教科書第 章演習問題解答 - Keio

教科書第 章演習問題解答

◆ ⇣

演習0 （教科書 ） 次のベクトルの計算をしましょう．

BB

@ １

2 3

1 CC A+

0 BB

@ 3

6 8

1 CC A

0 BB

@ 3 2 4

1 CC A

0 BB

@ 5

7 9

1 CC

A  3 0 BB

@ 1

2 4

1 CC

A 0

0 BB

@ 1

2 4

1 CC A

6 0 BB

@ 1

2 4

1 CC A+ ( 4)

0 BB

@ 3 3 5

1 CC

A 9 0 BB

@ 2

2 3

1 CC A 6

0 BB

@ 1 3 7

1 CC A 3

0 BB

@ 2

2 3

1 CC A+ ( 3)

0 BB

@ 2

2 3

1 CC A

✓ ⌘

（解答省略）

◆ ⇣

演習 （教科書 ） 4次元ベクトル~x=

0 BB BB

@ 1

5 3 2

1 CC CC

A^{に対して，第}2成分と第3成分が何か答えましょう．

✓ ⌘

解答第2成分= 5 第3成分= 3

◆ ⇣

演習 （教科書 ） の残りの公式

~

x+~0 =~0 +~x=~x, 0·~x=~0 を証明しましょう．

✓ ⌘

解答~x= (xi)と第i成分を用いて表現します．このとき

~

x+~0 = (x1) + (0) = (xi+ 0) = (xi) =~x

~0 +~x= (0) + (xi) = (0 +xi) = (xi) =~x 0·~x= 0(xi) = (0·xi) = (0) =~0

◆ ⇣

演習 （教科書 ） すなわち

~

x ~y=~x+ ( ~y) を証明しましょう．

✓ ⌘

解答~x= (xi) ~y= (yi)と第i成分を用いて表現します．このとき

~x ~y= (xi) (yi) = (xi yi)

から~x ~y=~x+ ( ~y)が示されます．

◆ ⇣

演習 （教科書 ）定理 の すなわち~a,~b2Rⁿと , µ2Rに対して

(µ~a) = ( µ)~a ( +µ)~a= ~a+µ~a

(~a+~b) = ~a+ ~b を示しましょう．

✓ ⌘

解答~a= (ai) ~b= (bi)と第i成分を用いて表現します．このとき

(µ~a) = (µ·ai) = ( (µ·ai)) = (( µ)·ai) = ( µ)~a

( +µ)~a= ( +µ)(ai) = (( +µ)ai) = ( ai+µai) = ( ai) + (µai) = ~a+µ~a (~a+~b) = ((ai) + (bi)) = (ai+bi) = ( (ai+bi)) = ( ai+ bi) = ( ai) + ( bi) = ~a+ ~b

◆ ⇣

演習 （教科書 ）

~a= 0 BB

@ 2

1 3

1 CC

A^を~e1, ~e2, ~e32R³のスカラー倍の和で表しましょう．

✓ ⌘

解答

~a= 0

@ 2 1 3

1 A= 2

0

@1 0 0

1 A+ ( 1)

0

@0 1 0

1 A+ 3

0

@0 0 1

1

A= 2~e1 ~e2+ 3~e3

◆ ⇣

演習 （教科書 ）~a,~b2Rⁿに対して次の計算をしましょう．

(2~a ~b) + 4~a 2~b  3(2~a+~b) 2(4~a 2~b)

✓ ⌘

解答 6~a 3~b 2~a+ 7~b

◆ ⇣ 演習 （教科書 ）~x, ~y, ~z, ~a,~b, ~c2Rⁿ が関係式

8>

<

>:

~

x ~y+ 2~z=~a (1) 2~x+~y ~z=~b (2) 3~x 2~y+~z=~c (3) 満たしているとします．このとき~x, ~y, ~zを~a,~b, ~cで表しましょう．

✓ ⌘

解答

8<

:

~

x ~y + 2~z = ~a (1)

2~x + ~y ~z = ~b (2) 3~x 2~y + ~z = ~c (3)

() 8<

:

~

x ~y + 2~z = ~a (1)1= (1)

3~y 5~z = 3~a + ~b (2)1= (2) 2⇥(2)

~

y 5~z = 3~a + ~c (3)1= (3) 3⇥(3)

() 8<

:

~

x ~y + 2~z = ~a (1)2= (1)1

~y 5~z = 3~a + ~c (2)2= (3)1

3~y 5~z = 3~a + ~b (3)2= (2)1

() 8<

:

~

x 3~z = 2~a + ~c (1)3= (1)2+ (2)2

~

y 5~z = 3~a + ~c (2)3= (2)2

10~z = 7~a + ~b 3~c (3)3= (3)2 3⇥(2)2

() 8<

:

~

x 3~z = 2~a + ~c (1)4= (1)3

~

y 5~z = 3~a + ~c (2)4= (2)3

~

z = ₁₀⁷~a + ₁₀¹~b ₁₀³~c (3)4= ₁₀¹ ⇥(3)3

() 8>

<

>:

~x = ₁₀¹~a + ₁₀³~b + ₁₀¹~c (1)5= (1)4+ 3⇥(3)4

~

y = ¹₂~a + ¹₂~b ¹₂~c (2)5= (2)4+ 5⇥(3)4

~z = ₁₀⁷~a + ₁₀¹~b ₁₀³~c (3)5= (3)4

演習 （教科書 ）  すなわちa,b2(Rⁿ)^⇤と~x2Rⁿに対して (a+b)~x=a~x+b~x, ( a)~x= (a~x) が成立することを示しましょう．

✓ ⌘

解答

a= (a1 a2 · · · an), b= (b1b2 · · · bn)

~ x=

0 BB B@

x1

x2

xn

1 CC CA

に対して

(a+b)~x= Xn i=1

(ai+bi)xi= Xn i=1

aixi+ Xn i 1

bixi=a~x+b~x

( ~a)~x= Xn i=1

( ai)xi= Xn i=1

aixi= Xn

i=1

aixi= (a~x)

◆ ⇣

演習 （教科書 ） a2(Rⁿ)^⇤とします．

a(~x) = 0 がすべての~x2Rⁿに対して成立するならばa=0:=⇣

0 · · · 0⌘

が成立することを示しましょう．

✓ ⌘

解答a= (a1 · · · an) (Rⁿ)^⇤ とします．このとき，標準単位ベクトル~eiに対して

a(~ei) =ai= 0 となります．これすべてのiに対して成立するので

a= (0 · · · 0) =0

が従います．

◆ ⇣

演習 （教科書 ）~a= 0 BB

@ 1

2 3

1 CC A^とw~ =

0 BB

@ x y z

1 CC

A^{に対してt}~a·w~を計算しましょう．

✓ ⌘

解答

t~a·w~ = (1 2 3) 0

@x y z

1

A=x 2y+ 3z

◆ ⇣

演習 （教科書 ）~a1, · · ·, ~a`2R<sup>n</sup>とc1, · · ·, c`2Rに対して

t(c1~a1+· · ·+c`~a`) =c1t~a1+· · ·+c`t~a`

を証明しましょう．

✓ ⌘

解答帰納的に

t(~a1+· · ·+~a`) =<sup>t</sup>~a1+· · ·+<sup>t</sup>~a`

が成立しますことが示せます．実際

t(~a1+· · ·+~a` 1+~a`) =^t(~a1+· · ·+~a` 1) +<sup>t</sup>~a`=^t~a1+· · ·+^t~a` 1+<sup>t</sup>~a`

と証明できます．これを用いると

t(c1~a1+· · ·+c`~a`) =^t(c1~a1) +· · ·+^t(c`~a`) =c1t~a1+· · ·+c`t~a`

となります．これが示すべき式です．

◆ ⇣

演習 （教科書 ）4次元ベクトル

~a= 0 BB

@ 1

2 3 2

1 CC A, ~b=

0 BB

@ 2 5 1 0

1 CC A, ~c=

0 BB

@ 6

1 3 1

1 CC A

に対して(~a,~b), (~b,~c), (~c,~a)を計算しましょう．次にk~ak, k~bk, k~ckを計算しましょう．

✓ ⌘

解答

(~a,~b) = 1·2 + ( 2)·5 + 3·( 1) + 2·0 = 11 (~b,~c) = 2·6 + 5·( 1) + ( 1)·( 3) + 0·1 = 4

(~c,~a) = 6·1 + ( 1)·( 2) + ( 3)·3 + 1·2 = 1 k~ak=p

1²+ ( 2)²+ 3²+ 2²=p

18 = 3p 2 k~bk=p

2²+ 5²+ ( 1)²+ 0²=p 30 k~ck=p

6²+ ( 1)²+ ( 3)²+ 1²=p 47

◆ ⇣

演習 （教科書 ） すなわち非負の実数A1, · · ·, An 0に対して A1+A2+· · ·+An= 0 =)A1=A2=· · ·=An= 0

が成立することをn= 2に対して示しましょう．一般のnの場合を数学的帰納法により証明しましょう．

✓ ⌘

解答 （n= 2の場合）A1+A2= 0が成立するとします．A16= 0とします．A2= A10となりますから，

A2<0が従います．これはA2 0に反しますから，A2= 0であることが分かります．さらにA1= A2= 0 も従います．

An= A1 A2 · · · An 10

からAn < 0 が従います．これはAn 0に反しますから，An = 0であることが分かります．さらに

A1+A2+· · ·+An= 0に代入すると

A1+A2+· · ·+An 1= 0

が従います．帰納法の仮定からA1=· · ·=An 1= 0が成立することが分かります．

◆ ⇣

演習 （教科書 ）大きさが1のベクトルを単位ベクトルと呼びます．~x2Rⁿが~x6=~0であると き~x0= 1

||~x||~xが単位ベクトルとなることを証明しましょう．

✓ ⌘

解答

k~x0k= 1

||~x||~x = 1

k~xk·k~xk= 1 から~x0が単位ベクトルであることが分かります．

◆ ⇣

演習 （教科書 ）~a=^t(1 1 3),~b=^t(2 1 1)に対して f(t) =k~b t~ak²

を考えます．このとき公式 を用いてf(t)の最小値を求めましょう．

✓ ⌘

解答まず

k~ak²= 11, (~a,~b) = 2, k~bk²= 6 と計算します．これを用いると

f(t) =k~|bk² 2t(~a,~b) +t²k~ak²

= 11t²+ 4t+ 6

= 11

✓ t+ 2

11

◆2

+ 6 4 11

と平常完成するとt= ₁₁⁵ のときに最小値6 ₁₁⁴ = ⁶²₁₁をとることが分かります．

◆ ⇣ 演習 （教科書 ）~a, ~b, ~c2Rⁿに対して

k~a+~b+~ck²=k~ak²+k~bk²+k~ck²+ 2(~a,~b) + 2(~b,~c) + 2(~c,~a) を示しましょう．

✓ ⌘

解答

||~a+~b+~c||²=||~a+~b+||²+ 2(~a+~b,~c) +||~c||²

=||~a||²+ 2(~a,~b) +||~b||²+ 2(~a,~c) + 2(~b,~c) +||~c||²

=||~a||²+||~b||²+||~c||²+ 2(~a,~b) + 2(~b,~c) + 2(~a,~c)

◆ ⇣

演習 （教科書 ）~a,~b,~c2Rⁿとします．~a?~b, かつ~a?~cならば

~a?( ~b+µ~c) が成立することを示しましょう．

✓ ⌘

解答~a?~b, かつ~a?~cならば(~a,~b) = (~a,~c) = 0が成立します．このとき

(~a, ~b+µ~c) = (~a,~b) +µ(~a,~c) = ·0 +µ·0 = 0 となりますが，これは~a?( ~b+µ~c)を意味します．

◆ ⇣

演習 （教科書 ）~a2Rⁿがすべての~x2Rⁿに対して垂直，すなわち

(~a,~x) = 0 (~x2Rⁿ) が成立するとします．このとき~a=~0となることを示しましょう．

✓ ⌘

解答~x=~aとすると

0 = (~a,~a) =k~ak² から~a= 0が従います．

演習 （教科書 ）f~1, f~2, f~32Rⁿが (f~i,f~j) =

(1 (i=j)

0 (i6=j)

を満たすとします．このときf~1, f~2, f~3 は正規直交系であるといいます．

||xf~1+yf~2||²=x²+y² ||xf~1+yf~2+zf~3||²=x²+y²+z² を示しましょう．

~g2Rⁿに対して||~g xf~1 yf~2||²=||~g||²+x²+y² 2x(~g,f~1) 2y(~g,f~2)

||~g xf~1 yf~2 zf~3||²=||~g||²+x²+y²+z² 2x(~g,f~1) 2y(~g,f~2) 2z(~g,f~3) を示しましょう．

✓ ⌘

解答

||xf~1+yf~2||²=||xf~1||²+ 2(xf~1, yf~2) +||yf~2||²

=x²||f~1||²+ 2xy(f~1,f~2) +y²||f~2||²

=x²·1 + 2xy·0 +y²·1 =x²+y²

||xf~1+yf~2+zf~3||²=||xf~1+yf~2||²+ 2(xf~1+yf~2, zf~3) +||zf~3||²

=x²+y²+ 2xz(f~1,f~3) + 2yz(f~2,f~3) +z²||f~3||²

=x²+y²+ 2xz·0 + 2yz·0 +z²·1 =x²+y²+z²

||~g xf~1 yf~2||²=||~g||² 2(xf~1+yf~2,~g) +||xf~1+yf~2||²

=||~g||² 2x(f~1+yf~2,~g) 2y(f~2,~g) +x²+y²

=||~g||²+x²+y² 2x(~g,f~1) 2y(~g,f~2)