(ξ)dξ = f(x) (_{微分積分学の基本定理})

証明

図の様に

定積分 II

[定理^] 実数 a を含む区間で定義された連続関数 f(x) につ

いて d

dx

Z x

a

f(ξ)dξ = f(x) (_{微分積分学の基本定理})

[証明^]

f(x )

⁰

f(x)

定積分 II

[練習問題^]

1 x − x0

Z x

0

ξ²dξ −

Z x0

0

ξ²dξ

= 1

x − x0

Z x

x0

ξ²dξ _{の極限を求} めることにより d

dx

Z x

0

ξ²dξ = x² _{を確かめよ。}

解答 のとき

となるので

となり、 挟み撃ちの原理より

他の場合も同様。

定積分 II

[練習問題^]

1 x − x0

Z x

0

ξ²dξ −

Z x0

0

ξ²dξ

= 1

x − x0

Z x

x0

ξ²dξ _{の極限を求} めることにより d

dx

Z x

0

ξ²dξ = x² _{を確かめよ。}

[解答^] x > x0 ≥ 0 のとき x²₀(x − x0) =

Z x

x0

(x0)²dξ <

Z x

x0

ξ²dξ <

Z x

x0

x²dξ = x²(x − x0) となるので

となり、 挟み撃ちの原理より

他の場合も同様。

定積分 II

[練習問題^]

1 x − x0

Z x

0

ξ²dξ −

Z x0

0

ξ²dξ

= 1

x − x0

Z x

x0

ξ²dξ _{の極限を求} めることにより d

dx

Z x

0

ξ²dξ = x² _{を確かめよ。}

[解答^] x > x0 ≥ 0 のとき x²₀(x − x0) =

Z x

x0

(x0)²dξ <

Z x

x0

ξ²dξ <

Z x

x0

x²dξ = x²(x − x0) となるので

(x0)² < 1 x − x0

Z x

0

ξ²dξ −

Z x0

0

ξ²dξ

< x² となり、

挟み撃ちの原理より

他の場合も同様。

定積分 II

[練習問題^]

1 x − x0

Z x

0

ξ²dξ −

Z x0

0

ξ²dξ

= 1

x − x0

Z x

x0

ξ²dξ _{の極限を求} めることにより d

dx

Z x

0

ξ²dξ = x² _{を確かめよ。}

[解答^] x > x0 ≥ 0 のとき x²₀(x − x0) =

Z x

x0

(x0)²dξ <

Z x

x0

ξ²dξ <

Z x

x0

x²dξ = x²(x − x0) となるので

(x0)² < 1 x − x0

Z x

0

ξ²dξ −

Z x0

0

ξ²dξ

< x² となり、 挟み撃ちの原理より

他の場合も同様。

定積分 II

[練習問題^]

1 x − x0

Z x

0

ξ²dξ −

Z x0

0

ξ²dξ

= 1

x − x0

Z x

x0

ξ²dξ _{の極限を求} めることにより d

dx

Z x

0

ξ²dξ = x² _{を確かめよ。}

[解答^] x > x0 ≥ 0 のとき x²₀(x − x0) =

Z x

x0

(x0)²dξ <

Z x

x0

ξ²dξ <

Z x

x0

x²dξ = x²(x − x0) となるので

(x0)² < 1 x − x0

Z x

0

ξ²dξ −

Z x0

0

ξ²dξ

< x² となり、 挟み撃ちの原理より

x→limx0+0

1 x − x0

Z x

0

ξ²dξ −

Z x0

0

ξ²dξ

= (x0)² 他の場合も同様。

定積分 II

[定理^] 関数 f(x) の原始関数の一つを F(x) とすると  Z b

a

f(x)dx = F(b) − F(a) 証明 微分積分学の基本定理より も の原始

関数の一つである。 よって、 が定義された全ての で より

定義より なので 。

従って 。

定積分 II

[定理^] 関数 f(x) の原始関数の一つを F(x) とすると  Z b

a

f(x)dx = F(b) − F(a)

[証明^] 微分積分学の基本定理より Z x a

f(ξ)dξ も f(x) の原始 関数の一つである。

よって、 が定義された全ての で より

定義より なので 。

従って 。

定積分 II

[定理^] 関数 f(x) の原始関数の一つを F(x) とすると  Z b

a

f(x)dx = F(b) − F(a)

[証明^] 微分積分学の基本定理より Z x a

f(ξ)dξ も f(x) の原始 関数の一つである。 よって、f(x) が定義された全ての x _で

d dx

Z x

a

f(ξ)dξ−F(x)

=f(x)−f(x) = 0 よりZ x a

f(ξ)dξ−F(x) =C

定義より なので 。

従って 。

定積分 II

[定理^] 関数 f(x) の原始関数の一つを F(x) とすると  Z b

a

f(x)dx = F(b) − F(a)

[証明^] 微分積分学の基本定理より Z x a

f(ξ)dξ も f(x) の原始 関数の一つである。 よって、f(x) が定義された全ての x _で

d dx

Z x

a

f(ξ)dξ−F(x)

=f(x)−f(x) = 0 よりZ x a

f(ξ)dξ−F(x) =C

定義より Z a a

f(ξ)dξ = 0 なので C = −F(a)。

従って 。

定積分 II

[定理^] 関数 f(x) の原始関数の一つを F(x) とすると  Z b

a

f(x)dx = F(b) − F(a)

[証明^] 微分積分学の基本定理より Z x a

f(ξ)dξ も f(x) の原始 関数の一つである。 よって、f(x) が定義された全ての x _で

d dx

Z x

a

f(ξ)dξ−F(x)

=f(x)−f(x) = 0 よりZ x a

f(ξ)dξ−F(x) =C

定義より Z a

f(ξ)dξ = 0 なので C = −F(a)。

定積分 II

[定理^]

• (_置換積分) _区間 [a, b] _{で定義された連続関数} f(x) _と区間 [α, β] で定義された微分可能な関数 g(ξ) _について

a = g(α), b = g(β) _ならば Z b

a

f(x)dx =

Z β

α

f(g(ξ))g^′(ξ)dξ 部分積分 で定義された微分可能な関数

について

定積分 II

[定理^]

• (_置換積分) _区間 [a, b] _{で定義された連続関数} f(x) _と区間 [α, β] で定義された微分可能な関数 g(ξ) _について

a = g(α), b = g(β) _ならば Z b

a

f(x)dx =

Z β

α

f(g(ξ))g^′(ξ)dξ

• (_部分積分) [a, b] で定義された微分可能な関数 F(x), G(x) について

定積分 II

[注意^]

全ての初等関数の原始関数が初等関数で書けるわけでは ない。

反例   の原始関数の初等的な 簡単な 表記は知られて いない。

定積分 II

[注意^]

全ての初等関数の原始関数が初等関数で書けるわけでは ない。

[反例^]   e^−x2 _{の原始関数の初等的な} (_簡単な) _{表記は知られて} いない。

定積分 II

[定理^] 区間 [a, b] で定義された微分可能な関数 ϕ(t), ψ(t) に よって (x, y) = (ϕ(t), ψ(t)) で表される平面上の曲線の長さ l は次で求められる。

l =

Z b

a

p{ϕ^′(t)}² + {ψ^′(t)}²dt 証明 次の 和を考える

定積分 II

[定理^] 区間 [a, b] で定義された微分可能な関数 ϕ(t), ψ(t) に よって (x, y) = (ϕ(t), ψ(t)) で表される平面上の曲線の長さ l は次で求められる。

l =

Z b

a

p{ϕ^′(t)}² + {ψ^′(t)}²dt

[証明^] 次の Riemann _{和を考える} (a = t0 < · · · < t_n = b):

n

X

k=1

p{ϕ(tk) − ϕ(tk−1)}² + {ψ(tk) − ψ(tk−1)}²

定積分 II

[定理^] 区間 [a, b] で定義された微分可能な関数 ϕ(t), ψ(t) に よって (x, y) = (ϕ(t), ψ(t)) で表される平面上の曲線の長さ l は次で求められる。

l =

Z b

a

p{ϕ^′(t)}² + {ψ^′(t)}²dt

[証明^] 次の Riemann _{和を考える} (a = t0 < · · · < t_n = b):

n

X

k=1

p{ϕ(tk) − ϕ(tk−1)}² + {ψ(tk) − ψ(tk−1)}²

=

n

X

k=1

s

ϕ(t_k) − ϕ(t_k−1) t_k − t_k−1

² +

ψ(t_k) − ψ(t_k−1) t_k − t_k−1

²

(t_k−t_k−1)

定積分 II

(ϕ (t ),

0

ψ (t ))

0

(ϕ (t ),

¹

ψ (t ))

¹

(ϕ (t ),

n

ψ (t ))

n

分点を無限に細かくしたときのこの極限は

となる。

定積分 II

(ϕ (t ),

0

ψ (t ))

0

(ϕ (t ),

¹

ψ (t ))

¹

(ϕ (t ),

n

ψ (t ))

n

分点を無限に細かくしたときのこの極限は Z b

a

p{ϕ^′(t)}² + {ψ^′(t)}²dt となる。

定積分 II

[練習問題^]

平面上の曲線が区間 [a, b] で定義された微分可能な関数 f(x) によって y = f(x) と表されている場合に、その長さが

Z b

a

q

1 + {f^′(x)}²dx で表されることを示せ。

解答

この曲線は と表せるので、 より定

理から得られる。

定積分 II

[練習問題^]

平面上の曲線が区間 [a, b] で定義された微分可能な関数 f(x) によって y = f(x) と表されている場合に、その長さが

Z b

a

q

1 + {f^′(x)}²dx で表されることを示せ。

[解答^]

この曲線は (x, y) = (x, f(x)) と表せるので、(x)^′ = 1 より定 理から得られる。

宿題

問題集

143 _ページ、 146 _ページ、148 _ページ、151 _ページ (_例題と

演習 A)