次の不定積分を求めよ。 1 x sin x dx 2 x e dx log x dx

不定積分の計算

7

（部分積分

2

）

No1

次の不定積分を求めよ。

1 x sin x dx

( )

∫

² ( )2 x e dx

∫

^{2 x}

3 log x dx

( )

∫

^{( )2} ( )4 x 2 dx

∫

^{2 x}

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不定積分の計算

7

（部分積分

2

）

No1

解答

以下、積分定数を C とする。

1 x sin x dx ( )

∫

²

=

∫

x -cos x ' dx^{2( )}

= -x cos x +²

∫

2x cos x dx

= -x cos x + 2x sinx + 2cos x + C²

= 2x sin x - (x - 2 cos x + C² )

2 x e dx ( )

∫

^{2 x}

=

∫

x (e ' dx^{2 x)}

= x e -^{2 x}

∫

2xe dx^x

= x e - 2xe + 2e + C^{2 x x x}

= (x - 2x + 2 e + C² ) ^x

3 log x dx ( )

∫

^{( )2}

=

∫

x'(log x dx⁾²

= x(log x -)²

∫

2 log x dx

= x(log x - 2x log x + 2x + C)²

= x{(log x - 2 log x + 2 + C)² }

4 x 2 dx ( )

∫

^{2 x}

=

∫

x² _{log 2}^{2x '} dx

= x 2 - ⋅ 2 dx log 2

2 x

∫

_{log 2}^{2x x}

= x 2 - + ⋅ 2 dx

log 2

2 x 2x2

log 2

x

( )²

∫

²

log 2 ( )²

x

= x 2 - +

log 2

2 x 2x2

log 2

x

( )²

2 ⋅ 2 log 2

x

( )³

= {(log 2 x - 2 log 2 x + 2 2 + C log 2

)^{2 2} ( ) )} ^x ( )³

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不定積分の計算

7

（部分積分

2

）

No2

次の不定積分を求めよ。

1 x x - 1 cos x dx

( )

∫

^{( ) ( )2 x}

∫

^{2 x - 1 dx}

3 x log x dx

( )

∫

^{( )2} ( )4 (x + 2x e logx dx

∫

^{2 ) x}

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不定積分の計算

7

（部分積分

2

）

No2

解答

以下、積分定数を C とする。

1 x x - 1 cos x dx ( )

∫

^{( )}

=

∫

(x - x sin x ' dx^{2 )( )}

= (x - x sin x -² )

∫

⁽2x - 1 sin x dx⁾

= (x - x sin x + 2x - 1 cos x -² ) ( )

∫

2 cos x dx

= (x - x sin x + 2x cos x - 2 sin x + C² )

= (x + 1 x - 2 sin x + 2x - 1 cos x + C)( ) ( )

2 x dx

( )

∫

³₂ ^{2 x - 1}

=

∫

³₂x^{2 2}₃⁽x - 1^{)32 '} dx

= x x - 1 -²( ) 2x x - 1 dx

3

2

∫

^{( )32}

= x x - 1 - x x - 1 +²( ) x - 1 dx

3

2 4

5 ( )

5

2

∫

⁴₅^{( )52}

= x x - 1 - x x - 1 +²( ) x - 1 + C

3

2 4

5 ( )

5

2 8

35( )

7 2

= x - 1 (15x + 12x + 8 + C 35

( )

3

2 2 )

3 x log x dx ( )

∫

^{( )2}

=

∫

¹₂x^{2 '(}log x dx⁾²

= x log x -1 x log x dx 2 ²( )²

∫

= x log x - x log x +1 x dx 2 ²( )² 1

2 ²

∫

¹₂

= x log x - x log x + x + C1 2 ²( )² 1

2 ²

1 4 ²

= {2 log x - 2 log x + 1 x + C 4

( )² } ²

4 (x + 2x e logx dx ( )

∫

^{2 ) x}

=

∫

(x e 'log x dx^{2 x)}

= x e log x -^{2 x}

∫

xe dx^x

= x e log x - xe +^{2 x x}

∫

e dx^x

= x e log x - xe + e + C^{2 x x x}

= (x log x - x + 1 e + C² ) ^x

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