平成21年度第1年次入学者選抜学力検査問題 解答例
数
（1）α侶1とゐ肘1の差を取ると，
α乃十1−み軒1＝（2α乃＋6ゐ托）−（3（‡乃＋5ム乃）
＝ −（α乃−ゐ乃）
よって，
α乃−ゐ乃 ＝（α．−ゐ1）（−1）乃￣1
＝（−げ￣1
（2）題意より，
q什1＋抽出1＝ r（α乃＋捷乃）……… （a）
＝ 2（フ乃＋6占乃＋ん（3α ＋5あ乃）
＝（2＋3年）α刀＋（6＋5年）占乃……（b）
（a）と仲）から，r＝2＋3ん，rん＝6＋5た
（2＋3卑）ん＝6＋5ん
㍍−ん−2＝（ん＋1）（た−2）＝0
た＝−1，2 ここでた＞0だから，ん＝2
（3）た＝2のとき，r＝2＋3ん＝8だから， α乃＋1＋2占舶1＝8（α乃＋2ゐ乃）
これより，
α乃＋2∂〝 ＝ 8（α乃＿1＋2ム〃＿1）＝82（α刀＿2＋2れ＿2）＝
＝ 8乃￣1（勘＋2ゐ．）＝8乃￣1（1＋2・0）
＝ 8乃￣1
（4）問（1）よりα乃−ゐ乃＝（−げ￣1……… （c）
問（3）よりα乃＋2ム搾＝8乃」………‥ （d）
（c）と（d）から，
8乃￣1＋2・（−げ−1
（J′I＝
3
8乃￣1−（−1）柁￣1
／，，．＝
［2］
（−6）2・（6帝）2＝府7雨＝12
（1）太昌＝（−6，6寸言，0），l太云l＝
（−5）2・（呼・（6）2＝而了了丁兎＝8
克己＝（−5，帝，6），l克己l＝
よって，ベクトルの内積より，
太云・記（−6）（−5）＋6帝・帝1 COS（∠BAC）＝
∴∠BAC＝
l太昌Il記l 12・8
（2）i記＝（1，−5帝，6）であるから，点Dの位置ベクトルは，
6B＝6云＋応召＝（−1，6帝，0）＋申，−5J亨，6）＝（ト1，（6−5f）帝，6f）
よって，点Dの座標は
（卜1，（6−5f）帝，6り
（3）問（2）の結果を利用すると点Eの座標はE（卜1，（6一叫帝，6′）と表せる。
虚と豆己が直交することから，
虚・記＝0（直交条件）
ここで，
虚＝（トー6，（6−5り帝，6f）
或＝（1，−5帝，6）
扇＝記＝（ト6，（6−5り帝，6伸一5帝，6）
＝ −6＋J＋（6−5り（−5）・3＋36J
＝ −96＋112f＝0 966
∴J＝
よって，虚と或が直交するときの点Eの座標は，
（（写−1），（6−5・矩（6胡＝（一言，竿芋）
れば，
弓（主・5・6す6＝30帝
・一方，三角形ABCの面積∫dβCは，
sABC＝去L互BllAeLsin（∠BAC）＝呈・12・8・晋＝24寸言
である。原点0から三角形ABCに下ろした垂線OPの長さをゐとすると，四面体 の体積Fは三角形ABCを底面とする高さゐの三角錐とみなせるから，
㌢＝∫」βC・ゐ＝24帝・ゐ＝30寸言
30帝 15
￣ 8寸言 4
∴ カ
（∫朋Cの求め方の別解）
鼠姻C＝主席l両
112J訂
2 7 ・4碕＝24帝
［3］
（1）導関数は′（ズ）＝3ズ2−3＝3（ズ＋1）（ズー1），したがって増減表は以下のように
なる。
二r
ノてズ） ／′ 2＋ん ＼ −2＋ん ／／
′（ズ） ＋ 0 0 ＋
よって，関数八方）はズ＝−1において極大値2＋丘，ズ＝1において極小 値−2＋んを持つ。
（2）問（1）より条件は「極大値が0以上，かつ，極小値が0以下」と考えることが できるから，この条件は2＋た≧0および−2＋た≦0を満たす必要がある。
したがって，丘が取り得る範囲は，
−2≦た≦2 である。
（3）α，β，γを解とする3次方程式は以下のようになる。
（ズーα）（ズーβ）（ズーγ）＝0→ズ3−（α＋β＋γ）㌔＋（（ポ＋βγ＋γα）ズー（ポγ＝0
よって，′（ズ）＝ズ3−3ズ＋た＝0と比較すると，
（α＋β＋γ）＝0，（ポγ＝−た
（4）問（2）より，たの最小値は−2であり，八方）＝ズ3−3ズー2となる。この曲線を図 示すると下図のようになり，この曲線′（ズ）はズ軸とズ＝−1で接し，ズ＝2で 交わる。
したがって，曲線Aとズ軸で囲まれた面積は以下の定積分により計算できる。
5 y
4
3
2
J；（0一冊＝
Jや・3ズ・2）血江差ズ・…叫
：1＝（一芸・16・…・4・2・2）−（一芸・1・…・1・2・（−1）
＝6・＝
）
よって，面積は
［4］
（1）十万の位は，零以外の5枚の赤色カードになるので，5通りである。一方の位 と千の位には，零を含めた5枚の赤色カードからなる2枚を並べるので，5ア2通り である。
百，十，一の位には，4枚の白色カードから3枚を並べるので，4P3通りである。
したがって，積の法則より，
5×5f〉2×4f）3＝5×（5・4）×（4・3・2）＝5×20×24＝100×24＝2400 ゆえに，2400通りである。
（2）（赤と白が混じる確率）＝1−（赤と白が混じらない確率）
赤と白が混じらないのは，赤4枚，または白4枚を取り出した場合である。
赤4枚を取り出す確卵1＝×××＝
白4枚を取り出す確約＝×××＝
∴（赤と白が混じる確率）＝1−（Pl＋P2）＝1−
1
1
（去
1
＋−
210
194 97
210 105
別解
合計10枚のカードの中から4枚を取り出す組み合わせは，
10・9・8・7
＝210通り
10C4＝
4・3・2・1
赤色のカードと白色のカードが混ざって取り出される 事象は，
事象A：赤色のカード3枚，白色のカード1枚 事象B：赤色のカード2枚，白色のカード2校 事象C：赤色のカード1枚，白色のカード3枚
となる互いに排反な3つの事象であり，これは和集合AuBuCで表されるので，
事象A：6C3×4Cl＝
×＝20×4＝80
事象B‥6Gx4C2＝×
＝15×6＝90事象C‥6ClX4C3＝× ＝6×4＝24
したがって，確率の加法定理を用いて
p（AuBuC）＝P（A）・P（B）・P（C）＝・
よって，赤と白が混じる確率は芸である。
24 194 97
210 210 105
事象A：5回のうち赤色カードが4回出る。
事象B：5回とも赤色カードがでる。
に分けて考えると，事象Aと事象Bは排反であり，これは和集合AuBで表さ
れる。また，この問題は反復試行（乃＝5，事象A：r＝4，事象B：r＝5）であり，合計10
枚中赤色のカードは6航ので，赤色カードが出る確率はp＝より，2項分布の
確率公式を用いて，P（A）＝ 乃Cpr（1一夕）乃￣r
4
＝5C4甜許
5・4・3・2 （渦＝2・（；）4 4・3・2・1新訂5
5・4・3・2・1 （；）5・1＝（；）5 P（B）＝5C55・4・3・2・1
したがって，
P（AuB）＝ P（A）＋P（B）
＝（抑・肘粕）
81x1333 25×25×5
1053
よって，求める確率は詣である。
（4）整数0〜9の善かれたカードの中から6枚のカードを取り出すので，最大値ズ の取りうる値は，
ズ＝5，6，7，8，9 である。
なお，10枚のカードから6枚のカードを取り出す場合，
10・9・8・7・6・5
＝210通り
10C6＝
6・5・4・3・2・1
であるので，ズ＝5の場合，整数0〜5の6校のカードから 5 のカードも入れて 6枚を取り出すこと，すなわち 5 のカードを先に取り出して，そのほかに整数0
〜4の5枚のカードから5枚を取り出す場合となる。したがって，
5・4・3・2・1 1
＝1通り，よって叩＝5）＝
5C5＝
5・4・3・2・1
同様にして， 6 以外の0〜5の6枚から5枚取り出す場合，
6・5・4・3・2
＝6通り，よって叩＝6）＝
6C5＝
5・4・3・2・1
7 以外の0〜6の7枚から5枚取り出す場合，
7・6・5・4・3
＝21通り，よって叩＝7）＝
7C5＝
5・4・3・2・1
8 以外の0〜7の8枚から5枚取り出す場合，
8・7・6・5・4
＝56通れよって叩＝8）＝
8C5＝
5・4・3・2・1
9 以外の0〜8の9枚から5枚取り出す場合，
9・8・7・6・5
＝126通り，よって埠＝9）＝
9C5＝
5・4・3・2・1
よってズの期待値は，
1 6 21 56 126 1
（5＋36＋147＋448＋1134）
5×・＝一Tr＝＋6×ニーiT＋7×三＋8×＝ニーニ＝＋9× ■
▼ 210 210 1770 59
210 7
求める答えはである。
210 210 210 210
